Arbeitsblatt: Gleichungen und Ungleichungen

Thema Lernziele Gleichungen 1 Ich kann Äquivalenzumformungen anwenden. Ich kann Formeln aus der Geometrie, der Physik und Faustregeln aus dem Alltag nach einer bestimmten Variablen umformen, um gesuchte Werte zu berechnen. Ich kann Gleichungen mit mehreren Variablen umformen. Gleichungen – Einführung Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen besteht, die durch das Zeichen „ verbunden sind. Man kann eine Gleichung mit einer Waage oder einer Schaukel vergleichen, die sich im Gleichgewicht befindet. Der Wert auf der „linken Seite der Gleichung muss also immer gleich dem Wert auf der „rechten Seite der Gleichung sein. Diejenige Zahl, die man für die Variable einsetzen muss, damit die Gleichung richtig ist, nenne man Lösung der Gleichung. Eine Gleichung lässt sich mit einer Schaukel vergleichen, die sich im Gleichgewicht befindet. Sie bleibt nur dann im Gleichgewicht, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Änderung vornimmt. Gleichungen löst man am besten mit den so genannten Äquivalenzumformungen. Beispiele: 4x – 10 2 x –x (zuerst bringt man alle Variablen auf eine Seite, in diesem Falle auf die linke Seite der Gleichung) 3x – 10 2 10 (als nächstes bringt man die Zahlen auf die andere Seite, in diesem Falle auf die rechte Seite) 3x 12 :3 (nun muss man noch durch 3 teilen, um den Wert für zu bekommen) 4 Welche Lösung hat die Gleichung? a) 8 20 b) 20 a 32 c) 16 – 9 d) – 9 15 e) 6 42 f) 11 88 g) :46 h) 10 a 2 i) 34 71 j) 23 y 48 k) – 29 51 l) 62 t – 14 m) 19 51 – n) 102 z 58 o) 75 – 38 p) q) 3 93 r) 137 99 c 2 104 Vereinfache die Gleichungen und löse sie! a) 4 3x 2x – 10 b) 32x 43 – 20x – 25 30 – 45x c) 12 – 9x 15 – 5x 14 – 18x 6 d) – 38 26x 2x 24x – 53 – 72 Thema Lernziele Gleichungen 2 Ich kann Textaufgaben mit Hilfe von Gleichungen lösen. Ich kann Bruchgleichungen bearbeiten und auflösen. Gleichungen in Textaufgaben 1. a) Schreibe den gegebenen Text als Gleichung mit der Variable und finde dann durch Überlegen die Lösung der Gleichung! Von welcher Zahl musst du 3 abziehen, um 4 zu erhalten? b) Zu welcher Zahl habe ich 5 dazugezählt, wenn sich 13 ergibt? c) Welche Zahl muss du von 9 abziehen, um 4 zu erhalten? d) Multipliziert man die unbekannte Zahl mit 4, so erhält man 32! e) Teilt man die gesuchte Zahl durch 7, so erhält man 6! f) Welche Zahl muss man von 80 subtrahieren, um 54 zu erhalten? 2. Welcher Text passt zu welcher Gleichung? Schreib den richtigen Buchstaben in das Kästchen vor dem Text und finde so das Lösungswort! 3. Stelle eine Gleichung auf und löse sie dann mit Hilfe von Umformungen! a) Welche Zahl muss man mit 5 multiplizieren, um 40 zu erhalten? b) Welche Zahl muss man zu 28 addieren, um 40 zu erhalten? c) Addiert man zum Doppelten einer Zahl die Zahl 7, so erhält man 43. d) Addiert man zum Doppelten einer Zahl die um 3 kleiner Zahl, so erhält man 9. e) Addiert man zum Dreifachen einer Zahl die Zahl 17, so erhält man 98. f) Addiert man zu einer Zahl die um 5 größere Zahl, so ergibt sich 14. Wie lautet die Zahl? g) Addiert man zu einer Zahl die um 5 größere Zahl, so ergibt sich 21. Wie lautet die Zahl? h) Addiert man zu einer Zahl die um 3 kleiner Zahl, so ergibt sich 23. Wie lautet die Zahl? i) Subtrahiert man vom Doppelten einer Zahl die um 5 vergrößerte Zahl, so erhält man 8. j) Das Sechsfache einer Zahl ist um 24 kleiner als das Neunfache derselben Zahl. 4. Berechne die kürzeste Dreiecksseite! a) Der Umfang eines Dreiecks beträgt 100 cm. Die mittlere Seite ist 15 cm grösser als die kleinste; die grösste Seite ist doppelt so lang wie die kleinste. b) Bei einem Dreieck mit dem Umfang 215 cm ist die erste Seite 26 cm länger als die zweite, und diese ist 12 cm kürzer als die dritte. 5. Hühner und Hasen, insgesamt 100 Tiere, haben zusammen 280 Beine. Wie viele Hühner sind dabei? 6. Ein Zauberer will „aus dem Nichts Kanarienvögel und Mäuse erscheinen lassen. Vor der Durchführung seines Kunststücks verrät er seinen Zuschauern noch, dass die Tiere insgesamt 22 Köpfe und 62 Beine haben. Wie viele Tiere jeder Sorte wird er hervorzaubern, falls seine Ankündigung stimmt? 7. Eine Treppe hat 22 Stufen. Würde jede Stufe um 1,6cm höher gebaut, könnten zwei Stufen eingespart werden. Wie hoch ist eine Stufe? 8. Vertiefungsaufgaben a. Zwei Brüder sind zusammen 24 jahre alt. Der eine ist um 6 Jahre älter als der andere Bruder. Wie alt ist jeder der beiden Brüder? b. In 4 jahren wird Eva doppelt so alt sein wie ihr jetziger dreijähriger Bruder. Wie alt ist Eva heute? c. Beates Mutter ist in diesem Jahr 38 Jahre alt, Beate selbst ist 11 Jahre alt. Vor wie vielen Jahren war die Mutter 4 mal so alt wie Beate? d. Stefans Vater ist in diesem Jahr 3 mal so alt wie Stefan. Vor 4 Jahren war der Vater 4 mal so alt wie Stefan. Wie alt sind Stefan und sein Vater heute? e. Martin ist heute 7 mal so alt wie sein Bruder Felix. In 6 Jahren wird er 3 mal so alt sein wie Felix. Wie alt ist Felix heute? Gleichungen mit Brüchen Wenn auf einer Seite mehrere Brüche mit oder – verknüpft sind, muss man zuerst den Hauptnenner finden und dann beide Seiten der Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizieren. Finden des Hauptnenners 12 x 7 3 4 (Beachte: Die Zahl 7 kann man auch als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben: 7 1 Jeden Bruch auf den Hauptnenner erweitern 4 3 84 12 12 12 12 4 3 84 7 84 (Multiplikation mit dem Hauptnenner) Nenner fallen weg (Termvereinfachung) :7 12 Die Lösung der Gleichung ist 12 Gleichungen, bei denen die Lösungsvariable im Nenner vorkommt, nennt man Bruchgleichungen. Bei solchen Gleichungen kann es Variablenwerte geben, für die der Nenner null wird. Da eine Division durch null in der Mathematik nicht erlaubt ist, dürfen diese Zahlen nicht eingesetzt werden. Sie gehören also nicht zur Definitionsmenge der Gleichung. Die Definitionsmenge einer Gleichung sind diejenigen Zahlen aus der betrachteten Grundmenge G, die man für die Variable einsetzen darf. Bevor man eine Bruchgleichung löst, muss man also erst die Definitionsmenge bestimmen, indem man alle Variablenwerte ermittelt, bei denen die Nenner null werden. 1. Nenner: 2. Nenner: Es ist also nicht erlaubt, oder in die Gleichung einzusetzen. Diese Zahlen schliesst man daher aus der Grundmenge aus. Anschliessend löst man die Gleichung wiederum mit Hilfe der Äquivalenzumformungen: Finden des Hauptnenners: Multiplikation mit dem HN Ausmultiplizieren 2 1. Löse die folgenden Gleichungen! a) x 1 5 9 3 b) x 1 3 5 6 c) 5x 8 7x 6 15 10 d) 3 5x 7 4 2 6 12 2. Löse die folgenden Gleichungen! a) b) c) d) 3. Bruchgleichungen – Textaufgaben Stelle zum gegebenen Text eine Gleichung auf! Löse die Gleichung auf! a) Dividiert man 3 durch eine Zahl, so erhält man gleich viel, wie wenn man 5 durch eine Zahl dividiert, die um 2 grösser ist als die Unbekannte. b) Dividiert man 119 durch eine Zahl, so erhält man gleich viel, wie wenn man 112 durch eine Zahl dividiert, die um 3 kleiner ist als die Unbekannte. c) Wenn man zum Zähler und zum Nenner des Bruches d) Wenn man vom Zähler und vom Nenner des Bruches die gleiche Zahl addiert, erhält man einen Bruch vom Wert die gleiche Zahl subtrahiert, erhält man einen Bruch vom Wert Vertiefungsaufgaben: e) Ein Wasserbecken hat zwei Zuflussrohre. Das Becken kann vom Rohr R1 in 6 Stunden und vom Rohr R2 in 4 Stunden gefüllt werden. In welcher Zeit wird das Becken gefüllt, wenn beide Rohre zugleich offen sind? f) Ein Stausee hat zwei Zuflüsse. Der eine Zufluss wird den Stausee in 18 Tagen, der zweite in 12 Tagen füllen. Wie lange dauert die Füllung des Stausees, wenn beide Zuflüsse zugleich offen sind? g) Drei Arbeiter A, und sind für eine Arbeit eingesetzt. Sie beenden diese Arbeit in 4 Tagen. Von allein würde die Arbeit in 10 Tagen, von allein in 12 Tagen erledigt werden. 1. Berechne, wie lange alleine brauchen würde! 2. Wie lange würden und zusammen für diese Arbeit brauchen? h) Ein Wasserbecken kann durch drei Rohre gefüllt werden. Das erste Rohr füllt das Becken in 12 Stunden, das zweite in 16 Stunden und das dritte in 24 Stunden. In wie vielen Stunden wird das Becken zur Hälfte gefüllt sein, wenn zuerst nur das erste Rohr geöffnet ist, nach 2 Stunden das zweite und nach einer weiteren Stunde das dritte Rohr geöffnet wird? (Hinweis: Setze für die Öffnungsdauer des ersten Rohres x!) i) Ein Schwimmbecken hat zwei Zuflussrohre und ein Abflussrohr. Das erste Zuflussrohr allein füllt das Becken in 4 Stunden, das zweite in 6 Stunden; das Abflussrohr leert das Becken in 3 Stunden. Wie lange dauert die Füllung des Beckens, wenn alle 3 Rohre gleichzeitig offen sind? Thema Lernziele Ungleichungen Ich kann einen Sachverhalt als Ungleichung notieren und dabei die Zeichen , und richtig verwenden. Ich kann Ungleichungen lösen und erklären, wann die Zeichen , und gedreht werden müssen. Ich kann ganzzahlige Lösungen von Ungleichungen notieren. Ich kann Lösungen von Ungleichungen auf der Zahlengeraden darstellen. Ungleichungen Eine Ungleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen besteht, die durch eines der Zeichen verbunden sind. Die beiden Terme heissen „linke Seite bzw. „rechte Seite der Ungleichung. Da die meisten Ungleichungen mehr als eine einzige Zahl als Lösung haben, verwendet man die so genannte Lösungsmenge. Notiere jeweils wie im Beispiel angegeben! Beispiel: (– 3) x 8 IL {–2; –1; 0 1 2 3 4 5 6 7} a) 12 x 15 b) (–4) x 7 d) (–9) x 1 e) (–11) x (–8) Notiere mit einer Ungleichung! a) IL {–4 –3 –2 –1 0 1 2} c) c) (–7) x 2 f) (–1) x (1) b) IL {14 15 16 29 30 31} IL {–3 –2 –1 13 14} d) IL {–99 –98 –97} Auch bei Ungleichungen darf man die von den Gleichungen bekannten Äquivalenzumformungen anwenden. AUSNAHME: WENN MAN BEIDE SEITEN MIT EINER NEGATIVEN ZAHL MULTIPLIZIERT ODER DURCH EINE NEGATIVE ZAHL DIVIDIERT, MUSS MAN DAS UNGLEICHHEITSZEICHEN UMDREHEN! a) Beispiele: 5x – 7 3 5x 10 2 7 b) 12x – 5 9x 7 9x :5 3x – 5 7 3x 12 4 c) – 8 4x 1 8 5 4x :3 – 3x 9 4x 9 3 : (–3) Übungen: 1. a) 24 x 31 b) 860 y 240 c) –3 41 60 d) 1050 y 950 e) 36 x 45 f) 930 y 380 g) 57 x 70 h) 790 y 580 i) x4 10 k) – 1 0 l) m) 3 y – 1 10 u 6 n) – 6 3 2. a) 29 x 63 – 31 b) 58 y – 37 17 12 c) 9 – 7 z – 21 d) 17 x 95 – 13 e) f) 73 y – 27 31 22 g) 2x 3 9 h) 3x 1 5 i) 3 5u 4u 2 j) 5u – 4 4u 3 k) 5 3x 10 2x l) 31x – (3 14x) 38x – (12x 39) 23 x 55 – 26 3. Lehrbuch „Arithmetik und Algebra 1 a. b. c. d. e. f. g. h. i. 2 (28 – 3y) 92 3 (5y 1) – 2 11 (8x 7) 213 4 (200 – 3x) – 2x 14 (11z 9) – 99z 11 (6z 5) – 11z 16 (8x 7) – 25 141x 57 – (13x 9) 623 9y (1080 – 457) – 2y 51z (179 73z) 1307 3z – 39 (– 16) – 3 (3x 7) (– 10) 9 (x – 3) (–25) – 7 (x – 2) (–2) – 2 (x – 8) 21 – 5 (6 – x) 6 – 5 (3 – x)