Arbeitsblatt: Ebenen im Anschauungsraum

Kapitel 1 BPU II: Vektorgeometrie: Ebenen im Anschauungsraum 1.1 Vorwissen und Misskonzepte Ich behandle dieses Thema erst spat in der Vektorgeometrie. Die SuS sind sich den Umgang mit Vektoren bereits gewohnt. Insbesondere kennen sie: • Den Begriff des Vektors als Ortsvektor und als Verschiebung. • Operationen mit Vektoren zeichnerisch und rechnerisch (addieren, subtrahieren, skalar multiplizieren). • Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt und deren Anwendungen, insbesondere fur geometrischen Berechnungen (Lange eines Vektors, Winkelberechnungen, Senkrechte,. . ). • Die Begriffe linear abhangig und linear unabhangig angewandt auf zwei Vektoren. • Die Parameter-Darstellung einer Geraden in R2 und R3 sowie Anwendungen wie Schnittpunkte berechnen und das Ziehen einer Senkrechten von einem Punkt auf eine Gerade. Fur den letzten Punkt mussen die SuS in der Lage sein, lineare Gleichungssysteme zu losen, dieses Wissen benotigen sie auch fur die Ebenen. Das benotigte Vorwissen ist sehr umfangreich und bietet damit viel Platz fur Misskonzepte. Allerdings treten die meisten davon bereits beim Thema Parameter-Darstellung einer Geraden auf. Ein mogliches Misskonzept liegt in der Vielseitigkeit des Vektorbegriff, das heisst, dass sich die SuS auf eine mogliche Bedeutung fokussieren und die anderen ignorieren. So konnten Vektoren mit Koordinaten gleichgesetzt 1 1. BPU II: Vektorgeometrie: Ebenen im Anschauungsraum werden und die Interpretation als Verschiebung vergessen werden. Misskonzepte rund um das Skalarprodukt konnen in diesem Thema grosstenteils vernachlassigt werden, da wir es nur brauchen, um zu bestimmen, ob Vektoren senkrecht zu einander stehen. Diese Anwendung ist wenig fehleranfallig. Wichtig ist nur sicherzugehen, dass die SuS den Unterschied zwischen der Multiplikation mit einem Skalar und dem Skalarprodukt verstanden haben. Das Kreuzprodukt wird in dieser Stunde noch nicht benotigt. Eine weitere Schwierigkeit konnte sein, dass linear abhangigverwechselt wird mit zeigt in die gleiche Richtung, d.h. dass die Vektoren u und u als linear unabhangig betrachtet werden. 1.1.1 Aufgaben zum Vorwissen Aufgabe 1: Zwei Punkte (1, 2, 0) und (2, 3, 5) sollen durch eine Gerade verbunden werden. Welche der folgenden Ausdrucke sind korrekte Parameterdarstellungen dieser Gerade? 1 1 2 1 h x 2 t · 1 g x 2 t · 3 5 0 5 0 1 0 2 2 k x 1 t · 2 j x 3 t · 2 0 5 10 5 Welche Punkte liegen alles auf dieser Geraden? P (1, 1, 5) Q (4, 5, 15) R (0, 1, 5) S (1, 3, 5) Aufgabe 2: Die Geraden g, und werden beschrieben von den Parameterdarstellungen 2 1 : x 1 t · 1 4 1 1 1 : x 2 t · 1 4 0 3 2 : x 3 t · 1 1 3 Streiche die falschen kursiven Worter aus den folgenden Satzen: Die Gerade schneidet passiert senkrecht. Die Gerade schneidet passiert senkrecht. Die Gerade schneidet passiert senkrecht. 2 1.2. Einstieg 1.2 Einstieg Wir haben bereits die Parametergleichung einer Geraden untersucht. Dabei benotigten wir den Vektor zu einem Punkt auf der Geraden und einen Richtungsvektor. Als Beispiel nehmen wir die Gerade 0 1 : x 0 t · 0 0 0 Stellen wir uns einen Roboter vor, der am Punkt (0, 0, 0) steht und sich nur 1 vorwarts und ruckwarts in Richtung v : 0 bewegen kann. So kann die0 ser Roboter jeden beliebigen Punkt, der auf liegt, erreichen. Jeder andere Punkt ist fur den Roboter aber unerreichbar. Wir wollen nun untersuchen, was passiert, wenn der Roboter so umgebaut wird, dass er sich in eine zweite Richtung bewegen kann. Wir wahlen dazu 2 : 0 den Richtungsvektor 0 Frage 1: Welche Punkte erreicht der Roboter nun? Antwort 1: Der Roboter hat seinen Bewegungsspielraum nicht vergrossern konnen. Er bleibt an die Gerade gebunden. mit dem RichtungsAls nachsteserganzen wir den Roboter anstatt mit 0 vektor u : 1. 0 Frage 2: Erreicht der Roboter nun den Punkt (1, 2, 0)? Und wenn ja, wie muss er dazu vorgehen? Antwort 2: Tatsachlich ist es dem Roboter nun moglich, den Punkt (1, 2, 0) zu erreichen. Er kann dazu zum Punkt (1, 0, 0) fahren, der auf liegt. D.h. er verandert seine Position um 1 · v. Von dort muss er in Richtung von u fahren. D.h. er verandert seine Position um 2 · u. Wir folgern, dass er von (0, 0, 0) nach (1, 2, 0) fahren kann und seine Position dabei um 1 · v 2 · verandert. Frage 3: Erreicht der Roboter auch den Punkt (2, 4, 0)? Und wenn ja, wie muss er dazu vorgehen? Antwort 3: Wir wiederholen den Vorgang von Antwort 2 und kommen zum Schluss, dass der Roboter den Punkt (2, 4, 0) erreicht, d.h. er verandert seine Position vom Ursprung aus um 2 · (1 · v 2 · u). Mit dem Verfahren von 3 1. BPU II: Vektorgeometrie: Ebenen im Anschauungsraum Antwort 2 kann der Roboter sich nun auch in Richtung 1 · v 2 · u bewegen. Zeichne wir uns das ganze auf, wird nun schnell klar, dass der Roboter jeden beliebigen Punkt in der x-y-Ebene erreichen kann, es ihm aber unmoglich ist, diese zu verlassen. Wie konnte man das auch rechnerisch zeigen? 4 1.3. Lehrervortrag 1.3 Lehrervortrag Die Konstruktion aus dem Beispiel wollen wir nun etwas allgemeiner beschreiben: Definition 1.1 Fur einen Punkt in R3 und zwei linear unabhangigen Richtungsvektoren a und b beschreibt x P0 s ·a t · b (1.1) die Ebene aufgespannt von a und b durch den Punkt P. Hier bezeichnet P0 den Ortsvektor von und und sind reelle Parameter. Die Gleichung (1.1) heisst Parametergleichung von . Die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinaten-Achsen heissen Achsenabschnitte von . Bemerkung 1.2 1. Setzt man fur beide reellen Parameter und eine Zahl ein, so erhalt man aus der Gleichung einen Ortsvektor x mit der Spitze auf der 0 auf die Ebene einem Paar Ebene. Umgekehrt entspricht jeder Ortsvektor und reeller Zahlen. 2. Sind drei Punkte A, und in R3 gegeben, die nicht auf einer Gerade liegen, dann kann jeder der drei Punkte die Rolle von ubernehmen und die Richtungsvektoren sind dann die Richtungsvektoren von diesem Punkt zu den beiden anderen. Frage 1: Wieso mussen die beiden Richtungsvektoren linear unabhangig sein? Frage 2: Wieso macht es Sinn, die Achsenabschnitte zu berechnen? Antwort 1: Wenn die beiden Richtungsvektoren linear abhangig sind, wird aus (1.1) die Parameterdarstellung einer Geraden. Dies ist vergleichbar mit der Situation im Beispiel von vorhin, wo wir dem Roboter die zweite Rich gegeben haben. tung Wir konnen aus unserem Beispiel von vorhin also eine Parametergleichung der x-y-Ebene ablesen: 0 1 0 x-y-Ebene x 0 s · 0 t · 1 0 0 0 (1.2) Bevor wir die zweite Frage beantworten, betrachten wir ein kurzes Beispiel: Beispiel 1.3 Wir nehmen die drei Punkte (3, 0, 6), (6, 6, 4) und (2, 4, 4). Unser Ziel ist es, eine Parametergleichung fur die Ebene durch 5 1. BPU II: Vektorgeometrie: Ebenen im Anschauungsraum diese drei Punkte zu finden. Wir wahlen als Ausgangspunkt und erhalten die Richtungsvektoren 3 5 b : AC 4 6 a : AB 10 2 Die Parametergleichung der Ebene durch A, und lautet dann 3 3 5 x 0 s · 6 t · 4 6 10 2 (1.3) Nun wollen wir noch die Achsenabschnitte von bestimmen. Dazu schreiben wir die Parametergleichung als erstes als drei Gleichungen fur die einzelnen Komponenten, die sog. Komponentengleichung: 3 3s 5t 6s 4t x 6 10s 2t Wollen wir z.B. den x-Achsenabschnitt berechnen, so sind die y- und die z-Komponente gleich 0. D.h. wir erhalten ein lineares Gleichungssystem fur und t: 0 6s 4t z 0 6 10s 2t Dieses System lost sich auf zu 67 und 97 Einsetzen in die Komponentengleichung fur gibt 12. Analog lassen sich der y- und der z-Achsenabschnitt berechnen. Als Losung folgen die Punkte Px (12, 0, 0), Py (0, 6, 0) und Pz (0, 0, 8). Antwort 2: Die Achsenabschnitte sind ein nutzliches Hilfsmittel, um die Ebene in einem Koordinatensystem zu zeichnen: Abbildung 1.1: Die Ebene in R3 6 1.3. Lehrervortrag 1.3.1 Die Rolle des Ortsvektors Zum Schluss wollen wir uns noch einige Gedanken zum Punkt P, resp. seinem Ortsvektor P0 in der Parametergleichung der Ebene Gedanken machen. Wir betrachten dazu stellvertretend die Parametergleichung der x-y-Ebene 0 den Ortsvektor eines anderen Punkund modifizieren sie, in dem wir fur tes auf die x-y-Ebene einsetzen: 1 1 0 x 2 s · 0 t · 1 0 0 0 Ist noch immer eine Parametergleichung der x-y-Ebene? Wir losen fur einen beliebigen Ortsvektor in die x-y-Ebene das Gleichungssystem fur und aus der Komponentengleichung ax 1 1 0 y 2 s · 0 t · 1 0 0 0 0 Wir erhalten x 1 und ay 2. Somit ist ebenfalls eine Parametergleichung der x-y-Ebene. Wahlen wirhingegen fur P0 einen Ortsvektor, der nicht auf die x-y-Ebene 0 zeigt, z.B. 0, dann merken wir schnell, dass die neue Parameterglei2 chung nicht mehr die x-y-Ebene beschreibt, sondern eine dazu parallele Ebene, die neu den z-Achsenabschnitt Pz (0, 0, 2) hat. Naturlich ist dies kein allgemeiner Beweis, wir folgern dennoch, dass der Ortsvektor P0 in der Parametergeleichung einer Ebene nur den Ort festlegt, durch den die Ebene verlauft, nicht aber die Ausrichtung der Ebene im Raum. Eine Veranderung des Ortsvektors entspricht einer parallelen Verschiebung der Ebene. 7 1. BPU II: Vektorgeometrie: Ebenen im Anschauungsraum 1.4 Selbsterklarungsaufgaben Aufgabe 1: Erklare in eigenen Worten, wieso es nicht mehr und nicht weniger als zwei Richtungsvektoren braucht und wieso diese linear unabhangig sein mussen. Losung 1: Mogliche Erklarung: Wenn man beim Anfangspunkt startet, muss man sich in zwei Richtungen bewegen konnen, um jeden Punkt in der Ebene zu erreichen. Damit dies moglich ist, reichen zwei Richtungsvektoren. Hat man nur einen Richtungsvektor oder sind die beiden Richtungsvektoren linear abhangig, so hat man nur eine Richtung und erreicht nicht jeden Punkt in der Ebene. Aufgabe 2: Peter hat die drei Punkte (1, 0, 1), (2, 2, 2) und (0, 0, 2). Er schreibt fur die Parametergleichung der Ebene durch diese Punkte 0 2 1 x 0 s · 2 t · 0 2 2 1 Was hat Peter falsch gemacht? Und wie konnte man die Gleichung korrigieren? Losung 2: Peter hat nicht die Richtungsvektoren von nach und berechnet, sondern direkt die Punkte als Vektoren eingesetzt. Um die Gleichung und AB berechnet werden. zu korrigieren mussen die Vektoren AC 1.5 Ubungsaufgaben Aufgabe 1: Gegeben sind drei Punkte A, und C. Stelle die Parametergleichung der Ebene durch A, und auf und berechne den x-Achsenabschnitt: (a) (1, 1, 2), (2, 0, 3), (3, 1, 2) (b) (5, 2, 1), (6, 3, 2), (2, 5, 2) Losung 1: Wir wahlen jeweils fur den Ortsvektor. (a) 1 3 2 x 1 s · 1 t · 2 2 1 0 8 1.6. Prufungsaufgaben Px (10, 0, 0) (b) 5 11 3 1 x 2 s · t· 3 . 1 3 1 Px (6, 0, 0). Aufgabe 2: Stellen die Gleichungen 4 1 2 x 3 s · 2 t · 3 3 0 1 und 7 4 2 x 4 s · 6 t · 4 2 2 0 dieselbe Ebene dar? Losung 2: Eine Ebene ist eindeutig bestimmt durch drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen. Aus der ersten Gleichung folgt, dass (4, 3, 2), (5, 1, 3) und (2, 0, 4) drei solche Punkte sind. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt, dass alle Punkte auch in liegen. Die Ebenen sind somit identisch. 1.6 Prufungsaufgaben Aufgabe 1: (3 Pkt.) Gegeben ist der Punkt und die Gerade g. Bestimme die Parametergleichung der Ebene durch und g. (a) (1, 2, 4) und 3 4 : x 3 t · 6 2 2 (b) (1, 2, 1) und 2 1 : x 3 t · 1 0 1 9 1. BPU II: Vektorgeometrie: Ebenen im Anschauungsraum Losung 1: (a) Zwei Moglichkeiten: (i) Zwei Punkte auf der Geraden berechnen und damit die Ebene. (ii) Die Gerade erganzen mit der Richtung nach A. 3 4 2 1 . x 3 s · 6 t · 2 2 2 Es gibt 1 Pkt., falls drei Punkte berechnet wurden oder eine Richtung von der Gerade nach und einen fur die korrekte Gleichung. (b) Die Gerade geht durch den Punkt, es existiert keine eindeutige Ebene. 1 Pkt. falls dies bemerkt wurde oder 1. Pkt. falls eine korrekte Parametergleichung, die die Gerade r enthalt, berechnet wurde. Aufgabe 2: (5 Pkt.) Gegeben ist die Ebene 2 1 1 2 t · 1 x 1 s · 4 1 1 (a) Stelle die Parametergleichung einer Ebene parallel zu durch (8, 1, 4) auf. (b) Stelle die Parametergleichung einer Ebene senkrecht zu durch die Gerade 1 8 : x 1 t · 2 1 4 auf. Losung 2: (a) 8 1 2 : x 1 s · 2 t · 1 4 1 4 Die korrekte Gleichung gibt 2 Punkte. 8 0 1 (b) Die Parametergleichung der Ebene muss den Ortvektor 4 von und den Richtungsvektor 1 b 2 1 enthalten. Als zweiten Richtungsvektor brauchen wir einen Vektor, der Senkrecht auf der Ebene steht. Eine Moglichkeit ware das Kreuzprodukt der 10 1.6. Prufungsaufgaben beiden Richtungsvektoren von , eine andere das Losen eines Gleichungs senkrecht systems um einen Punkt auf der Ebene zu finden, so dass PA zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene steht. 8 1 7 b x 1 s · 2 t · 2 4 1 3 Die Verwendung eines korrekten Anfangspunktes und eines Richtungsvektors gibt 1 Pkt., das finden eines senkrechten Vektors 1 Pkt. und eine korrekte Gleichung 1 Pkt 11