Arbeitsblatt: Parkette für alle Klassen

Planung Mathematik und BG: Parkettieren Lasst uns lustvoll das Vorstellungsvermögen stärken! Parkette vom Kindergarten bis zur 9. Klasse Eine Unterrichtsplanung für den Kompetenzbereich ‚Form und Raum‘ auf Basis der Lernumgebung von Willi Tobler: „Parkettieren – Eine Annäherung an M. C. Escher 1 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Einleitung Lasst uns lustvoll das Vorstellungsvermögen stärken! Unter diesem Motto steht der Mathematikunterricht in meinem Praktikum in einer Gesamtschule (Kindergarten bis 9. Klasse) auf gut 1000 Meter über Meer im Eggiwil. Die drei Wochen stehen im Zeichen der „handelnden und greifbaren Geometrie (Sasdi 2014: 85)1 Denn auch bei der Geometrie gilt: Wenn sie greifbar ist, wird sie begreifbar. Wir werden uns mit Parkettierungen beschäftigen, konkret mit einer Lernumgebung von Willi Tobler mit dem Titel Parkettieren – Eine Annäherung an M. C. Escher.2 Sie ist konzipiert für Rechenschwache bis Hochbegabte und für alle Stufen. Es geht darum, Muster zu zeichnen, die aus lauter gleichen Teilen bestehen. Dabei müssen die Teile lückenlos aneinandergereiht werden, ohne sich dabei zu überlappen. „Wozu Geometrie, und dann auch noch ausgerechnet so spielerische? Das ist doch Basteln und nicht Mathe. Die Kinder sollen lieber ernsthaft rechnen lernen Gut möglich, dass Eltern imp- oder explizit dem Thema solch missbilligendes Unverständnis entgegenbringen. Das wir gerne parieren: „Geometrisches und arithmetisches Denken stehen in engem Zusammenhang. Daraus erklären sich viele Lernschwierigkeiten beim ‚Rechnen‘: Es werden immer wieder geometrische Formen oder Darstellungen benutzt um Zahlen, Zahlbeziehungen oder Operationen zu veranschaulichen (Zahlenstrahl, Tabellen, Diagramme). [Doch] die notwendigen geometrischen Vorstellungen werden oft als selbstverständlich vorausgesetzt. (Sasdi 2014: 86). Aber Geometrie ist nicht nur Mittel zum Zweck (nämlich zum Rechnen), sie ist auch ein eigenständiges Teilgebiet. Sie stärkt das Vorstellungsvermögen – das nicht nur für die Mathematik unabdingbar ist – und sie ist der Kompetenzbereich, über den sich am eingängigsten die Freude an der Mathematik wecken lässt: 1 Sasdi, Philippe: Didaktik der Mathematik – Reader zum Seminar FS 2014. Tobler, Willi: Parkettieren – Eine Annäherung an M. C. Escher. In: Hengartner, Elmar et al.: Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte. Zug, 2010. S. 245-251. 2 2 Planung Mathematik und BG: Parkettieren „Oft sind es scheinbar unnütze oder nicht direkt verwertbare Erlebnisse im Mathematikunterricht, die Freude auslösen. Kinder und Jugendliche können mit wachsender Begeisterung Zahlenfolgen bilden, Ornamente herstellen, regelmässige Körper bauen oder über ein verblüffendes Theorem staunen. Beim Entwickeln eigener Lösungen, Gedanken und Fragen sowie beim Entdecken von Zusammenhängen erfahren die Schülerinnen und Schüler Mathematik als persönlich sinnhaltig. [] Dieser eher spielerische Umgang mit Mathematik spricht die Lernenden auch emotional an und ist Nährboden für Interesse an Mathematik. (Sasdi 2014: 3) Allzu oft friste die Geometrie ein Schattendasein und werde einfach noch so kurz vor den grossen Ferien abgehakt. (vgl. Sasdi 2014) Auch mein Praktikum findet in den letzten drei Wochen vor den Sommerferien, für den einzigen Neuntklässler sogar in den letzten drei Wochen seiner obligatorischen Schulzeit, statt. Aber das Ziel ist alles andere, als darin die Geometrie einfach abzuhaken. Vielmehr soll mit dieser Lernumgebung ein neuer Höhepunkt an lustvollem Umgang mit Mathe erklommen werden. Die Aufgabe Basis: „Parkettieren – Eine Annäherung an M. C. Escher von Willi Tobler. Wir stellen mithilfe von gerasterten Vierecken (Quadrate oder Rechtecke) viele gleiche Figuren her, die sich zu einem Parkett zusammenfügen lassen (Definition ‚Parkett‘ s. Sachanalyse). Tobler nennt vier verschiedene und verschieden anspruchsvolle Methoden. Wir beginnen (nach dem Einstieg) alle mit dem ersten Weg, danach können die SuS der verschiedenen Stufen wählen, an welche Fortsetzung sie sich wagen. Ziel ist, dass jedes Kind (nach diversen Übungsphasen) ein parkettiertes Bild herstellt. Aufgabe Parkettierelemente durch paralleles Verschieben herstellen Aus einem gerasterten Viereck schneiden wir von den Seiten her Formen aus. Die setzen wir auf der gegenüberliegenden Seite wieder an. Dabei darf nur in geraden 3 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Linien von einem Rasterpunkt zu einem anderen geschnitten werden. Jedes Kind fertigt mindestens vier identische Parkett-Teile an (aus zwei verschiedenfarbigen Vierecken). Die Methode, die ausgeschnittenen Teile an der gleichen Position auf der gegenüberliegenden Seite anzusetzen, nennt Tobler „Parkettierelemente durch paralleles Verschieben herstellen. Paralleles Verschieben (Hengartner 2010: 245) Aufgabe Parkettierelemente durch versetztes Verschieben herstellen Werden ausgeschnittene Teile nicht parallel, sondern versetzt verschoben, so wird das Parkett diagonal verlaufen. Dabei darf allerdings nur eine Seite versetzt, die Teile der anderen Achse müssen weiterhin parallel verschoben werden. 4 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Versetztes Verschieben (Hengartner 2010: 246) Aufgabe Parkettierelemente drehsymmetrisch herstellen Drehsymmetrisch (Hengartner 2010: 247) 5 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Aufgabe Parkettierelemente durch Punktspiegelung mit Vierteldrehung herstellen Punktspiegelung und Vierteldrehung. Die Teile können durch Drehung um 90 Grad (Vierteldrehung), nicht um 180 Grad, wie Tobler schreibt, aneinandergefügt werden. (Hengartner 2010: 247) Sachanalyse Eine Parkettierung ist eine lückenlose und überlappungsfreie Bedeckung der Ebene mit periodisch wiederkehrendem Grundmuster. Ein Parkett besteht aus kongruenten Grundfiguren. Es kann aus einer einzigen Figur oder aus mehreren Figurentypen bestehen. Ein mathematisches Parkett kann nach allen Seiten unendlich fortgesetzt werden. Beispiele aus Natur und Architektur sind Bienenwaben oder Verbundsteine: 6 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Bienenwaben (Wikipedia) Verbundsteine (wettermann-beton.de) Beispiele aus der Kunst sind Bilder des niederländischen Künstlers und Grafikers M. C. Escher (eigentlich Maurits Cornelis Escher, 1898-1972). Bekanntgeworden ist Escher durch die Darstellungen unmöglicher Figuren und eben Parkette. M. C. Escher: Bird Fish. 3 M. C. Escher: Horseman. Im Unterricht können Parkettierungen mit vorgegebenen Formen (Plättchen, Schablonen, Stempeln etc.) hergestellt werden. Beispiele beschreiben etwa Radatz und Schipper. 3 Beide Abbildungen von Escher: www.mcescher.com 7 Planung Mathematik und BG: Parkettieren 4 Parkettierung mit vorgegebenen Figuren nach Radatz und Schipper. Deutlich sinnvoller erscheint mir jedoch, wenn die Schülerinnen und Schüler das oder die Grundmuster selber anfertigen (auch wenn dann das Parkett bei den ersten Versuchen vielleicht etwas weniger ‚lustig‘ (keine „jöh, Stempelfischli!) ausfällt). Gerade das wichtige entdeckende Lernen – nämlich wie die parkettierbaren Muster aufgebaut sind – geht beim Vorschlag von Radatz und Schipper verloren. Das Stempeln gerät zur reinen Sauberkeits- und Fleissübung. Deshalb wählen wir den Weg über eigene Zeichnungen: 5 Die ‚Knabbertechnik‘. Beispiel von Henner Eidt. 4 Radatz, Hendrik; Schipper, Wilhelm: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Braunschweig, 1998. S. 154. 8 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Wie Tobler nennt auch Eidt das Vorgehen ‚Knabbertechnik‘. Die Grundform ist ein Viereck, dessen Seiten ‚angeknabbert‘ werden. Was auf der einen Seite ausgeschnitten wird, wird auf der gegenüberliegenden Seite angesetzt. Das funktioniert mit allereinfachsten Ausschneidformen bis zum feinziselierten Kunstwerk. Und vor allem wird mit diesem Vorgehen auf einfache und einleuchtende Art klar, warum mit dieser Technik das Parkettieren wie gefordert lückenlos und überlappungsfrei funktioniert: Die ursprünglichen, noch ‚unangeknapperten‘ Vierecke lassen sich problemlos aneinanderreihen (Vorwissen, Alltagswissen: Badezimmerkacheln oder Hüselipapier). Alles, was jetzt ausgeschnitten und angesetzt wird, füllt zwingend das ‚Loch‘ im benachbarten Parkettteil – das ja (bei Parketten mit einer einzigen Grundfigur) genau gleich ausgeschnitten wird. Man kann es auch so betrachten: Eigentlich setzt sich jedes so angefertigte Parkett aus Vierecken zusammen, die haben einfach ein paar Stellen in der Farbe der Nachbarfigur. Hengartner 2010: 245 Beispiel aus dem Unterricht von Philippe Sasdi Parkettieren in Word Die Tipps für das Erstellen von Parketten in Word von Tobler sind verständlich und sehr präzis (unter Office 2007). Sie finden sich im Anhang. 5 Eidt, Henner et al.: Denken und Rechnen. Braunschweig, 2006. S. 111. 9 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Parkettieren mit Word: Versuch 1 von FG (Füchse mit Migräne, versetzt) Parkettieren mit Word: Versuch 2 von FG Einordnung Lehrplan Kompetenzbereich ‚Form und Raum‘: Unter dem Titel „Der fachliche Rahmen: Mathematik als Wissenschaft von Mustern wird im Begleitband ausgeführt, warum das Schweizer Zahlenbuch in allen Stufen viel Gewicht auf ‚Muster‘ (in einem weiten Sinne) legt: „Wir fassen Mathematik als ‚Wissenschaft von (schönen) Mustern‘ auf, die man erforschen, fortsetzen und erfinden kann. Aus diesem Grund spielen im Zahlenbuch arithmetische und geometrische Gesetzmässigkeiten und Muster eine zentrale Rolle: Das Zahlenbuch ist ein ‚Zahlenmuster-Buch‘. Muster dienen als Nährboden für die allgemeinen Lernziele Mathematisieren, Explorieren, Argumentieren und Formulieren, und über schöne Muster können Kinder auch die Ästhetik der Mathematik und den im besten Sinn spielerischen Umgang mit Mathematik erfahren. Es bedarf dazu keiner zusätzlichen Inhalte, denn die Erforschung von Mustern lässt sich [] mit dem Üben der klassischen Inhalte organisch verbinden. (SZB 1 BB 2008: 14)6 Im Anhang finden sich faksimilierte Seiten aus dem Zahlenbuch, die sich mit Mustern befassen. 6 Wittmann, Erich et al.:Schweizer Zahlenbuch 1 – Begleitband mit CD-ROM. Zug, 2008. 10 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Auch Rita Liechti hält die Freude an der Schönheit für unbedingt förderungswürdig. Sie widmet ihr gar eine der zwölf Leitideen für die „Suche nach echtem Verständnis im Mathematikunterricht: „Ästhetik und Verstehen Sensibilisiert der Mathematikunterricht Schülerinnen und Schüler für die Schönheit und auch für das Unfassbare in der Mathematik, so entsteht vertiefte Einsicht und echtes Verständnis. Freude und Erfolg in der Mathematik und die Wahrnehmung ihrer Ästhetik bedingen sich gegenseitig. (Liechti 1993, zitiert nach Sasdi 2014)7 Lernziele LP 95 Geometrie Klasse 1./2. Grobziele (Auswahl) Mit geometrischen Figuren experimentieren, diese darstellen und beschreiben. Ausgewählte Eigenschaften kennen. 3./4. dito 5./6. Linien und Figuren bewegen, verändern und darstellen; Gesetzmässigkeiten wahrnehmen und beim Darstellen berücksichtigen. 7. (Real) Merkmale von geometrischen Abbildungen erfassen; Symmetrien erkennen und ihre Wirkung wahrnehmen; Eigenschaften der Kongruenzabbildungen kennen und beim Zeichnen und Konstruieren anwenden. 7 Inhalte (Auswahl) Ebene Figuren zerlegen und zusammensetzen, vergrössern und verkleinern, spiegeln. Link BG: Gestalterischer Aspekt (Form, Komposition) Link TTG: Gestalterischer Aspekt (Konstruktion, Form) Ebene Figuren zerlegen und zusammensetzen, vergrössern und verkleinern, drehen und schieben, falten und spiegeln; Vergleich zwischen Anfangsfigur und Endfigur; Muster, Spiegel, Schablone, Zirkel. Flächeninhalte vergleichen. Links BG und TTG: dito Linien und Figuren zerlegen und zusammensetzen, vergrössern und verkleinern, drehen und schieben, falten und spiegeln, verzerren. Symmetrien und andere Gesetzmässigkeiten; Muster, Ornamente. Links BG und TTG: dito Kongruenzabbildungen. Link BG dito Liechti, Rita et al.: Mathematik im Gespräch. Zürich, 1993. 11 Planung Mathematik und BG: Parkettieren 8. (Real) Merkmale von geometrischen Abbildungen erfassen; Schönheit geometrischer Figuren wahrnehmen.8 Eigenschaften der Kongruenzabbildungen kennen und beim Zeichnen und Konstruieren anwenden. Abbildungen in Ornamenten und Täuschungen in Darstellungen erkennen. 9. (Real) In Figuren und Körpern bedeutsame Beziehungen erkennen. Regelmässigkeiten bei Figuren und Körpern erkennen. Formen erkennen, die ähnlich zu einem Teil ihrer selbst sind. Kongruenzabbildungen: Achsenspiegelung, Punktspiegelung. Translation, Rotation. Anwendung in geometrischen Situationen. Ornamente, Parkettierungen. Optische Täuschungen bei Linien, Flächen, Formen, Körpern. Link BG: dito plus Technologischer Aspekt. (Fraktale Geometrie: Selbstähnlichkeit, Flächenstrukturen). BG: Gestalterischer Aspekt (Form). Ablauf Der Einstieg Bilder von Escher. Wer sieht was? Beginn der Einheit mit Gespräch über die Kunst. Alle Altersstufen gemeinsam. SuS werden den Aspekt der wiederholten Grundmuster entdecken. Die Suche Wie müssen Muster aufgebaut sein, damit sie sich lückenlos aneinanderreihen lassen? SuS probieren aus mit Stift und Papier. Ohne Anleitung, aber mit genügend Zeit, um sich neben dem Kritzeln auch Gedanken über das warum warum nicht zu machen. Austausch von Vermutungen oder ersten Erkenntnissen im Plenum. Vorübung SuS erhalten Karopapier mit Rechteck und bereits eingezeichneten, einfachen ‚anzuknabbernden‘ Formen. Letztere müssen parallel verschoben werden. Erklären, probieren, zeichnen. 8 Warum die SuS erst in der 8. Klasse die Schönheit geometrischer Figuren wahrnehmen (wahrnehmen, nicht etwa erklären!) dürfen sollen müssen, bleibt das Geheimnis vom LP 95. 12 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Ausschneiden und (hoffentlich) erkennen: Aha, dieses Muster kann ich mit dem Muster von meinem Pultnachbarn oder meiner Pultnachbarin zusammensetzen. Der Übergang zu Escher Nr. 1 (s. oben Kapitel ‚Die Aufgabe‘) ist individuell. OS kann schon Muster anfertigen, während US noch zeichnet und MS noch parallel verschiebt. SuS fertigen selbständig Parkettmuster an nach der Methode ‚parallel verschieben‘. Was geht, was geht nicht? Gehts von zwei verschiedenen Seiten her? Von gegenüberliegenden Seiten? Wiederum individuell können SuS weiter zu Tobler Nr. 2 bis 4 OS wird dabei versuchen, sich die neuen Aufgabenstellungen selber zu erarbeiten. „Was könnte Tobler meinen mit Punktspiegelung? „Begreife ich seine Ausführungen? Das braucht Zeit! Diese Geometriestunden sollen für alle eine lustvolle Angelegenheit sein. Vielleicht sind Fehler hier noch wichtiger als in jedem anderen Kompetenzbereich für den Lernerfolg. Was seht Ihr in Eurem Parkett? Hier soll der Schritt in der anderen Richtung – von der Geometrie zur Kunst – erfolgen. Die Parkettteile können verziert, formerklärend bemalt werden. 13 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Hengartner 2010: 250 Vollautomatisch OS (sehr PC-gewandt) kann bereits nach den ersten erfolgreichen Ausschneidteilen an den Computer wechseln. So geht das Parkettieren deutlich schneller, also ist viel mehr Ausprobieren möglich. Ziel Alle SuS fertigen mindestens ein Parkett an. Einfach oder anspruchsvoll je nach Stufe und Stärke. Bewertung „Das räumliche Vorstellungsvermögen und geometrische Fähigkeiten sind anspruchsvoll zu überprüfen und zu beurteilen. (Sasdi 2014: 95) Nichtsdestotrotz muss eine Bewertung stattfinden. Wichtiger als das materielle Resultat (das schöne Parkettbild) sind die Erkenntnisse auf dem Weg dahin. „Die Fähigkeit, Muster spontan zu sehen, ist nicht Beginn, sondern Ergebnis geometrischer Entwicklung. [] Über die Reflexion und Analyse entstehen innere Bilder und nicht nur durch das Tätigsein. Letztlich kann ich nur sehen, was ich im Kopf habe. Und in den Kopf kommt, was beim Sehen reflektiert und analysiert wird. (Sasdi 2014: 85f) 14 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Deshalb dokumentieren die SuS bei einem ihrer Parkette alle Zwischenschritte: Rechteck, Knabbereien, Verschiebung, fertiges Einzelteil. Ab MS schreiben sie zu jedem dieser Schritte einen Kernsatz (keinen Roman). Die SuS der US erklären im Gruppengespräch, was sie bei den einzelnen Schritten gemacht haben. Das kann summativ bewertet werden. Formativ zu beurteilen ist dagegen der Zuwachs an Verständnis für die geometrischen Zusammenhänge. Sowie ob und wie viel zusätzliche Freude die SuS dem Fach gegenüber empfinden. (Sollte sich zeigen, dass die Freude abgenommen hat, bekommt allerdings nicht der Schüler oder die Schülerin, sondern der Lehrer eine schlechte Note.) 15 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Literatur Eidt, Henner et al.: Denken und Rechnen. Braunschweig 2006. Hengartner, Elmar et al.: Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte. Zug 2010. Liechti, Rita et al.: Mathematik im Gespräch. Zürich 1993. Radatz, Hendrik; Schipper, Wilhelm: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Braunschweig 1998. Sasdi, Philippe: Didaktik der Mathematik – Reader zum Seminar FS 2014. Wittmann, Erich et al.: Schweizer Zahlenbuch 1 – Begleitband mit CD-ROM. Zug 2008 www.mcescher.com 16 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Anhang 17 Planung Mathematik und BG: Parkettieren Ornamente und Parkette im Schweizer Zahlenbuch SZB 2 SZB 3 18 Planung Mathematik und BG: Parkettieren SZB 3 19 Planung Mathematik und BG: Parkettieren SZB 4 SZB 5 20 Planung Mathematik und BG: Parkettieren SZB 6 21 Planung Mathematik und BG: Parkettieren SZB 6 SZB 6 22