Arbeitsblatt: Pythagoras Dossier

LU 12 – Pythagoras (LU13 Quadratwurzel) Name: , ISS2, Niv. B, Rothenburg Lernziele: Selbstbeurteilung 2 Ich kann b d nei teilw gu s. gut Allgemein: Ich kenne die verschiedenen Eigenschaften, die ein Dreieck haben kann, erkenne sie und kann damit weitere Angaben herausfinden. Die rechnerische und geometrische Bedeutung von Quadratzahlen erklären Die Quadratzahlen von 1-20 in beide Richtungen berechnen (bzw. kennen). die Grösse einer Zahl auf eine natürliche Zahl genau bestimmen, wenn x2 bekannt ist. den Satz des Pythagoras in rechtwinkligen Dreiecken erkennen. rechtwinklige Dreiecke in anderen Figuren erkennen und mithilfe des Satzes des Pythagoras fehlende Seiten mit Genauigkeit berechnen. 1 den Satz des Pythagoras zur Berechnung von Strecklängen in einem Koordinatensystem verwenden. Selbstbeurteilung 2 Zusätzlich kann ich h nei teilw gu s. gut den Satz des Pythagoras in Anwendungsaufgaben erkennen und die gesuchten Grössen berechnen. den Flächeninhalt eines Quadrates, Rechtecks, allgemeinen Parallelogramms und Dreiecks berechnen (oder die fehlenden Angaben berechnen). 2 Bewertung Dossier Kriterien Beschreibung Inhalt Vollständigkeit: Alle Aufgaben sind vollständig. Lösungswege sind ersichtlich, Verbesserungen sind gemacht Korrekte mathematische Darstellung und Schreibweise Sprache Punkte Bewertung Bemerkungen /3 /3 richtige Verwendung des Gleichheitszeichens – Keine Kettenrechnungen!! Form Sauberes und gleichmässiges Schriftbild Saubere Korrekturen Resultate hervorgehoben /3 /9 Dreiecke und ihre Eigenschaften Jedes Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel. Beschriftung der Eckpunkte: große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, und C) Beschriftung erfolgt im Gegenuhrzeigersinn Die Seiten werden mit kleinen Buchstaben (zum Beispiel a, und c) beschriftet. Seite liegt dem Eckpunkt gegenüber und verbindet die Punkte und C. Die anderen Seiten werden nach dem gleichen Prinzip beschriftet. Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel , und ). Dabei ist der Winkel am Eckpunkt A, liegt ). Dabei ist der Winkel am Eckpunkt A, liegt am Eckpunkt und ). Dabei ist der Winkel am Eckpunkt A, liegt am Eckpunkt C. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt in jedem Dreieck 180. 3 4 Eigenschaft: Winkelgrösse Spitzwinkliges Dreieck In einem spitzwinkligen Dreieck sind Winkel: Rechtwinkliges Dreieck In einem rechtwinkligen Dreieck istWinkel . Stumpfwinkliges Dreieck In einem stumpfwinkligen Dreieck ist Winkel Eigenschaft: Seitenlänge Gleichschenkliges Dreieck In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten (die beiden Schenkel) gleich lang. Der Schnittpunkt der beiden Seiten heißt Spitze. Die dritte Seite wird Basis genannt, und die beiden an der Basis anliegenden Winkel sind die Basiswinkel. Die beiden Basiswinkel sind immer gleich gross. Die Höhe der Basis, ist auch gleich die Seitenhalbierende der Basis. 5 Gleichseitiges Dreieck In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleichgroß 60). abc Innenwinkel eines Dreiecks ist immer: Festigung 1: Die Quadratwurzel Geometrische und rechnerische Bedeutung Quadrieren Geometrische Bedeutung Quadratwurzel x2 Durch Quadrieren entsteht aus einerein. x Durch Wurzelziehen entsteht aus dem eine. Rechnerische Bedeutung Das Ziehen der Quadratwurzel ist die des Quadrierens. Z.B. 82 64 Umkehroperation 64 8, weil 8 8 64 Die Quadratwurzel aus einer Quadratzahl ist eine natürliche Zahl ( 1, 2, 3, 4, 5, .). Z.B. 49 7. Dabei ist 49 die und 7 die . Die Quadratzahlen bis 20 x2 Quadratzahl 11 12 1 2 1 4 13 14 3 4 15 5 16 6 17 7 18 8 19 9 20 10 x 121 1. Grundaufgabe Löse folgende Aufgabe direkt hier hin. 6 Quadratwurzel einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist Die Quadratwurzel aus den anderen natürlichen Zahlen lassen sich nur berechnen, weil sie unendliche lange, nichtperiodische Dezimalbrüche sind. Man nennt solche Zahlen . Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen, heissen irrationale Zahlen. Die irrationalen Zahlen ergeben zusammen mit den rationalen Zahlen die reellen Zahlen . Z.B. 6 2.4494897 weil 2.44948972 6 Irrationale Zahlen runden wir auf 2 Stellen nach dem Komma: 62.45 7 Festigung 2: Der Satz des Pythagoras Bei einem rechtwinkligen Dreieck heisst die Seite gegenüber des rechten Winkels Hypotenuse. Die anderen beiden Seiten werden Katheten genannt. Wenn man die drei Quadrate so hinlegt, dass sich ihre Ecken berühren, ergibt das ein rechtwinkliges Dreieck. Wir wissen: 1 blaues Quadrat 1 gelbes Quadrat 1 rotes Quadrat. Das heisst: Die beiden Quadratflächen der Katheten sind zusammen gleich gross wie die Quadratfläche der Hypotenuse. Formel: Merke: Der Satz von Pythagoras kann NUR bei rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden. 8 1. Grundaufgabe Berechne die fehlende Grösse. Kathete 6 Kathete 8 Hypotenus 12 21 13 24 12 13 7 8 11 29 17 15 19 17 2. Grundaufgabe Berechne die Länge der Diagonalen dieser Rechtecke. 9 3. Grundaufgabe Berechne den Flächeninhalt der gleichschenkligen Dreicke. Hinweis: Zeichne die Höhe der Basis ein und bereche diese zuerst mithilfe des Pythagoras. Die Höhe schneidet die Basis genau in der Hälfte). 4. Grundaufgabe Berechne die blau markierten Strecken. 1 0 5. Grundaufgabe Berechne im gegebenen Rechteck 6. Grundaufgabe Berechne Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks ABC! (Tipp: ABC ist nicht rechtwinklig) (Tipp: Berechne zuerst die mithilfe des Pythagoras, danach die Fläche. Mit der Seite und der Höhe kannst du die Seite ebenfalls mithilfe des Pythagoras berechnen). 2. Anwendungsaufgabe 1 1 3. Anwendungsaufgabe Für eine, wie hohe Mauer reicht diese Leiter? 4. Anwendungsaufgabe 1 2 Um den Baum zu fällen, befestigt der Holzfäller ein Seil an der Spitze des Baumes und zieht daran. Wie lang muss das Seil mindestens sein, damit der Holzfäller den Baum nicht auf den Kopf bekommt? Tipp: Überlege zuerst, wie weit weg der Holzfäller stehen muss. Der Baum ist vom Schnitt bis zur Spitze 11m lang. 1 3 5. Anwendungsaufgabe Berechne x. 6. Anwendungsaufgabe Bestimme den Umfang folgender Vierecke! Tipp: Schau dir die Winkel der Dreiecke an und überlege dir mithilfe der Innenwinkelsumme, wie gross die anderen sein müssen. Wenn zwei Winkel gleich sind Gleichschenklig. 1 4