Arbeitsblatt: Weihnachtsstern und Fehlerprüfung

Vom Weihnachtsstern zur Fehlerprüfung Der kleine Silvio hat in der Schule einen fünfzackigen Weihnachtsstern aus durchsichtigem, farbigem Papier gebastelt. Jeder Arm des Sterns hat eine andere Farbe. Voller Stolz bringt er ihn seiner Mutter heim, damit sie ihn ans Fenster hängen kann. Die Mutter, ihres Zeichens Mathematikerin, stellt sofort fest, dass es 10 Möglichkeiten gibt, um diesen Stern aufzuhängen. «Das liegt an der Symmetrie», erklärt sie ihrem Sohn. Weil er sie nicht versteht, macht sie ihm eine Skizze: 1 5 2 4 3 A1 Zeichnen Sie alle Varianten ein. (Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe mit Bleistift und vergleichen Sie sie dann mit der Lösung. Sie sollten dann die Bezeichnungen Musterlösung übernehmen, da die Resultate der weiteren Aufgaben davon abhängen und Sie Ihre Ergebnisse sonst nicht mehr einfach kontrollieren können.) Der kleine Silvio staunt und fragt seine Mutter, ob denn Symmetrie auch etwas mit Mathematik zu tun habe. «Und wie!», antwortet sie. «Man kann mit Symmetrien sogar genauso rechnen wie mit Zahlen.» Silvio ist völlig verwirrt: «Aber Mama, was soll denn eine Drehung multipliziert mit einer Spiegelung sein?» Geduldig erklärt ihm seine Mutter, wie alles funktioniert: 1. Wir nehmen unsere erste Symmetrie, z. B. die Drehung im Uhrzeigersinn um 2 Schritte. 2. Den so erhaltenen Stern spiegeln wir an der senkrechten Achse. Was wir nun haben, ist genau das gleiche, wie wenn wir einfach direkt an der Achse, die durch die Ecke 5 verläuft, gespiegelt hätten. Also kann man sagen, 2·59 «Aber Mama, zwei mal fünf ist doch 10!», widerspricht Silvio. «Ja, du hast recht. Das hier sind eben nicht normale Zahlen. Jede Zahl steht für eine der Symmetrien, die wir oben eingezeichnet haben. Und wenn ich zuerst die Drehung 2 und dann die Spiegelung 5 ausführe, dann kann ich auch einfach nur die Spiegelung 9 nehmen.» A2 Füllen Sie die untenstehende Multiplikationstabelle aus. · 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Jetzt ist Silvio neugierig geworden: «Und wofür soll es gut sein, wenn man plötzlich so komisch multipliziert? Das normale Malrechnen ist doch viel praktischer.» – «Ja und nein. Wenn du wissen willst, wie gross unser Garten ist, ist deine Multiplikation toll. Für andere Zwecke ist diese hier besser, weil hier zum Beispiel 6 · 4 und 4 · 6 nicht das gleiche ergeben.» A3 Markieren Sie in der Multiplikationstabelle diejenigen Produkte, die kommutativ sind. (Beispiel: Es gilt 4 · 2 1 und 2 · 4 1, also markieren wir diese beiden Resultate.) Das versteht Silvio nun gar nicht mehr: «Ich finde es aber gar nicht gut, wenn 6·4 und 4·6 nicht dasselbe geben. Das macht ja alles viel schwieriger.» – «Weisst du noch, wie Papa gestern eine Telefonnummer falsch abgeschrieben hat?» – «Ja, er hat die letzten beiden Zahlen vertauscht.» – «Genau! Das ist einer der häufigsten Fehler überhaupt, wenn man Zahlen aufschreiben muss. Und bei ganz wichtigen Zahlen dürfen solche Fehler auf keinen Fall passieren. Deshalb braucht man eine Methode, um zu kontrollieren, ob eine Zahl korrekt ist, oder nicht. Eine Prüfziffer.» Die Mutter erklärt ihrem Sohn das System der Prüfziffern: Man nimmt die Originalzahl und macht damit irgendeine sinnvolle Rechnung. Das Resultat dieser Rechnung, eine einzige Ziffer, hängt man an die Zahl an und gibt sie so weiter. Ab jetzt kann man immer kontrollieren, ob ein Fehler passiert ist: Passt die Prüfziffer zu dem, was vorher steht, dann ist gut. Passt sie nicht, so ist ein Fehler passiert. «Mit der Symmetrie deines Weihnachtssterns kann man ein wunderbares Prüfziffernsystem aufbauen, weil ja jeder der 10 Ziffern, die wir haben, genau eine Symmetrie entspricht. Wir müssen nur noch ein Problem lösen: Bei manchen Zahlenkombinationen wird die Vertauschung nämlich nicht entdeckt», sagt die Mutter und zeigt auf die markierten Felder in der Tabelle. «Darum tauschen wir vor dem Rechnen einfach die Ziffern nach einem passenden Schema aus.» A4 Das Schema 0 1 1 8 2 7 3 5 4 2 5 3 6 4 7 0 8 9 9 6 gibt uns an, womit wir jede Ziffer ersetzen müssen. Beispielsweise wird die 5 durch die 3 ersetzt. Bestimmen Sie nun für jede Ziffer von 0 bis 9 den «Austauschzyklus». Das geht so: Im ersten Schritt wird die 0 zur 1, diese wird dann, wenn wir noch einmal tauschen, zu einer 8. Aus der 8 wird beim nächsten Schritt eine 9 etc. 0 1 1. Schritt 1 8 2. Schritt 8 9 3. Schritt 9 2 3 4 5 6 7 3 8 9 9 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt 7. Schritt 8. Schritt 9. Schritt 10. Schritt Der Trick besteht nun darin, die Ziffer an der ersten Stelle um einen Schritt zu verändern, die an der zeiten Stelle um zwei Schritte etc. A5 Was erhalten Sie, wenn Sie das beschriebene Schema auf die Zahl 12345 anwenden? (Nehmen Sie die Tabelle zur Hilfe.) Jetzt haben wir alle Teile, um unser Prüfziffernverfahren zu komplettieren. Es funktioniert so: 1. Zuerst verändern wir jede Ziffer unserer Zahl nach dem obigen Schema. 2. Nun multiplizieren wir die Ziffer an der ersten Stelle mit der an der zweiten. Dieses Resultat multiplizieren wir mit der ditten Ziffer etc. Dazu verwenden wir am besten die Multiplikationstabelle. 3. Jetzt brauchen wir noch einmal die Multiplikationstabelle, nämlich um nachzuschauen, womit wir das letzte Resultat multiplizieren müssen, um gerade 0 zu erhalten. Das ist unsere Prüfziffer, die wir an die Originalzahl anhängen. A6 Berechnen Sie die Prüfziffer für die Zahl 12345. Wenn wir eine Zahl auf ihre Richtigkeit prüfen wollen, gehen wir analog vor: 1. Wir trennen die Prüfziffer ab und ersetzen die anderen Ziffern nach dem AustauschSchema. 2. Nun multiplizieren wir schrittweise von links nach rechts durch. 3. Zuletzt multiplizieren wir unser Ergebnis mit der abgetrennten Prüfziffer. Wenn dabei 0 herauskommt, ist die Zahl gültig, sonst nicht. A7 Per Telefon übermittelt man Ihnen die Zahl 421149. Leider sind sie gerade unterwegs und die Verbindung ist sehr schlecht. Sie wissen, dass die Zahl eine Prüfziffer nach dem oben erwähnten System hat. Haben Sie die Ihren Gesprächspartner richtig verstanden?