Arbeitsblatt: Operationen mit Variablen in Q

Bezirksschule 4. Klasse Operationen mit Variablen in 1. Brüche: Begriffe und Formänderungen 1.1. Definitionen Die Bruchzahl ist die Lösung der Gleichung (b 0), (a, ) Sonderfälle: a Vorzeichen: a b 1; 0 a 0; b; -a b 0 ist nicht definiert. - b; a -b - b; -a -b b Kürzen heisst: Zähler und Nenner eines Bruchs durch die gleiche Zahl (ausser 0) dividieren. Erweitern heisst: Zähler und Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl (ausser 0) multiplizieren. Kürzen und Erweitern sind Formänderungen, sie verändern den Wert eines Bruchs nicht. erweitern ax 3by 5ax2y 15bxy2 kürzen 1.2. Betrachtungen an einfachem Zahlenbeispiel 6 16 Natürlich gilt: 3 8 1 6 16 1 4 2 16 4 3 4 aber 6 16 3 2 16 3 8 8 Bei der Summe muss jeder Summand durch die Kürzungszahl dividiert werden, beim Produkt nur ein Faktor. Das führt gerne zu Fehlern! Um dieser Fehlerquelle auszuweichen, wandeln wir Summen vor dem Kürzen in Produkte um (faktorisieren!). „Kürzen in Summen tun nur die Dummen. Operationen mit Variablen in 1 Bezirksschule 4. Klasse 1.3. Lernbeispiele 39x5y3 3x 1. 91x4y9 7y6 1 a2 a (a 1) a1 2. a2 a a (a 1) a 1 1 1 15 3y -3 (y 5) -3 3 3. y2 3y 10 (y 5) (y 2) y 2 - 2 1 1 z2 64 (z 8) (z 8) z-8 4. z2 16z 64 z8 (z 8)2 5. Bringe auf den Nenner 18(t2 – 25): t-2 t-2 3t 15 3(t 5) erweitern mit 6(t 5) 6(t 2)(t 5) 18(t2 25) Eile mit Weile! Sorgfalt lohnt sich. 1.4. Der Trick mit –1 1 a-b -1 (b a) -1 b-a b-a 1 1.5. Eigene Beispiele 1 3y 2 -1 (2 3y) 1. 2 3y 2 3y 1 -1 1 6 84a 84 6(a 1) 84 (a 1) 2. 14a 14 14 (a 1) a 1 1 -1 3ax2 3a2x2 3ax2(1 a) -3ax2 -3 3ax2 -(a 1) 3. a3x2 a2x2 a2x2(a 1) a2x2 (a 1) a2x2 a 1 4 y2 y2(y2 1) 4. (y 1)2 (y 1)2 4u u3 u(4 u2) 5. 3u 6 3(u 2) y2(y 1)(y 1) y2(y 1) y1 (y 1)2 u(2 u)(2 u) u(2 u) -3(2 u) -3 Operationen mit Variablen in 2 Bezirksschule 4. Klasse 2. Addition und Subtraktion von Bruchtermen Beispiele (mit steigendem Schwierigkeitsgrad): 1. 17x 3a 2. 7r 2s r-s 19y 3a 7x 3a 17x 19y 7x 3a 5r 4s r-s 7r 2s -(5r 4s) r-s 10x 19y 3a 2r 2s r-s 2(r s) r-s Bezüglich der Vorzeichen hat der Bruchstrich Klammerwirkung 3. 7x 1 9x x-y (7x 1)(x y)-9x2 x(x y) 4. 3a 2 7a a-1 2a a-1 5. 7x2 7xy x y 9x2 x(x y) (3a 2)(a 1) -7(a 1)2 14a2 7a(a 1) - 7xy x 2x2 x(x y) 3a2 5a 2 7a2 14a 7 14a2 7a(a 1) 10a2 9a 5 7a(a 1) m2 n2 mn m2 mn n2 n2 mn 2 (m2 n2)(m n) m3 -n3 mn(m n) m3 m2n n2m n3 m3 n3 mn(m n) mn(m n) mn(m n) 1 Betrachten wir den Nenner nochmals: mn n2 n(m n) und m2 mn m(m n) Der Hauptnenner von mn, n(m n), m(m n) ist somit: mn(m n) 2.1. Vorgehen: 1. Hauptnenner bestimmen, falls nötig gegebene Nenner faktorisieren 2. Brüche durch erweitern auf den Hauptnenner bringen 3. Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen 4. Falls möglich: faktorisieren und Kürzen Operationen mit Variablen in 3 Bezirksschule 4. Klasse 3. Multiplikation und Division von Bruchtermen 3.1. Die Regeln „Bruch mal Bruch Ein Bruchterm wird mit einem Bruchterm multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert und das Zählerprodukt durch das Nennerprodukt dividiert: b „Bruch durch Bruch d ac bd Ein Bruchterm wird durch einen Bruchterm dividiert, indem man den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert: Sonderfälle Doppelbrüche b :dbc b c ac b :c (a:c) b d b:d ac a ad bc bc c bc ad bc 3.2. Beispiele t2 2y 2 1. 4y 11t 3 10y 2 3 4y t 11t10y 2 4y t3 11t 10y 2t2y 55 5 2. 34mn 65q4 51n2 26pq2 2m 2p 34mn 26pq2 4mp 65q4 51n2 15q2n 5q2 3n 10 3. 12x 10y 36x2 60xy 25y2 2(6x 5y) 30y 2 30y 20 3xy 30y 3xy (6x 5y)2 3xy(6x 5y) x(6x 5y) 4. 3(x y) 1 12(x y) 1 3 (x y) 1 1 z 12 (x y) 4z 4 5. (3u2 6uv 3v2) 6. 1 3u2 3v2 2uv 3(u2 2uv v2) 2uv 3(u2 v2) (u v)2 2uv (u v)(u v) 2uv(u v) u-v x3 7x2 8x x3 6x2 16x 1 2 x x 2; T1 T2 2 2x 2-x T2 x(x 2) x(x 2) Operationen mit Variablen in 4 Bezirksschule 4. Klasse 1 T1 T2 x(x2 7x 8) x(x2 6x 16) 2-x x(x 2) 1 (x 1)(-1) x(x 2) 1 1-x x(x 2) 2 7. -1 (x 1) (x 8) (x 2) (x 2) (x 8) x(x 2) 1-a a1- 6 2 a- a2 a 6 -a a-2 a2 a 6 a-2 a-2 1 a2 a 6 (a- 2)(a 3) a 3 Operationen mit Variablen in 5