Arbeitsblatt: Pythagoras Thales Aufgaben

Grundlagen IV – der Kathetensatz Der Kathetensatz ergibt sich wie auch der Höhensatz aus dem Ähnlichkeitssatz: p a2 p c q b2 q c c Löse die folgenden Teilaufgaben mithilfe des Kathetensatzes. 1. In einem rechtwinkligen Dreieck wurden folgende Werte gemessen: 4 cm 3 cm 5 cm Berechne die fehlenden Werte und q. 2. In einem rechtwinkligen Dreieck wurden folgende Werte gemessen: Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth Pascal Brück: Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 4,55 cm 4,8 cm 0,5 cm Berechne die fehlenden Werte und b. Runde auf zwei Nachkommastellen. Addiere die errechneten Werte: 11,65 Satzgruppe des Pythagoras 45 Aus dem Werk 07047 Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 BN: 07047 – Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 07047_Inhalt.indd 45 20.01.2015 18:58:00 Satz des Pythagoras Aus den Kathetensätzen lässt sich mit einem einfachen Additionsschritt nun der Satz des Pythagoras herleiten. Versuche die folgenden Rechen- und Umformungsschritte nachzuvollziehen. 2 p und 2 q 2 pc 2 qc 2 b 2 pc qc (p q c c 2 a2 b2 c2 Löse die folgenden Teilaufgaben mithilfe des Satzes des Pythagoras. 1. Bei einem Dreieck wurden folgende Werte gemessen. Berechne den fehlenden Wert. 4,2 cm 5,6 cm Pascal Brück: Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 3. In einem Garten soll eine dreieckige Fläche gepflastert werden. Diese hat die Seitenlängen von 8,0 bzw. 5,6 m. Berechne die Hypotenuse und zudem Fläche und Umfang der zu pflasternden Fläche. Diese brauchst du, um zu berechnen, wie viele Pflaster- und Randsteine benötigt werden. Runde dabei jeweils auf zwei Nachkommastellen. Lösungen: Dreiundzwanzigkommadreisiebenmeter – Zweiundzwanzig- kommavierquadratmeter – Neunkommasiebensiebenmeter – Siebenkommasiebenzentimeter – Siebenzentimeter 46 Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 2. Ein Dreieck hat eine Hypotenuse der Länge 8,2 cm und eine Kathete der Länge 2,8 cm. Berechne die Länge der fehlenden Kathete. Runde dabei auf eine Nachkommastelle. Satzgruppe des Pythagoras Aus dem Werk 07047 Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 BN: 07047 – Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 07047_Inhalt.indd 46 20.01.2015 18:58:01 Satz des Pythagoras II – Übungsaufgaben Löse die Teilaufgaben mithilfe des Satzes des Pythagoras. 1. In einem Dreieck sind die bekannten Größen 5 und 2,5. Berechne die fehlende Größe b. Runde dabei auf eine Nachkommastelle. 2. Ein Dreieck hat die Kathetenlängen 2 cm und 3 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse. Runde dabei auf eine Nachkommastelle. 4. a) Ein Berg hat eine Höhe von 1 235 m. Der Durchmesser des Berges beträgt ca. 1 800 m. Nähere den Weg, den man bergauf bestreiten muss, durch eine Berechnung mit Pythagoras an. Tipp: Betrachte den Querschnitt des Berges. Runde dabei auf eine ganze Zahl. b) Zusatzaufgabe: Berechne die durchschnittliche Steigung des Berganstiegs. Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth Pascal Brück: Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 3. Drei Orte bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Von Ort zu Ort sind es 34 km, von Ort zu Ort 26 km. Runde jeweils auf eine Nachkommastelle. a) Berechne den direkten Weg von nach A. b) Zusatzaufgabe: Berechne die Wegersparnis in Prozent. Trage die Summe der Beträge (1, 2, 3a, 4a) als Lösungswort ein (ü ue): Ein ben Satzgruppe des Pythagoras 47 Aus dem Werk 07047 Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 BN: 07047 – Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 07047_Inhalt.indd 47 20.01.2015 18:58:02 Gemischte Übungen Löse die folgenden Teilaufgaben mit einem der erlernten Sätze. 1. Die Drahtseile und die Fahrbahn einer Brücke bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Berechne die Höhe des Stahlträgers. Runde dabei auf eine Nachkommastelle. 80 30 2. Ein Dachgiebel hat die Höhe von 2 m. Außerdem sind die in der Skizze angegebenen Werte bekannt. Berechne die Länge der beiden Dachseiten. Runde dabei auf eine Nachkommastelle. 1,2 3,2 Streiche die richtigen Lösungen und bilde aus den übrigen das Lösungswort: 48 4,4 (D) – 3,8 (A) – 3,4 (S) – 49 (K) – 3,0 (R) – 2,3 (N) – 1,2 (E) – 47,3 (I) Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth Pascal Brück: Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 3. Das Segel beim Windsurfing hat eine Höhe von 3,2 und eine Breite von 1,2 m. Berechne die diagonale Länge des Segels. Runde auf eine Nachkommastelle. Satzgruppe des Pythagoras Aus dem Werk 07047 Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 BN: 07047 – Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 07047_Inhalt.indd 48 20.01.2015 18:58:02 Grundlagen Fülle die Lücken mit den richtigen Stichworten aus. 2 1 3 4 Die oben aufgeführte Figur ist ein (5). Dieser definiert sich durch alle Punkte, die um einen bestimmten vom (3) (2) entfernt sind. Innerhalb dieses Themenbereichs werden zusätzlich vor allem zwei Körper betrachtet. Der erste Körper bildet sich dadurch, dass zwei Kreisflächen durch eine Mantelfläche verbunden sind; dieser nennt sich auch (6). Dabei liegen die Kreisflächen stets parallel. Der zweite Körper bildet sich dadurch, dass eine Kreisfläche und ein Punkt durch eine Mantelfläche verbunden sind; dieser nennt sich auch (7). Dabei ist der 5 Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth Pascal Brück: Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 Mittelpunkt des Kreises eine Projektion des Punktes auf die Kreisfläche. 1 3 6 7 4 2 Kreis, Zylinder und Kegel 49 Aus dem Werk 07047 Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 BN: 07047 – Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 07047_Inhalt.indd 49 20.01.2015 18:58:03 Umfang des Kreises Der Umfang ist die komplette Länge der Kreislinie. Er berechnet sich als Produkt aus dem Durchmesser 2r und der Kreiszahl . Als Formel ausgedrückt sieht das so aus: 2 r bzw. d Beides ist gleichbedeutend, da der Durchmesser stets doppelt so lang ist wie der Radius. Die erste Formel ist jedoch üblicher, da hier der Zusammenhang zur Flächeninhaltsformel klarer ist. Diese wirst du auf den folgenden Seiten lernen. Berechne die folgenden Teilaufgaben mithilfe der Umfangsberechnungsformeln. 1. Ein Kreis hat den Durchmesser von 13 cm. Berechne den Umfang. Runde dabei auf zwei Nachkommastellen. Pascal Brück: Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 3. Ein Platz in der Innenstadt soll neu mit einer Mauer umrandet werden. An allen vier Straßen, die auf den Platz treffen, wird eine Öffnung von 3 gelassen. Der Platz hat einen Durchmesser von 22 m. Berechne die Länge der gesamten Mauer. Runde auf drei Nachkommastellen. Zusatzaufgabe: Pro Meter werden 22,8 Steine benötigt. Berechne, wie viele Steine erforderlich sind. Eine Palette Steine hat 300 Steine. Runde also auf · 300 auf und finde damit heraus, wie viele Paletten bestellt werden müssen. Rechne alle Ergebnisse in Dezimeter um und addiere die Längen: dm 50 dm dm 669,484 dm Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 2. Eine Kirchenuhr hat den Radius von 1,5 m. Berechne den Umfang. Runde auf drei Nachkommastellen. Kreis, Zylinder und Kegel Aus dem Werk 07047 Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 BN: 07047 – Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 07047_Inhalt.indd 50 20.01.2015 18:58:03 Lösungen Seite 30 Systematische Modifikation – Übungsaufgaben Seite 38 Quadratische Ergänzung II (x 2)2 – 6; (x – 1)2 – 5; (x 1,5)2 – 2 1. Die Figur ist ein Parallelogramm. Seite 39 Quadratische Ergänzung III 2. Lösungswort: RATEN (x 2)2 – 6; 2(x 2)2 2; 1,5(x – 3)2 – 6; 4 (x – 3)2 2. Seite 31 Systematische Modifikation – die Formkonstante Die Figur ist ein Rechteck. Lösungswort: X-ACHSE Seite 40 Umrechnungen gemischt Seite 35 Schnittpunkte berechnen (x 1)2 – 5 A; 2 – 4x 8 F; 2 2x M; 2(x 1)2 – 6 P; (x 0,5)2 – 2,25 G; 2 2x 4 C; 3x 2 30x 75 N; 4(x 0,5)2 3 Schnittpunkte (2 – 1) und (– 1 – 4) Seite 37 Quadratische Ergänzung Einzusetzen sind: Normalform, Acht, Q, Quadrat Lösungswort: MAUS Satzgruppe des Pythagoras 5 9 (1) Gegenkathete, (2) Ankathete, (3) Hypotenuse Lösungswort: UHU 3 Ö C 4 Seite 44 Grundlagen III – der Höhensatz 7 1. 9,22 cm 8 1 2. 54 I 3. 257 m; 136 210 m2 Seite 42 Grundlagen – die Ähnlichkeitssätze 1. Nürnberg – Stuttgart: ca. 160 km; Nürnberg – München: ca. 150 km Seite 45 Grundlagen IV – der Kathetensatz 1. 3,2 cm; 1,8 cm 2. 5,06 cm; 1,59 cm 2. Höhe des Winkels: ca. 2,95 cm 64 Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 6 Seite 43 Grundlagen II – weitere Begriffe Pascal Brück: Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 2 Seite 41 Einstieg und Wiederholung der Begriffe Lösungen Aus dem Werk 07047 Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 BN: 07047 – Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 07047_Inhalt.indd 64 20.01.2015 18:58:15 Lösungen Seite 46 Satz des Pythagoras 3. a) 42,8 km b) 28,7 1. 7 cm 4. a) 1 528 b) 1,37 bzw. 72,9 2. 7,7 cm Lösungswort: Eintausendfuenfhundertachtundsiebzigkommasieben 3. 9,77 m; 23,37 m; 22,4 m2 Seite 48 Gemischte Übungen Seite 47 Satz des Pythagoras II – Übungsaufgaben 1. 49 1. 4,3 2. 3,8 m; 2,3 2. 3,6 cm 3. 3,4 Lösungswort: DREI Kreis, Zylinder und Kegel Seite 49 Grundlagen Seite 51 Fläche des Kreises 5 3 U C M S E A N E Seite 52 Anwendung: Umfang und Fläche 1. 3,30 cm2 2. 12 732 km; 6 366 km Zusatzaufgabe: 1 667 km h 2 I T L U K Seite 50 Umfang des Kreises 3. 940 Mio. km. Zusatzaufgabe: 107 300 km h 4,02 cm2 1. 40,84 cm 4,084 dm 2. 9,425 94,25 dm 3. 57,115 571,15 dm Zusatzaufgabe: 1 302,222 St.; aufgerundet: 1 500, das entspricht 5 Paletten 2,87 cm2 Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth N E 9 804 km 3,30 cm2 13 99 8k 3 068 km Lösungen 7 902 km Pascal Brück: Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 R I L 1 299 Mio. km 4 7 940 Mio. km Y 3. 615,75 m2 Zusatzaufgabe: 27 216,15 St.; das entspricht 55 Paletten. 6 366 km 6 2. 0,5027 km2 12 732 km 1 1. 452 dm2 808 Mio. km 65 Aus dem Werk 07047 Selbstkontrollaufgaben Mathematik Klasse 9 BN: 07047 – Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 07047_Inhalt.indd 65 20.01.2015 18:58:16