Arbeitsblatt: Dossier Pythagoras, Thaleskreis, Höhensatz, Kathetensatz

Satz des Pythagoras Thaleskreis Höhensatz Kathetensatz Pythagoras Besonders wichtig sind in der Geometrie die rechtwinkligen Dreiecke. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie einen rechten Winkel (90) haben. Die zwei übrigen Winkel und sind immer spitze Winkel und ergänzen sich auf 90. Im rechtwinkligen Dreieck sagt man der längsten Seite Hypotenuse und den zwei kürzeren Katheten. Satz von Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse. a2 b2 c2 Im rechtwinkligen Dreieck gibt es noch weitere Beziehungen wie den Höhensatz und den Kathetensatz. So berechnest du die jeweiligen Seiten: ist dabei immer die Hypothenuse, und sind die Katheten. 2/21 Pythagorasanwendung im gleichseitigen Dreieck Das gleichseitige Dreieck ist ein besonders wichtiges Dreieck, das immer wieder vorkommt. Neben den Seiten sind auch alle seine Winkel gleich gross. Alle messen 60. Seine Höhe berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras. Aus Seite und Höhe erhält man schliesslich auch die Fläche. 2 æsö s2 ç è2ø AD 3 2 3 4 2 hs 3 3 2 s s 2 2 2 4 æsö h2 s 2 ç è2ø 2 Satz von Thales Der Satz von Thales lautet: Liegt die Ecke auf dem Halbkreis über der Strecke AB (Hypotenuse), ist das Dreieck ABC rechtwinklig. - Thaleskreis 3/21 Höhen- und Kathetensatz Höhensatz In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe gleich dem Rechteck aus den zwei Hypotenusenabschnitten. h2 p · Kathetensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete gleich dem Rechteck aus Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt. a2 c · b2 c · - a b 4/21 Aufgabenblatt 1 1. Berechne die fehlenden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse und den Katheten und b. Wenn das Ergebnis nicht ganzzahlig ist, runde auf zwei Dezimalstellen. 2. Gib für die rechtwinkligen Dreiecke jeweils die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras an. 3. Welche der folgenden Dreiecke sind rechtwinklig? 4. Bei Manchester United war Paul Pogba mit einem ungewöhnlichen Torjubel zu sehen: dem Dab Dance. Die Bewegung erinnert an einen Niesanfall. Pogbas Dab ist legendär. Ist er auch rechtwinklig? Beweise deine Antwort mit der Hilfe einer Rechnung. 5 5. Ergänze die Masszahlen zu den rechtwinkligen Dreiecken. 6. Berechne mit Hilfe des Pythagoras die fehlende Seite des rechtwinkligen Dreiecks. Die Masse sind in cm angegeben und die gesuchte Seite ist rot markiert. Runde, falls notwendig, auf zwei Dezimalstellen genau. 7. Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die beiden Katheten. Berechne den Umfang und die Fläche. Runde, falls notwendig, auf zwei Dezimalstellen genau. 8. Wie lang ist die Diagonale im Quadrat mit der Seitenlänge a? Runde, falls notwendig, auf zwei Dezimalstellen genau. a) 12 cm b) 18 cm c) 45 cm 6 Aufgabenblatt 2 – Satz des Pythagoras in Sachaufgaben anwenden 7 Aufgabenblatt 3 – noch mehr Textaufgaben Gehe stets wie folgt vor: 1. Skizze machen; den rechten Winkel markieren; die Katheten und die Hypothenuse bezeichnen 2. Formel notieren; eventuell umformen 3. Werte einsetzen; berechnen 4. Ergebnis notieren; Lösungssatz 1. Theo und Tina lassen ihren Drachen steigen. Wie hoch steht der Drachen? 2. Nina und Afrim lassen ihren Drachen steigen. Wie lange ist die Schnur? 3. 9 ladder is placed against wall. The foot of the ladder is 1.5 from the foot of the wall. How far up the wall does the ladder reach? 8 4. rectangle is 20 cm long and 8cm wide. Find the length of the diagonal of the rectangle. 5. An airplane is Ylying from Redville to Leek. The airplane Ylies 50 miles East and then 180 miles South. How far is Leek from Redville directly? 6. Stanley has drawn right angle triangle. One side is 14 cm and another is 18 cm. There are two possible lengths for the third side. What are they? 7. Le déménageur pourra-t-il relever cette armoire? 8. Sur un mur vertical, Paul posé une étagère. Voici les mesures quil effectuées MO 60 cm MP 1,2 et OP 1,30 m. Létagère est-elle horizontale? Justifier. 9. Herr Baumann möchte sein Dach erneuern. Die Hausbreite liegt bei 12,60 m, die Höhe des Baches bei 5,50 m. Der Überstand links und rechts beträgt 0,80 m. Wie lang müssen die Dachsparren sein? 9 10. Wie lange ist der Dachsparren beim abgebildeten Haus? 11. Ein Tunnel hat einen Durchmesser von 6 m. Überprüfe durch eine Rechnung, ob ein Mensch der Grösse 1,80 im Abstand 50 cm vom Tunnelrand entfernt aufrecht stehen kann. 12. Dani und Tina stehen vor Danis Haus. Tina behauptet, ihr Haus sei nur einen Steinwurf entfernt. Wie gross ist die Distanz zwischen den zwei Häusern? 13. Eine Tür ist 82 cm breit und 1,97 hoch. Eine 2,10 breite und 3,20 lange Holzplatte soll durch die Tür getragen werden. Ist das möglich? Begründe durch Rechnung. 10 14. In einer Kiste von 90 cm Länge, 5 dm Breite und 400 mm Höhe soll ein 1,1 langer Eisenstab verpackt werden. Ist das möglich 15. In einem gleichschenkligen Trapez messen die beiden parallelen Seiten 9 und 3 und der Schenkel 5 . Berechne die Länge der Höhe und der Diagonale. Wie gross ist die Fläche des Trapezes 16. In einem rechtwinkligen Dreieck misst ein Winkel 60 Die kleinere Kathete hat eine Länge von 3 cm Berechne die beiden anderen Seiten. 17. Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundkante 22 und der Seitenkante 33 . Berechne die Länge der Höhe der Pyramide. 18. Frank muss auf seinem Schulweg durch einen Park, dessen Wege rechtwinklig und parallel angelegt sind. Frank müsste eigentlich 108 Meter nach Süden und danach 45 Meter nach Osten gehen, bis er von seiner Wohnung zur Schule kommt. Frank behauptet, dass er 36 Meter spart, wenn er quer durch den Park läuft. Überprüfe die Behauptung zeichnerisch mittels einer Skizze und rechnerisch! 19. In einem Teich wächst im Abstand 3 vom Ufer eine Pflanze genau senkrecht in die Höhe. Sie ragt um die Strecke 1 aus dem Wasser heraus. Biegt man die Pflanze zum Ufer hin um, so befindet sich die Spitze der Pflanze genau auf Wasserhöhe. Berechne, wie tief das Wasser an der Stelle ist, an der die Pflanze wächst. 20. Ein C4-Briefumschlag ist 22 cm lang und 11 cm hoch. Wie gross ist die Diagonale auf der Rückseite? 11 21 a) Markiere die Stadt Basel in der Karte mit einem blauen Punkt und schreibe sie an. Koordinaten: Basel (610/265) b) Bestimme die Distanzen zwischen: Markiere die Distanzen rot. Rechnung Resultat mit Einheit Lausanne und Konstanz Interlaken und St. Moritz Basel und St. Moritz 12 Aufgabenblatt 3 – Pythagoras dreidimensional 1. Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel mit der Kantenlänge 12 cm? 2. Berechne die drei Flächendiagonalen dab, dbc und dac eines Quaders mit den folgenden Massen: a) 4 cm, 5 cm und 6 cm b) 2 cm, 4 cm und 6 cm 3. Berechne die Höhe der Pyramide sowie des Kegels. 13 4. Berechne die Diagonale d. 5. Berechne die Länge des Streckenzuges PGRQP (runde auf zwei Dezimalen). Beachte dabei, dass P, und Kantenmittelpunkte sind, zudem messen die Kantenlängen des Quaders 12 cm (AB), 8 cm (BC) und 6 cm (CG). 6. 7. Berechne die roten Strecken: 14 Aufgabenblatt 4 – Thaleskreis 1. Wie gross sind die jeweiligen Winkel? Tipp: Thaleskreis! - Vertiefung mit Geogebra: 15 Aufgabenblatt 5 – Höhensatz und Kathetensatz 1. Wie lautet der Kathetensatz zu den folgenden Dreiecken? 2. Berechne die Seite x: 3. Formuliere den Höhensatz zu den folgenden Dreiecken: 4. Berechne die Höhen und Flächen der folgenden Dreiecke: 16 5. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die angegebenen Hypotenusenabschnitte. Berechne die Höhe. 6. Wie gross sind bei dem abgebildeten Rechteck die Seiten und b? 7. Ein Binnenschiff durchquert eine 13 Meter breite, halbkreisförmige Brücke. Die kistenförmige Ladung ist 5 Meter breit. Beim mittigen Durchfahren der Öffnung bleibt ein Abstand von 50 cm zur Brückendecke. Wie weit über dem Wasserspiegel befindet sich der obere Bereich der Ladung? 8. Berechne die fehlenden Werte: 17 9. Berechne die fehlenden Grössen für ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c. 10. Berechne Umfang und Fläche des gegebenen Rechtecks. 11. Ein Holzhaus bekommt ein Pultdach (siehe Skizze). Berechne die Länge der langen und kurzen Dachsparren, wenn diese jeweils 25 cm überstehen sollen. 12. Die Dachsparren einer Fabrikhalle müssen erneuert werden. Sie sollen jeweils 30 cm überstehen. Wie lange müssen sie jeweils sein? 18 13. Konstruiere zum gegebenen Rechteck ein flächengleiches Quadrat. Der Konstruktionsweg muss nachvollziehbar und ersichtlich bleiben. Die Figur ist zu beschriften. 14. Konstruiere zum gegebenen Quadrat ein Flächengleiches Rechteck mit der angegebenen Länge (Strecke EF). Die Konstruktion muss nachvollziehbar und ersichtlich bleiben. Die Figur ist korrekt zu beschriften. 19 15. Berechne die rot markierten Strecken. 16. 20 17. Eine Grundstücksfläche besteht aus einem gleichschenkligem Trapez und einem rechtwinkligen Dreieck. Berechne die Fläche des gesamten Grundstücks. 18. Am Bodensee soll die Entfernung zwischen den Ufern und bestimmt werden. Dazu wird der Punkt von den Punkten und anvisiert. Der Punkt liegt genau in der Fluchtlinie von und C. Die Strecke AB steht senkrecht auf der Strecke CB. Wie weit sind die Ufer und voneinander entfernt, wenn die Strecke CA eine Länge von 7 km und die Strecke CB eine Länge von 5 km hat? 19. Ein Kobold sitzt auf einem Regenbogen. Die Enden sind 3 km und 4 km von ihm entfernt (Luftlinie). Er sieht in der Ferne ein Einhorn und erschrickt, fällt runter und bricht sich ein Bein. Wie tief ist er gefallen? 21