Arbeitsblatt: Fläche und Umfang

Flächeninhalt und Umfang Hinweise zum Copyright: Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt und nur für die eigene Nutzung zugelassen. Kopieren und Vervielfältigen der vorliegenden Datei ist verboten Jede Nutzung in anderen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlags. Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung vervielfältigt oder in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Ausgenommen von diesen Regelungen ist die Verwendung für folgende Unterrichtszwecke: So dürfen Lehrkräfte alle Dateien zu Unterrichtszwecken ausdrucken, für elektronische Projektionsverfahren einsetzen und von allen Dateien OHP-Folien erstellen. Verboten ist allerdings die Weitergabe der Dateien auf elektronischen Datenträgern. Verstöße werden strafrechtlich verfolgt Mathematik-Verlag Rainer Hild 2013, Mosbach Internet: www.matheverlag.com E-Mail: Flächeninhalt und Umfang Inhalt: 1. Quadrat und Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4. Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5. Drachen und Raute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6. Exkurs: Höhen zeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7. Checkliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Kopiervorlage: Formeln herleiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8. Hinweise zur Benutzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Die vorliegende Unterrichtseinheit enthält folgende Elemente: Anhand von Beispielen werden neue Regeln, Definitionen und Kenntnisse eingeführt. Die Aufgaben in den Beispielen sind meist so gestellt, dass sie von den Schülerinnen und Schülern auch selbstständig bearbeitet werden können. Die „Merkekästen stehen meist im Anschluss an ein einführendes Beispiel und fassen wichtige Regeln, Definitionen und Kenntnisse zusammen. Sie sollten von den Schülerinnen und Schülern unbedingt abgeschrieben werden. Hier können die Schülerinnen und Schüler die gelernten Regeln und Kenntnisse üben und festigen. Im Anschluss an die Übungsaufgaben finden Sie jeweils die ausführlichen Lösungen dazu. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 1 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 1: Quadrat und Rechteck 1. Quadrat und Rechteck Beispiel: Zeichne ein Rechteck (a 5 cm; 3 cm) und ein Quadrat (a 3 cm) ins Heft. Ermittle dann durch Kästchenzählen jeweils den Flächeninhalt und den Umfang. (4 Kästchen entsprechen 1 cm2). Wie könnte man den Flächeninhalt und den Umfang eleganter bestimmen Lösung: Das Rechteck besteht aus 60 Kästchen. Da 4 Kästchen 1 cm2 sind, beträgt der Flächeninhalt (60 4) 15 cm2. Zum selben Ergebnis kommt man, wenn man die Länge (5 cm) mit der Breite (3 cm) multipliziert: 5 cm 3 cm 3 cm 5 cm 3 cm 15 cm2 5 cm Den Umfang erhält man, indem man alle Seitenlängen addiert: 3 cm 5 cm 3 cm 5 cm 16 cm Oder: 2 (3 cm 5 cm) 16 cm 3 cm Das Quadrat besteht aus 36 Kästchen. Sein Flächeninhalt ist also: (36 4) cm2 9 cm2 3 cm 3 cm Schneller erhält man den Flächeninhalt, wenn man die Seitenlänge 3 cm mit sich selbst multipliziert: 3 cm 3 cm 9 cm2 3 cm Den Umfang des Quadrats erhält man, indem man alle Seitenlängen addiert: 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 4 3 cm 12 cm Oder: 4 3 cm 12 cm Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 2 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 1: Quadrat und Rechteck Merke: Der Flächeninhalt eines Rechtecks wird berechnet, indem man die beiden Seitenlängen und miteinander multipliziert. Es gilt: Für den Umfang eines Rechtecks gilt: 2(a b) Der Flächeninhalt eines Quadrats wird berechnet, indem man die Seitenlänge mit sich selbst multipliziert. Es gilt: a2 . Für den Umfang eines Quadrats gilt: 4a Aus dem Flächeninhalt eines Quadrats kann man sofort dessen Seitenlänge berechnen. Es gilt: Übung 1: Skizziere die Rechtecke und Quadrate ab und berechne jeweils den Flächeninhalt und den Umfang. In Figur 4 soll nur der Flächeninhalt der grauen Fläche berechnet werden. Figur 1: Figur 2: 7,5 cm 4,2 cm 3,5 cm 4,2 cm Figur 3: Figur 4: 3,7 cm 4,8 4m 12,5 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 8,5 cm 7,2 1 cm Streifenbreite 1 cm 1 cm 3 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 1: Quadrat und Rechteck Lösung: Figur 1: 3,5 cm 7,5 cm 26,25 cm2 u 2 (3,5 cm 7,5 cm) 22 cm Figur 2: 4,2 cm 4,2 cm 17,64 cm2 u 4 4,2 cm 16,8 cm Figur 3: 4,8 A2 7,7 4 30,8 m2 A1 A2 Agesamt A1 A2 65,36 m2 Der Umfang Seitenlängen: ergibt sich durch Addition 4m 7,2 A1 7,2 4,8 34,56 m2 3,2 Es ist: 3,2 7,2 4 und 7,7 12,5 4,8 7,7 aller 12,5 12,5m 4m 7,7m 3,2m 4,8m 7,2m 39,4 Figur 4: Äußeres Rechteck: A1 5,7 cm 8,5 cm 48,45 cm2 Inneres Rechteck: A2 3,7 cm 6,5 cm 24,05 cm2 Inhalt der grauen Fläche: Agr 48,45 cm2 24,05 cm2 24,4 cm2 Merke: Kennt man zwei der Größen A, u, und eines Rechtecks bzw. Quadrats, kann man die fehlenden Größen berechnen. Dazu setzt man die gegebenen Größen in die Formeln für Flächeninhalt und Umfang ein und löst anschließend nach der gesuchten Variable auf. Beachte: Die Einheiten der Größen, die man in die Formeln einsetzt, müssen aufeinander abgestimmt sein. Übung 2: Berechne die fehlenden Größen. Achte auf die Einheiten. Rechteck 1: 138 mm2 9,2 mm Rechteck 2: 0,8 dm Rechteck 3: 4,2 dm Quadrat: ------ Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 96 cm2 12,4 dm 49 m2 4 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 1: Quadrat und Rechteck Lösung: Rechteck 1: Durch Einsetzen der Werte 138 mm2 und 9,2 mm in die Gleichung erhält man: 138 mm2 9,2 mm Durch Auflösen nach folgt: 138 mm2 9,2 mm : 9,2 mm 138 mm2 9,2 mm b 15 mm b bzw. 15 mm Mit den Werten 9,2 mm und 15 mm kann man nun auch den Umfang 2 (a b) berechnen: 2 (9,2 mm 15 mm) 48,4 mm Rechteck 2: Beachte: Bevor man die Werte 96 cm2 und 0,8 dm in einsetzt, muss man die Einheiten aufeinander abstimmen. Es ist: 0,8 dm 8 cm Einsetzen von 96 cm2 und 8 cm in ergibt: 96 cm2 a 8 cm : 8 cm 12 cm a bzw. 12 cm Damit kann nun auch der Umfang berechnet werden. 2 (12 cm 8 cm) 40 cm Es ist: Rechteck 3: Hier muss man die gegebenen Werte 12,4 dm und 4,2 dm zuerst in die Gleichung 2 (a b) einsetzen. Anschließend löst man die Gleichung nach der Variablen auf: 12,4 dm 2 (a 4,2 dm) 12,4 dm 2a 8,4 dm 8,4 dm 4 dm 2a 2 dm a bzw. 2 dm :2 Damit kann auch der Flächeninhalt berechnet werden: 2 dm 4,2 dm 8,4 dm2 Quadrat: Durch Einsetzen von 49 m2 in die Formel a2 erhält man: 49 m2 a2 Beachte: Beim Auflösen nach muss man die Wurzel ziehen 49 m2 a2 7 bzw. 7 Mit 7 folgt für den Umfang 4a: Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 4 7 28 5 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 2: Parallelogramm 2. Parallelogramm Beispiel 1: b Übertrage die Figur ins Heft und überlege dir eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms. ha Lösung: Durch Abschneiden und Wiederansetzen des grauen Dreiecks entsteht Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck mit dem Flächeninhalt ha. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist also ha. aus dem b ha ha a Merke: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt aus einer Seite und der dazugehörigen Höhe. Es gilt: ha und hb hb . ha a Für den Umfang gilt: 2 (a b) Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 6 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 2: Parallelogramm Hinweis: Die Formeln ha und hb gelten auch dann, wenn die Höhe nicht vollständig innerhalb eines Parallelogramms verläuft. Denn wenn man ein solches Parallelogramm in zwei Parallelogramme unterteilt, gilt für den Flächeninhalt: h2 a ha h1 h1 a h2 a (h1 h2) a ha Übung 1: Übertrage die Parallelogramme skizzenhaft ins Heft und berechne den Flächeninhalt und den Umfang u. 4,2 cm 8,4 cm cm cm 12,7 1 5, 9,8 cm Figur B: Figur A: 4,6 cm Lösung: Figur A: Flächeninhalt 8,4 cm 4,2 cm 35,28 cm2 Umfang 2 (8,4 cm 5,1 cm) 27 cm Figur B: Flächeninhalt 4,6 cm 9,8 cm 45,08 cm2 Umfang 2 (4,6 cm 12,7 cm) 34,6 cm Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 7 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 2: Parallelogramm b) Berechne den Flächeninhalt auch mit der Höhe hb und der Seite b. a) Übertrage Parallelogramm ins Heft und zeichne die Höhe ha ein. Berechne dann den Flächeninhalt. 6, 3 cm Übung 2: 45 3cm Lösung: hb Es ist: ha 4,5 cm. Mit 3 cm erhält man: ha Beachte: Um die Höhe ha einzeichnen zu können, muss die obere Seite des Parallelogramms verlängert werden. 6, 3 3 cm 4,5 cm 13,5 cm 2 cm a) 45 3 cm b) Mit der Höhe hb 2,15 cm erhält man dasselbe Ergebnis: 6,3 cm 2,15 cm 13,5 cm2 Übung 3: Berechne die fehlenden Größen zu folgenden Parallelogrammen. Achte auf die Einheiten. Parallelogramm 1: ha 5,9 cm Parallelogramm 2: Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com hb 123,9 cm2 7,2 cm 3,6 dm 12 dm 100,8 cm2 8 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 2: Parallelogramm Lösung: Parallelogramm 1: • Einsetzen von 123,9 cm2 und 5,9 cm in ha ergibt: 123,9 cm2 5,9 cm ha : 5,9 cm 2 123,9 cm 5,9 cm ha 21 cm ha bzw. ha 21 cm • Einsetzen von hb 7,2 cm und 123,9 cm2 in hb ergibt: 123,9 cm2 b 7,2 cm : 7,2 cm 17,2 cm b bzw. 17,2 cm • Einsetzen von 5,9 cm und 17,2 cm in 2 (a b) ergibt: 2 (5,9 cm 17,2 cm) 46,2 cm Parallelogramm 2: Beachte: ha 3,6 dm 36 cm und 12 dm 120 cm • Einsetzen von 100,8 cm2 und ha 36 cm in ha ergibt: 100,8 cm2 a 36 cm : 36 cm 2,8 cm a bzw. 2,8 cm • Einsetzen von 2,8 cm und 120 cm in 2 (a b) ergibt: 120 cm 2 (2,8 cm b) 5,6 cm 120 cm 5,6 cm 2b 114,4 cm 2b :2 57,2 cm b bzw. 57,2 cm • Einsetzen von 100,8 cm2 und 57,2 cm in hb ergibt: 100,8 cm2 57,2 cm hb : 57,2 cm 1,76 cm hb bzw. hb 1,76 cm Übersicht: ha Parallelogramm 1: 5,9 cm 21 cm Parallelogramm 2: 2,8 cm 3,6 dm Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com hb 17,2 cm 7,2 cm 46,2 cm 123,9 cm2 57,2 cm 1,76 cm 12 dm 100,8 cm2 9 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 3: Dreieck 3. Dreieck Beispiel: Überlege dir anhand der Figur eine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. Benutze die Flächenformel eines Parallelogramms. b hc hc A A b B Lösung: Man kann das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ergänzen, indem man das dunkelgraue Dreieck BAC anfügt. Das Dreieck BAC ist kongruent ( deckungsgleich) mit dem Dreieck ABC. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist daher doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks ABC. Es gilt also: 2 Dreieck A Parall. 2 Dreieck c hc :2 Dreieck hc 2 Merke: Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird berechnet, indem man das Produkt aus einer Seitenlänge und der dazugehörigen Höhe halbiert. Es gilt: hc 2 und und ha 2 hc hb 2 hb ha Für den Umfang gilt: Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 10 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 3: Dreieck Übung 1: Übertrage die Dreiecke skizzenhaft ins Heft und berechne den Flächeninhalt und den Umfang u. Figur A: 9,7 cm 6,2 cm 12,5 cm 7,5 cm Figur C: Figur B: 8,7 cm 15 cm 3,8 cm 4, 8 cm 2 cm 17 cm 6,5 cm Lösung: Figur A: Mit der Grundseitenlänge 12,5 cm und der Höhe 6,2 cm folgt für den Flächeninhalt: A 12,5 cm 6,2 cm 38,75 cm2 2 Der Umfang ist: 12,5 cm 9,7 cm 7,5 cm 29,7 cm Figur B: Beachte: Bei rechtwinkligen Dreiecken fallen die Seiten, die den rechten Winkel aufspannen, mit den entsprechenden Höhen zusammen. Mit der Seitenlänge 8 cm und der Höhe 15 cm 8 cm 15 cm folgt für den Flächeninhalt: 60 cm2 2 Der Umfang ist: 8 cm 15 cm 17 cm 40 cm Figur C: Beachte: Hier liegt die Höhe außerhalb des Dreiecks. Mit der Seitenlänge 6,5 cm und der 6,5 cm 3,8 cm Höhe 3,8 cm folgt für den Flächeninhalt: 12,35 cm2 2 Der Umfang ist: 6,5 cm 4,2 cm 8,7 cm 19,4 cm Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 11 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 3: Dreieck Übung 2: Berechne die fehlenden Größen zu folgenden Dreiecken. Achte auf die Einheiten. Dreieck 1: ha 45,03 cm2 7,9 cm Dreieck 2: 90 cm 6,3 dm2 Lösung: Dreieck 1: Durch Einsetzen von 45,03 cm2 und 7,9 cm in die Formel 45,03 cm2 7,9 cm a 2 90,06 cm2 7,9 cm ha ha erhält man: 2 2 : 7,9 cm 11,4 cm ha bzw. ha 11,4 cm Dreieck 2: Hier muss man erst noch die Einheiten von ha 90 cm und 6,3 dm2 anpassen. Es ist: ha 90 cm 9 dm. Einsetzen in die Formel 6,3 dm2 9 dm 2 12,6 dm2 a 9 dm ha ergibt: 2 2 : 9 dm 1,4 dm a bzw. 1,4 dm Übersicht: ha Dreieck 1: 7,9 cm 11,4 cm 45,03 cm2 Dreieck 2: 1,4 dm 90 cm 6,3 dm2 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 12 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 4: Trapez 4. Trapez Beispiel: a) Überlege dir anhand der Figur eine Formel, wie man den Flächeninhalt eines Trapezes ABCD berechnen kann. Benutze für die Formel zunächst die Mittelparallele m. h 2 B b) Versuche nun, die Länge der Mittelparallelen mit den Längen und zu beschreiben. Wie lautet dann die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes Tipp: Drücke zunächst die Länge auf zwei verschiedene Arten in Abhängigkeit von und aus. Lösung: a) Indem man links und rechts die dunkelgrauen Dreiecke abschneidet und oben wieder anfügt, entsteht aus dem Trapez ein flächengleiches Rechteck ( schraffierte Fläche). Die Seitenlängen dieses Rechtecks sind die Mittelparallele und die Höhe h. Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt somit: Amh 2 a B b) Für die Mittelparallele gilt: y. Gleichzeitig gilt: Damit folgt für 2 m: 2m a 2m a c m :2 ac 2 Durch Einsetzen in erhält man: Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com ac 1 bzw. (a c) 2 2 13 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 4: Trapez Merke: Für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt: A ac 1 bzw. (a c) 2 2 d Die Trapezhöhe ist immer der Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten und c. . Für den Umfang gilt: Übung 1: Übertrage die Trapeze skizzenhaft ins Heft und berechne jeweils den Flächeninhalt und den Umfang u. Figur A: Figur B: 15,2 cm 3,5 cm 21 ,7 cm 9, 7 ,2 17, 5c 18 cm cm 32,5 cm 5,8 cm 8c 8,5 cm Figur C: 7,5 cm 4,2 cm 2,8 cm 6,9 cm Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 14 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 4: Trapez Lösung: Figur A: Mit 32,5 cm; 18 cm und 15,2 cm erhält man für den Flächeninhalt: 1 (32,5 cm 18 cm) 15,2 cm 383,8 cm2 2 Für den Umfang erhält man: 32,5 cm 17,5 cm 18 cm 21,7 cm 89,7 cm Figur B: Mit 8,5 cm; 3,5 cm und 5,8 cm erhält man für den Flächeninhalt: 1 (8,5 cm 3,5 cm) 5,8 cm 34,8 cm2 2 Für den Umfang erhält man: 8,5 cm 7,2 cm 3,5 cm 9,8 cm 29,0 cm Figur C: Beachte: Das Trapez liegt hier auf der Seite. Es sind also: 4,2 cm; 2,8 cm und 6,9 cm. Der Flächeninhalt ist somit: 1 (4,2 cm 2,8 cm) 6,9 cm 24,15 cm2 2 Für den Umfang erhält man: 4,2 cm 6,9 cm 2,8 cm 7,5 cm 21,4 cm Übung 2: Berechne die fehlenden Größen folgender Trapeze. Achte auf die Einheiten. Trapez 1: 7,5 cm 45 mm 0,6 dm Trapez 2: 24 12 Trapez 3: Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 2,5 dm 450 m2 0,75 dm 412,5 cm2 15 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 4: Trapez Lösung: Trapez 1: Beachte: Die Einheiten müssen gleich sein, bevor man in die Formel einsetzt. Mit 7,5 cm; 4,5 cm und 6 cm erhält man für den Flächeninhalt: 1 (7,5 cm 4,5 cm) 6 cm 36 cm2 2 Trapez 2: Einsetzen von 24 m, 12 und 450 m2 in die Formel 450 m2 1 (24 12 m) 2 450 m2 1 36 2 450 m2 18 1 (a c) ergibt: 2 :18 25 bzw. 25 Trapez 3: Hier müssen zuerst die Einheiten angeglichen werden. Es ist: 25 cm und 7,5 cm Einsetzen von 412,5 cm2 c 25 cm und 7,5 cm in 412,5 cm2 1 (a 25 cm) 7,5 cm 2 2 825 cm2 (a 25 cm) 7,5 cm 825 cm2 a 7,5 cm 187,5 cm2 637,5 cm2 a 7,5 cm 1 (a c) ergibt: 2 187,5 cm2 : 7,5 cm 85 cm a bzw. 85 cm Übersicht: Trapez 1: 7,5 cm 45 mm 0,6 dm 36 cm2 Trapez 2: 24 12 25 450 m2 Trapez 3: 85 cm 2,5 dm 0,75 dm 412,5 cm2 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 16 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 5: Drachen und Raute 5. Drachen und Raute . Beispiel: Überlege dir anhand der Figur eine Formel für den Flächeninhalt eines Drachens. M Die Diagonalen des Drachens sind AC und BD Die Diagonale halbiert die Diagonale f. H Lösung: Ein Drache kann in 4 rechtwinklige Dreiecke (ABM, MBC, MCD und AMD) zerlegt werden. Wenn man jeweils ein flächengleiches Dreieck an der entsprechenden Seite anfügt, entsteht das Rechteck HEFG. Es gilt daher: 2 Drachen A Rechteck Mit Rechteck e folgt: 2 Drachen e Drachen :2 1 ef 2 Merke: Man berechnet den Flächeninhalt eines Drachens mit den beiden Achsen und f. Es gilt: 1 ef 2 Wegen und gilt für den Umfang: . a 2a 2b Eine Raute ist ein Drachen, dessen 4 Seiten gleich lang sind. Für den Umfang einer Raute gilt somit: 4a Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 17 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 5: Drachen und Raute Übung 1: Übertrage die Drachen und die Raute skizzenhaft ins Heft und berechne jeweils den Flächeninhalt und Umfang u. Figur C: Figur B: (Raute) Figur A: 4,8 cm 9 2, 8,2 cm 5, 9 6,5 cm 4,3 cm cm 5 cm 8,5 cm 9,4 cm cm 7 cm 3 cm Lösung: Figur A: Es ist 8,5 cm und 7 cm. Damit folgt für den Flächeninhalt A 1 f: 2 1 8,5 cm 7 cm 29,75 cm2 2 Mit 6,5 cm und 4,8 cm erhält man für den Umfang: 2 6,5 cm 2 4,8 cm 22,6 cm Figur B: Es ist 5 cm und 3 cm. Damit folgt für den Flächeninhalt A 1 f: 2 1 5 cm 3 cm 7,5 cm2 2 Mit 2,9 cm erhält man für den Umfang der Raute: 4 2,9 cm 11,6 cm Figur C: Es ist 4,3 cm und 8,2 cm. Damit folgt für den Flächeninhalt A 1 f: 2 1 4,3 cm 8,2 cm 17,63 cm2 2 Mit 5,9 cm und 9,4 cm erhält man für den Umfang: 2 5,9 cm 2 9,4 cm 30,6 cm Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 18 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 5: Drachen und Raute Übung 2: Berechne die fehlenden Größen der Drachen. Achte auf die Einheiten. Drachen 1: 102,05 cm2 15,7 cm Drachen 2: 5,6 1568 dm2 Lösung: Drachen 1: Durch Einsetzen der Werte 15,7 cm und 102,05 cm2 in 102,05 cm2 1 15,7 cm 2 102,05 cm2 7,85 cm 1 erhält man: 2 : 7,85 cm 13 cm f bzw. 13 cm Drachen 2: Zunächst müssen beide Einheiten angepasst werden: 5,6 56 dm Durch Einsetzen von 56 dm und 1568 dm2 in 1568 dm2 1 56 dm 2 1568 dm2 28 dm 1 erhält man: 2 : 28 dm 56 dm e bzw. 56 dm Übersicht: Drachen 1: 15,7 cm 13 cm 102,05 cm2 Drachen 2: 56 dm 5,6 1568 dm2 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 19 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 6: Höhen zeichnen 6. Exkurs: Höhen zeichnen Übung: a) Übertrage die Figuren ins Heft, zeichne alle Höhen ein und messe deren Länge. b) Bestimme dann jeweils den Flächeninhalt der Figur. Dreieck 1: Dreieck 2: 6, 4c 1 5, cm 40 30 6 cm 8,6 cm Parallelogramm 1: Parallelogramm 2: 2,5 cm 3 cm cm 3 6 cm 5 cm 6 cm 50 45 5 cm 2,5 cm Trapez 1: Trapez 2: 3,5 cm 4 cm 5,5 cm 2 cm 6,5 cm 70 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 4 cm 20 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 6: Höhen zeichnen Lösung: Dreieck 1: Dreieck 2: c 6,4 hc hb ha 30 ha 1 5, hb cm hc 6 cm 40 ha 5,9 cm; hb 3,0 cm; hc 3,2 cm 8,6 cm 9,6 cm2 ha 5,0 cm; hb 5,5 cm; hc 3,3 cm 14,19 cm2 Parallelogramm 1: Parallelogramm 2: hb 3 ha . cm 6 ha cm hb 5 cm ha 4,25 cm; ha 2,3 cm; hb 3,85 cm 2,5 cm 11,5 cm2 Trapez 1: hb 1,75 cm; 10,5 cm2 Trapez 2: 4 cm 3,8 cm 2 cm 5,5 cm 3,5 cm 6,5 cm 18,4 cm2 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 14,25 cm2 21 Flächeninhalt und Umfang Checkliste 1) Mit welchen Formeln berechnet man den Flächeninhalt und den Umfang eines Rechtecks 2) Mit welchen Formeln berechnet man den Flächeninhalt und den Umfang eines Quadrats 3) Wie lauten die Formeln für den Flächeninhalt eines Parallelogramms 4) Wie sind die Höhen eines Parallelogramms definiert 5) Mit welcher Formel berechnet man den Umfang eines Parallelogramms 6) Mit welchen Formeln berechnet man den Flächeninhalt und den Umfang eines allgemeinen Dreiecks? 7) Worauf muss man beim Zeichnen der Höhen eines stumpfen Dreiecks achten 8) Welche Besonderheit haben zwei Höhen eines rechtwinkligen Dreiecks 9) Wie lautet die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes 10) Wie ist die Höhe eines Trapezes definiert 11) Wie werden die beiden Achsen eines Drachens bezeichnet 12) Mit welchen Formeln berechnet man den Flächeninhalt und den Umfang eines Drachens 13) Welche Besonderheit hat eine Raute 14) Wie geht man vor, wenn man fehlende Größen eines Quadrats, Rechtecks, Dreiecks, Parallelogramms, Trapezes, Drachens mithilfe der entsprechenden Formeln berechnen soll Beschreibe die allgemeine Vorgehensweise. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 22 Antworten zur Checkliste: 1) ; 2a 2b 2) a2 u 4a 3) ha bzw. hb 4) Die beiden Höhen sind jeweils der Abstand zweier gegenüberliegender Seiten. 5) Umfang 2a 2b 6) 1 2 ha A 1 2 hb 1 2 hb Umfang 7) Man muss die Seiten verlängern, die den stumpfen Winkel bilden, um die entsprechenden Höhen einzeichnen zu können. 8) In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten, die den rechten Winkel aufspannen, gleichzeitig Höhen des Dreiecks. 9) 1 2 (a c) 10) Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand der beiden parallelen Seiten. 11) Mit und f. 12) 1 2 ; 2a 2b 13) Eine Raute ist ein Drachen mit vier gleich langen Seiten. 14) Man setzt die gegebenen Größen in die entsprechenden Formeln für Flächeninhalt und Umfang ein. Anschließend löst man eine Gleichung nach der unbekannten Variablen auf. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Antworten zur Checkliste: 1) ; 2a 2b 2) a2 u 4a 3) ha bzw. hb 4) Die beiden Höhen sind jeweils der Abstand zweier gegenüberliegender Seiten. 5) 2a 2b 6) 1 2 ha A 1 2 hb 1 2 hb Umfang 7) Man muss die Seiten verlängern, die den stumpfen Winkel bilden, um die entsprechenden Höhen einzeichnen zu können. 8) In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten, die den rechten Winkel aufspannen, gleichzeitig Höhen des Dreiecks. 9) 1 2 (a c) 10) Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand der beiden parallelen Seiten. 11) Mit und f. 12) 1 2 ; 2a 2b 13) Eine Raute ist ein Drachen mit vier gleich langen Seiten. 14) Man setzt die gegebenen Größen in die entsprechenden Formeln für Flächeninhalt und Umfang ein. Anschließend löst man eine Gleichung nach der unbekannten Variablen auf. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 23 Flächeninhalt und Umfang Kopiervorlage – Formeln herleiten 1) Schneide das Parallelogramm entlang der Höhe ha durch und setze beide Teile zu einem Rechteck zusammen. Was ergibt sich somit für den Flächeninhalt eines Parallelogramms ha 2) Schneide das rechte Dreieck aus und ergänze damit das linke Dreieck so, dass ein Parallelogramm entsteht. (Es gibt mehrere Möglichkeiten). Was ergibt sich somit für den Flächeninhalt eines Dreiecks hc A B 3) Schneide die unteren grauen Dreiecke ab. Wie kann man sie wieder so an die weiße Fläche anfügen, dass aus dem Trapez ein Rechteck entsteht Was ergibt sich somit für den Flächeninhalt eines Trapezes h 2 f 4) Schneide die grauen Dreiecke ab und füge sie so zusammen, dass der weiße Drachen entsteht. Beschreibe dann mit den Achsen und den Flächeninhalt des Drachens. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 24 Flächeninhalt und Umfang Sehr geehrte Lehrerinnen und Lehrer, mit diesen Unterrichtsmaterialien können Sie Ihren Schülerinnen und Schülern effektiv und kräfteschonend das Thema „Flächeninhalt und Umfang vermitteln. Alle Seiten sind so konzipiert, dass Ihnen aufwendige Erklärungen an der Tafel erspart bleiben. Jedes Kapitel beginnt mit einem einführenden Beispiel, mit dessen Hilfe sich die Schüler/innen die Flächenformeln selbstständig erarbeiten können. Alle wichtigen Formeln und Regeln sind in „Merkekästen hervorgehoben, die Ihre Schüler/innen direkt abschreiben können. Im Anschluss daran folgen jeweils Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen, die ebenfalls ins Schulheft übertragen werden können. Am Ende der Unterrichtseinheit finden Sie eine Checkliste, mit der die Schüler/innen den eigenen Kenntnisstand in kompakter Form überprüfen und wiederholen können. Wie Sie nun die einzelnen Kapitel optimal im Unterricht einsetzen, zeigen Ihnen folgende Hinweise und Anmerkungen. Kapitel 1: Quadrat und Rechteck Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts und Umfangs von Rechtecken und Quadraten kennen. Aus bekannten Größen (A, u, und b) sollen mithilfe der Formeln fehlende Größen berechnet werden. Hinweise zur Durchführung: In Beispiel 1 der Seite 2 sollen die Schüler/innen die Formeln für Rechteck und Quadrat selbstständig herleiten, (auch wenn diese Formeln den meisten Schülerinnen und Schülern vielleicht noch aus den unteren Klassenstufen bekannt sein dürften). Der Merkekasten auf Seite 3 fasst diese Formeln zusammen und sollte von den Schülerinnen und Schülern ins Schulheft übertragen werden. Dass man durch Wurzelziehen aus dem Flächeninhalt eines Quadrats die entsprechende Seitenlänge berechnen kann, sollte erfahrungsgemäß ausdrücklich betont werden. In Übung 1 der Seite 3 können die Schüler/innen diese Formeln dann zur Berechnung von Flächeninhalten und Umfängen anwenden. Der Merkekasten auf Seite 4 erläutert, wie man generell vorgehen muss, um aus gegebenen Größen mithilfe von Formeln fehlende Größen zu berechnen. Da hierbei die Einheiten der Größen aufeinander abgestimmt werden müssen und viele Schüler/innen erfahrungsgemäß die Umrechnung von Einheiten vergessen haben, muss an dieser Stelle die Umrechnung von Längeneinheiten eventuell wiederholt werden. In Übung 2 auf Seite 4 kann die Berechnung fehlender Größen trainiert werden. Die ausführlichen Lösungen dazu finden Sie auf Seite 5. Zeitbedarf: ca. 1-2 Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Übungen aus dem Schulbuch auch mehr. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 8. Hinweise zur Benutzung Kapitel 2: Parallelogramm Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts und Umfangs von Parallelogrammen kennen. Aus bekannten Größen sollen mithilfe der Formeln fehlende Größen in Parallelogrammen berechnet werden. Hinweise zur Durchführung: Mit Beispiel 1 auf Seite 6 können die Schüler/innen die Formel zur Flächenberechnung von Parallelogrammen selbstständig herleiten. Besonders plastisch wird die Herleitung, wenn die Schüler/innen die Umgestaltung eines Parallelogramms zu einem flächengleichen Rechteck an einem ausgeschnittenen Parallelogramm nachvollziehen. Eine entsprechende Kopiervorlage zum Ausschneiden finden Sie auf Seite 23. Mit dem Hinweis auf Seite 7 (oben) können Sie schnell demonstrieren, dass die Flächenformeln auch dann gelten, wenn die Höhe außerhalb des Parallelogramms liegt. In der Übung 1 auf Seite 7 sollen die Schüler/innen diese Formeln dann auf zwei Parallelogramme anwenden. In Übung 2 (Seite 8) kann das Zeichnen von Höhen trainiert werden. Hier muss gegebenenfalls darauf hingewiesen werden, dass die obere Seite verlängert werden muss. Und in Übung 3 sollen schließlich fehlende Größen zweier Parallelogramme berechnet werden. Zeitbedarf: ca. 2-3 Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Übungen aus dem Schulbuch auch mehr. Kapitel 3: Dreieck Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts und des Umfangs von Dreiecken kennen. Aus bekannten Dreiecksgrößen sollen mithilfe der Formeln fehlende Größen berechnet werden. Hinweise zur Durchführung: Mit Beispiel 1 auf Seite 10 und der Kopiervorlage auf Seite 23 können die Schüler/innen leicht selbst herausfinden, wie sich die Flächenformeln eines Dreiecks mit der Flächenformel eines Parallelogramms herleiten lassen. In Übung 1 auf Seite 11 sollen diese Formeln dann auf drei verschiedene Dreiecke angewendet werden. Hier ist insbesondere darauf hinzuweisen, dass bei rechtwinkligen Dreiecken zwei Höhen mit den Katheten zusammenfallen und dass bei stumpfwinkligen Dreiecken zwei Höhen außerhalb des Dreiecks liegen. In der Tabelle von Übung 2 (Seite 11) sollen schließlich mit der Flächenformel fehlende Größen berechnet werden. Zeitbedarf: ca. 2-3 Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Übungen aus dem Schulbuch auch mehr. 25 Flächeninhalt und Umfang Kapitel 4: Trapez Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts und des Umfangs von Trapezen kennen. Aus bekannten Größen sollen mithilfe der Flächenformeln fehlende Größen berechnet werden. Hinweise zur Durchführung: Auch in diesem Kapitel können die Schüler/innen anhand des einführenden Beispiels die entsprechende Flächenformel selbstständig herleiten. Dazu soll das abgebildete Trapez, das Sie auch zum Ausschneiden in der Kopiervorlage auf Seite 23 finden, in ein flächengleiches Rechteck umgewandelt werden. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks kann dann leicht mit der Mittelparallelen und der Höhe beschrieben werden, was für die meisten Schüler/innen kein Problem sein dürfte. Schwieriger wird es dann im Teil b), wenn die Mittelparallele in Abhängigkeit von den Trapezseiten und beschrieben werden soll. Hier ist sicherlich etwas Hilfestellung nötig. Die ausführliche Herleitung finden Sie auf Seite 13. Der Merkekasten auf Seite 14 fasst alle Formeln zum Trapez zusammen. In der Übung 1 auf Seite 14 können diese Formeln dann geübt werden. Eine kleine Stolperfalle lauert dabei in Figur C, da hier die Trapezhöhe waagrecht liegt und mit einer Seite zusammenfällt. Fehlende Größen von Trapezen können schließlich in der Übung 2 auf Seite 15 berechnet werden. Die ausführlichen Umformungsschritte, die erfahrungsgemäß immer wieder Schwierigkeiten bereiten, sind auf Seite 16 abgedruckt. Zeitbedarf: ca. 2-3 Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Übungen aus dem Schulbuch auch mehr. Kapitel 5: Drachen und Raute Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts und Umfangs von Drachen und Raute kennen. Aus bekannten Größen sollen mithilfe der Formeln fehlende Größen berechnet werden. Hinweise zur Durchführung: Die Flächenformel für Drachen können Sie den Schülerinnen und Schülern leicht anhand der Figur auf Seite 17 und der Kopiervorlage auf Seite 23 vermitteln. Wenn die Schüler/innen die grauen Dreiecke der Drachen-Kopiervorlage abschneiden, können sie daraus den weißen Drachen zusammensetzen und erkennen dabei, dass der Drachen den halben Flächeninhalt haben muss wie das umhüllende Rechteck. Die leicht verständliche Herleitung der Flächenformel und den entsprechenden Merkekasten finden Sie ebenfalls auf Seite 17. In Übung 1 (Seite 18) sollen dann Flächeninhalte und Umfänge von Drachen bzw. einer Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 8. Hinweise zur Benutzung Raute berechnet werden. Zum Abskizzieren ist hier sicherlich ein kurzer Hinweis nötig, wie man mithilfe der beiden Achsen einen Drachen schnell skizzieren kann. In Übung 2 auf Seite 19 sollen schließlich wieder fehlende Größen berechnet werden, was mit den einfachen Formeln zu Drachen und Raute den meisten Schüler/innen keine Schwierigkeiten bereiten dürfte. Zeitbedarf: ca. 2 Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Übungen aus dem Schulbuch auch mehr. Exkurs: Höhen zeichnen Insbesondere dann, wenn eine Höhe außerhalb eines Vielecks verläuft, haben viele Schüler/innen Schwierigkeiten, eine solche Höhe einzuzeichnen. In den Aufgaben der Seite 20 kann dies daher noch einmal gründlich geübt werden. Darüber hinaus sollen die Schüler/innen die Flächeninhalte der abgebildeten Dreiecke, Parallelogramme und Trapeze bestimmen. Die Lösungen dazu finden Sie auf Seite 21. Zeitbedarf: ca. 1 Schulstunde Checkliste – was man nun wissen sollte Anhand der Fragen der Checkliste auf Seite 23 können Sie die wichtigsten Kenntnisse zum Thema „Flächeninhalt und Umfang in kompakter Form abfragen und wiederholen. Auf diese Weise erhalten Ihre Schüler/innen einen guten Überblick über den eigenen Kenntnisstand. Die Antworten auf die Fragen finden Sie als Kopiervorlage in doppelter Ausführung, sodass Sie nur jeweils 1 Blatt für zwei Schüler/innen kopieren müssen. Zeitbedarf: ca. 30 min. Kopiervorlage – Formeln herleiten Mithilfe der Figuren und Aufgabestellungen der Kopiervorlage können Ihre Schüler/innen die Flächeninhaltsformeln von Parallelogrammen, Dreiecken, Trapezen und Drachen selbstständig herleiten. Die Figuren sind zum Ausschneiden gedacht, so dass die Schüler/innen die jeweiligen Vielecke ganz plastisch umgestalten und die entsprechende Flächenformel erkunden können. 26