Arbeitsblatt: mathe

1 Seiten 120, 121 Geometrische Körper: Sa Der Kegel und die Kugel 1.1 a, F- flachster Kegel D-A mittlerer Kegel C-E höchster Kegel Kegel aus und F: Qj ::s 7r 1. 752 Kegel aus und D: 7r 1.52 Kegel aus und C: 7r 12 ::.i:: i. Q) 7r 22 20.616 . 7r 22 16.493 ., 4 also also \ 20.6 cm 2 \ 16.5 cm 2 \ 9.4 cm 2 s C ::s Qj Q) .l 7r 22 9.424 ., 2 also ::.i:: . Q) ca Lt) 1.2 Mögliche Lösung: von vorn von rechts von oben 8 Mögliche Lösungen: Arbeitsheft 1, Kapitel 5 Geometrische Körper: 5a Der Kegel und die Kugel 101 Seiten 121, 122 1.3 2cm 9cm -9.2 cm -37.7 cm 3 3.6 7.7 8.5 -104.5 3 45 cm 60cm 75 cm 127 234 cm 3 37 cm -31.9 cm -48.8 cm 45 720 cm 3 -5.4 dm 5dm -7.3 dm 150 dm 3 Kegelvolumen 1.4 \ 160.6 cm 3 80% von 160.6 cm 3 \ 128.4 cm 3 128.4 cm 3 128.4 ml 12.84 cl 12.84 cl 1.284 dl 1.5 Volumen des Würfels: 1000 cm 3 - mit Kantenlänge 10 cm: prozentualer Anteil: 7T 52 5 l7T 52 7T 53 3 3 also \ 523.6 cm 3 52 4% mit Kantenlänge k: - mit Kantenlänge 10 cm: prozentualer Anteil: 7T · 52 · 10, also \ 261.8 cm 3 6 2% mit Kantenlänge k: - mit Kantenlänge 10 cm - prozentualer Anteil - mit Kantenlänge k: 102 102 5 2 7T. 2.5 2 5 2 7T. 2.5 2 5, also \ 761.8 cm 3 -76.2% (l2E_)k3 12 Arbeitsheft 1, Kapitel 5 Geometrische Körper: 5a Der Kegel und die Kugel Seiten 122, 123, 124 - mit Kantenlänge 10 cm Pyramidengrundseite: l7r 52 5 l. 3 1.6 3 (JQ) J2 prozentualer Anteil -21.4% mit Kantenlänge k: Pyramidengrundseite: 7r · 1.52 · 4 3 24 ·8 10 J2 2 5 3 also \ 214.2 cm J2 57.424„ Das Volumen beträgt ungefähr 57.4 3 1.7 Siehe Lösung uriter «Extras» Der veränderliche Kegel · 1.8 Siehe Lösung unter «Extras» Sektglasfüllung 1.9 - Kegelvolumen: . 7r. 2 h 3 Pyramide G): Seitenlänge: · J2 Anteil in Prozent: . r2 h 2 - -;;;: \ 64% 17r r2 h 3 Pyramide @: V 6 ( .J3). Anteil in Prozent: 1{r2 J}. r2. 17r r2 h 3 3f3 \ 83% 2 ,,,. c- 1.10 Zum Tüfteln Mögliche Begründung: In Gedanken halbiert man den Zylinder. In jeder Hälfte befindet sich einer der beiden Kegel. Das Volumen jedes Kegels beträgt ein Drittel des Volum ens des Teilzylinders. Daher beträgt das Volumen der beiden Kegel insgesamt ein Drittel des Volumens des gesamten Zylinders. Es bleiben 66% des Zylinders übrig. Arbeitsheft 1, Kapitel 5 Geometrische Körper: 5a Der Kegel und die Kugel 103 Seiten 124, 125 Für einen Zylinder mit Radius rund Höhe h: Restkörper: 1.11 m 2h 2 (. 7r; h) 2 m 2 a, Mögliche Skizze: 50 cm (n · 502 7r · 102 · g 3560.471„ ., also \ 3560 cm 2 35.6 dm 2 0.35 2 Zum Tüfteln r, 271 50 llQ 360 --271-- 23.6111„. cm 271 10 llQ 0 4.7222 „. cm r2 --36 271 35.259 „. also \ 35.3 cm 2.1 Radius Durchmesser Volumen 7cm 14 cm -1437 cm 3 4m 8m -268 3 4.2 dm 8.4 dm -10.3 dm 3 60mm 120 mm -904 778 mm3 -6.2 cm -12.4 cm 1000 cm 3 -2.3 -4.7 54 3 Kugelvolumen 104 Arbeitsheft 1, Kapitel 5 Geometrische Körper: 5a Der Kegel und die Kugel Seite 125 2.2 b Volumen Zylinder: 7r · 3 .1752 · (4 · 6.35 Volumen Bälle: 4 · 7r · 3.1753 Anteil in Prozent: 4 3.17532 \ 3. 6.35 66.7% Hinweis: Eine Kugel füllt zwei Drittel des umgebenden Zylinders aus. Also füllen auch die vier Tennisbälle zw ei Drittel des umgebenden Zylinders aus. c- 2.3 a- b Volumen der halbkugelförmigen Schale: .l i7r r3 32v 322 2 3 2 1 2 dm 3 2m3 3 0.9847 . \ 0.985 dm d\ 1.97 dm 19.7 cm 2.4 ab Radius der Schale: Volumen der Schale: Vs .l i 7r r3 2m3 Volumen der Kugel: VK Antei in Prozent: VK VS -- 2 3 3 7r ()3 7rt 7rr3 27rr3 6 3 Arbeitsheft 1, Kapitel 5 Geometrische Körper: 5a Der Kegel und die Kugel 1 4 25 010 /C 105 Seiten 126, 127 2.5 Kugelradius: 2.6 2.5 m, Höhe der Skulptur: Anzahl Kugelachtei: lll. .lQ 8 8 8 8 8 Volumen der Skulptur: Gewicht der Skulptur: 1278.317„. · 1.38 1764.077„ „ 4r also 0.625 · 7rr 3 7r. 0.6253 1.2783173 „ also also 1.3 3 1764 kg ab Anordnung Kugelradius: 7r 5 3 Kugelvolumen: Anteil in Prozent: Anordnung Kugelradius: 6 3 7r 5 4 s3 52 .4 8 · 7r Kugelvolumen Anteil in Prozent: · s3 3 Anordnung Kugelradius: 6 7r (*) 3 6 53 6 52 .4 7r -- 6 27 · 34 · (65 )3 Kugelvolumen Anteil in Prozent: ·s3 106 · 3 6 7r 5 3 6 52.4% Arbeitsheft 1, Kapitel 5 Geometrische Körper: 5a Der Kegel und die Kugel Seiten 127, 128 cd Zum Tüfteln: · Anordnung enthält 4 3 64 Kugeln it Anordnung enthält 53 125 Kugeln mit Radien Radien Anordnung enthält 6 3 216 Kugeln mit Radien 5 10 TI Es ergibt sich bei jeder Anordnung derselbe prozentuale Anteil von ungefähr 52.4 . Mögliche Begründung: Für Kugeln nebeneinander beträgt das Volumen V n3 · 17r ·(2n 5 3 · s3 unabhängig davon welche natürliche Zahl für eingesetzt wird 2.7 Hinweis: Beim abgebildeten kugelförmigen Gefäss urde der oberste Teil abgeschnitten, damit Wasser eingefüllt werden kann Die folgenden Lösungen gehen jedoch von einer vollständigen Kuge aus. Wie hoch steht das Wasser bei halber Gefässhöhe? Wie hoch wird das Wasser stehen, wenn die ganze Kuge gefüllt ist? Wie viel Wasser ist bei halber Höhe eingefüllt? Welches Volumen enthält die ganze Kugel? Stärkste Steigung der Füllhöhe: Schwächste Zunahme der Füllhöhe: E 7cm 14 cm 700 ml 0.71 1400 ml 1.4 1 von 0 ml auf 50 ml (erster Einfü llsch ritt) von 650 ml auf 700 ml (letzter Einfüllschritt) Wasserfüllung eines kugelförmigen Gefässes 14 Ql c ,0 c 12 ::l LL 10 8 6 4 2 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 Wasservolumen [ml) Mögliche Begründungen: Die stärkste Zunahme (grün arkiert) erfolgt dort, wo das Gefäss am «schmalsten » ist. Die schwächste Zunahme (rot markiert) erfolgt dort, wo das Gefäss am «breitesten » ist. Arbeitsheft 1, Kapitel 5 Geometrische Körper: 5a Der Kegel und die Kugel 107 Seiten 128, 129 Fortsetzung des Graphen siehe Diagramm Seite 107 Mögliche Antworten: Bei 1400 ml ist das Gefäss vollständig gefüllt. Der Graph ist punktsymmetrisch bezüglich des Punktes (700 ml/7 cm) Siehe Lösung unter «Extras» Kugelgefäss 2.8 V l · m3 7rr 2 l.r n7rr 3 2.9 . 7rr3 7r(_i:_)2i:_ n7rr3 2 3 2 6 2 3 2 2 24 Zum Tüfteln: ab Raumdiagonale im Würfel: 2r Würfelkante: Würfelvolumen: Kugelvolumen: 3 Anteil in Prozent: 3.1 Volumen Fass: 4 3 Br .· 3 · ?Tr- -3,/3 2r J3 VK 7rr3 3 2 J3 7r 36.8% ·J 2 7 · 8 (2 · 7r · 5 5 )2 4. 7r. (6 1 )2) 221.734 . Das Volumen des Fasses beträgt ungefähr 222 3. 3.2 222 000 2 2 2 4a a · a3 · abc Das Resultat ist exakt. V 4G G · · Das Resultat ist exakt. Die Deckfläche ist null. Der Radius auf halber Höhe ist · also 1 7rr 2 47rr 2 7rr 2 h 7rr 2h 6 6 ab 4ab ab 6 6 7rr2 47r(_i:_)2 2 6 17rr 2h 3 Das Resultat ist exakt. Das Resultat ist exakt. Das Resultat ist exakt. Grund- und Deckfläche sind null, also 4 2 · 2r 7rr 3 6 3 108 Das Resultat ist exakt. Arbeitsheft 1, Kapitel 5 Geometrische Körper: 5a Der Kegel und die Kugel Seiten 130, 131 3.3 Mögliche Antwort: Der Bruch ist das arithmetische Mittel der sechs Querschnitte. Hinweis: Der Querschnitt auf ittlerer Höhe wird vierfach gezählt. Weil die drei Querschnittsflächen unterschiedlich gewichtet werden, wird dieses arithmetische Mittel oft als «gewichtetes arithmetisches Mittel » bezeichnet. Mögliche Antwort: Das Volumen eines Körpers berechnet sich als durchschnittliche Querschnittsfläche mal Höhe. . G. ca IJ) 3.4 Zum Tüfteln: Der Radius der Kreisfläche des Zylinders auf halber Höhe: also 2 h(7rR 2 7r( r) 2 7rr 2 6 7rh(R 2 R2 2Rr r 2 r2 6 7rh(R 2 Rrr 2 6 Hinweis: Die keplersche Fassregel liefert auch hier das exakte Resu ltat. 4 5.1 5.2 Radius Durchmesser Oberflächeninhalt 8cm 16 cm -804.2 cm 2 4m Sm -201.1 2 1.4 dm 2.8dm 24.6 dm 2 95mm 190 m -113411.5 mm 2 8.9 cm -7.8 cm 1000 cm 2 1.4 2.8 25 2 S 9. 47r 9 2 9160.884 „ „ also \ 9161 2 Es sind ungefähr 9161 2 zu putzen. Dies entspricht ungefähr 4580 Fenstern. Arbeitsheft 1, Kapitel 5 Geometrische Körper: 5a Der Kegel und die Kugel 109 Seite 131 5.3 Ähnlichkeitsfaktor zwischen den Radien 4 den Oberflächeninhalten - den Volumen: 4 3 64 4 2 16 Oberflächeninhalt: Kugel mit 1 : Kugel mit 4 m: S 12.566 m 2 201.061„. 2 · Überprüfen des Ähnlichkeitsfaktors: 201.061.„: 12.566„. 16 Der Faktor ist richtig. Volumen: Kugel mit 1 m: Kugel mit 4 m: 4.188 m 3 268.082 „. m3 Überprüfen des Ähnlichkeitsfaktors 268.082„.:4.188.„ 64 Der Faktor ist richtig. 5.4 300 000 000 · 47r · 0.0001 2 37.699.„, also 38 2 Die Oberfläche aller Lungenbläschen beträgt ungefähr 38 2 1.738 „ „ also 1.7 Die Kugeln müssen einen Radius von ungefähr 1.7 Radius haben. 110 Arbeitsheft 1, Kapitel 5 Geometrische Körper: 5a Der Kegel und die Kugel