Arbeitsblatt: Lineare Gleichungssysteme

Mathematik 1A Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten Wir erkennen lineare Gleichungssysteme Die Geschichte der linearen Gleichungen beginnt vor 5000 Jahren in den warmen und wasserreichen Gegenden der Erde. An den grossen Flüssen in Mesopotamien, Ägypten, Indien und China begannen Königreiche zu entstehen. Die Menschen fingen an, das hervorzubringen, was wir KULTUR nennen. Also auch die Mathematik. Historische Aufgabe: Eine Aufgabe, die 4000 Jahre alt ist und in Mesopotamien gefunden wurde: Ein Viertel der Breite zur Länge addiert ergibt 7 Handbreiten, Länge und Breite addiert macht 10 Handbreiten. Das Problem also ist, dass man Breite und Länge vielleicht von einem rechteckigen Stück Tuch nicht kennt. Andererseits wissen wir zwei Dinge: (I) (II) Ein Viertel der Breite, zur Länge addiert, gibt 7 Handbreiten Länge und Breite zusammengezählt machen 10 Handbreiten aus Wir eilen der Zeit um gut dreieinhalb Jahrtausende voraus, wenn wir die unbekannte Breite mit x, die unbekannte Länge mit bezeichnen und die uns vertrauten Zeichen und verwenden. Der französische Mathematiker und Philosoph René Descartes (1596-1650) war übrigens der erste, der unbekannte Grössen mit den Buchstaben x, y, bezeichnete. Heute drücken wir die Aussagen (I) und (II) so aus: (i) (I) () (II) 1 7 4 10 Findest du das Rechteck? Vielleicht erkennst du bereits in der kleinen Geschichte ein Gleichungssystem mit zwei unbekannten Grössen und y: Hannes: „Chrigu gib mir doch eis vo dine Fränkli, de hätte mir glych viu. Chrigu: „Hänsu, gib mir doch eis vo dini, de hät ig de dopplet soviu wie du! Du hast bereits gesehen, wie ein Gleichungssystem entsteht: Falls zwei Unbekannte existieren sind wir auf mehr als eine Aussage angewiesen, damit wir und eindeutige Lösungen zuordnen können. Dies wird offensichtlich, wenn wir folgende zwei Zahlenrätsel lösen sollten: 1) 6 2) • 12 Wichtig: Um Gleichungen mit mehreren Unbekannten eindeutig lösen zu können, 10.07.14, Wa Mathematik 1A Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten 10.07.14, Wa Mathematik 1A Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten Gleichungssysteme können mit verschiedenen Verfahren gelöst werden Gelingt es dir, selbständig die zwei Beispiele zu lösen, ohne unten die Verfahren zu studieren? Notiere der Reihe nach, welche Überlegungsschritte sich ergeben: 1) 26 8 2) 4 x 5 5 x 2 Beim Lösen aller Gleichungssysteme geht es darum, möglichst rasch nur eine Gleichung mit einer Unbekannten zu gewinnen, nach der anschliessend die Gleichung aufgelöst werden kann. Diese Lösung kann in eine andere Gleichung eingesetzt und so eine weitere unbekannte Variable gelöst werden. Substituieren oder Einsetzen Das Einsetzverfahren eignet sich besonders, wenn eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst ist oder einfach umgeformt werden kann. Jetzt kann dieser Term in der anderen Gleichung anstelle dieser Variablen eingesetzt (substituiert) werden. 3) 3 x 3 y 3x 4) 11 4 3 0 x 2 Gleichsetzen Beide Gleichungen werden nach der gleichen Unbekannten umgeformt. Jetzt können beide einander gegenübergestellt () werden, sie sind ja gleichwertig! 4 5 5) 7 10 Das Additionsverfahren 10.07.14, Wa 11 6 6) 2 3 Mathematik 1A Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten Hier ist ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit den 2 Variablen und y. (I) (II) 12 - 5 18 2 29 34 Lösungen dieses Gleichungssystems sind Wertepaare (x, y), die beide Gleichungen erfüllen. Auch beim Additionsverfahren versucht man, eine einzige Gleichung zu erhalten, die ausser Zahlen entweder nur noch die Unbekannte oder nur noch enthält. Hierzu werden die Gleichungen so umgeformt, dass bei Addition (oder Subtraktion) der Gleichungen entweder die x-Glieder oder die yGlieder wegfallen. Ziel des ersten Schrittes zur Lösung ist es deshalb dafür zu sorgen, dass sich die x-Glieder der ersten und der zweiten Gleichung nur durch das Vorzeichen unterscheiden (oder dasselbe für die y-Glieder zu erreichen ). Dabei müssen die Gleichungen meistens multipliziert werden. Im angegebenen Beispiel multiplizieren wir die Gleichung (I) mit 3 und die Gleichung (II) mit -2: (I) (II) 36 - 15 -36 - 4 87 -68 Unser erstes Teilziel ist erreicht. Die x-Glieder unterscheiden sich nur noch durch das Vorzeichen. Durch Addition der Gleichungen erhalten wir: (I)(II) 19 19 Diese Gleichung enthält keine x-Glieder mehr und wir bekommen: – 1. Damit haben wir die yKomponente einer Lösung berechnet. Der letzte Schritt zur Lösung ist die Berechnung der x-Komponente. Dazu setzen wir die erhaltene y-Komponente (–1) in eine der Gleichungen ein (Substitution), die und yGlieder enthalten. Geeignet ist z.B. Gleichung I. 2x 5 • (-1) 29 12 5 29 12 24 2 Jetzt fehlen noch die Kontrolle und das Notieren der Lösung. (I) 12 • 2 5 • (-1) 29 24 (-5) 29 wahr (II) 18 • 2 2 • (-1) 34 36 (-2) 34 wahr Lösung: (2, – 1) stimmt! Beachte: 10.07.14, Wa Bei diesem Verfahren müssen die Gleichungen exakt untereinander angeordnet werden! Zuerst die x-Glieder, dann die y-Glieder, dann die z-Glieder, reine Zahlen. Sind die Gleichungen vermischt, müssen sie zuerst umgeformt werden.