Arbeitsblatt: Pythagoras

Geometrie: Pythagoras Der Satz von Pythagoras Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse und den Katheten und b. Über die drei Seiten errichten wir Quadrate. Die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Flächeninhalt des Quadraten über der Hypothenuse, a2 b2 c2. b2 a2 c2 2 b 2 c2 Wenn wir eine Seite eines Dreiecks berechnen wollen, brauchen wir die beiden anderen Seitenlängen und das Dreieck muss rechtwinklig sein, ansonsten kann man den Pythagoras nicht anwenden. a c2 b2 Kathete Hypothenuse) 2 Kathete) 2 b c2 a2 Kathete Hypothenuse) 2 Kathete) 2 c a2 b2 Hypothenuse Kathete) 2 Kathete) 2 1. Kennzeichne die Hypothenuse mit einer Farbe. Zeichne die rechten Winkel ein. Berechne die fehlende Strecke (auf 2 Stellen nach dem Komma runden). 1 Geometrie: Pythagoras 3cm 4cm 8cm 36cm 3cm 2cm 99cm 6cm 6,5cmc 40cm 102cm 1cm 10,4cm 7,07cm 20,4cm 3cm 15cm 25,6cm 3,5cm 9,95cm Berechnungen an verschiedenen Flächen 2 Geometrie: Pythagoras A) Diagonalenlänge im Rechteck: d a2 b2 B) Diagonalenlänge im Quadrat: ds· 2 C) Höhe im gleichseitigen Dreieck: h s 3 2 D) Flächeninhalt im gleichseitigen Dreieck: A s2 3 4 E) Körperdiagonale im Quader: d a2 b2 c2 F) Körperdiagonale im Würfel: ds· 3 1. Stelle für die jeweiligen Dreiecke die zum Satz des PYTHAGORAS gehörige Gleichung auf! C a) Dreieck ADE: 3 Geometrie: Pythagoras e2 b) Dreieck BDC: c2 2. Gib für die jeweiligen Dreiecke die zum Satz des PYTHAGORAS gehörige Gleichung an! e a) Dreieck ABC: e2 b) Dreieck ACD: e2 3. Stelle für die jeweiligen Dreiecke die zum Satz des PYTHAGORAS gehörige Gleichung auf! a) Dreieck AFE e2 b) Dreieck BCF c c) Dreieck ABE a d) Dreieck ACD a e) Dreieck ABC b f) Dreieck ABF b 4.) Berechne die Länge der nicht gegebenen Seiten des rechtwinkligen Dreiecks: 4 Geometrie: Pythagoras 5.) Berechne die fehlenden Seitenlängen (alle Angaben in cm). Kathete 6 12 Kathete 8 9 Hypotenuse 48 32,5 3 50 7 36 48,5 6.) Ein Rechteck ABCD hat den Flächeninhalt 720 mm 2. Die Seite AB misst 20 mm. Berechne AC 7.) Berechne die gesuchten Grössen: 5 1,4 37,5 16 5 1,5 Geometrie: Pythagoras 8.) Berechne Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks ABC: 9.) Berechne im gegebenen Rechteck a) die Länge der Diagonalen b) den Flächeninhalt. c) die Länge der Diagonalen 6 Geometrie: Pythagoras 10.) Ergänze für ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Katheten und sowie der Hypotenuse die folgende Tabelle! Kathete 6,0 cm Kathete 8,0 cm 12,0 12,5 mm Hypotenuse 13,0 Flächeninhalt 100,0 mm2 11.) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn gilt: AC BC 37cm; CD 35cm Umfang: Flächeninhalt: 12.) Berechne jeweils alle fehlenden Stücke des Dreiecks. 7 Geometrie: Pythagoras a) 45cm b) 27cm 15dm c) d) 60cm 36cm 150dm2 9dm 169m 144m 40 32m 60 18 24m 13.) Berechne jeweils alle fehlenden Stücke des Dreiecks. a) b) 52cm 40cm 8dm 28dm c) 15cm 150cm2 14.) Berechne jeweils alle fehlenden Stücke des Rhombus (e und sind die Diagonalen). 8 Geometrie: Pythagoras a) b) c) d) 37cm 24 cm 12m 14,4m 12cm 64 cm 8dm 66dm2 15.) Die Diagonalen eines Quadrates sind 16 cm lang. Wie lang sind seine Seiten und wie gross ist seine Fläche? 16.) Ein Rhombus hat 37 mm lange Seiten. Seine längere Diagonale misst 70 mm. Wie lang ist die andere Diagonale? Wie gross ist seine Fläche? 17.) Ein Quadrat hat eine Fläche von 144 cm2. Wie lang sind seine Diagonalen? 18.) Ein Rhombus ABCD hat die beiden Diagonalen AC 5,6cm und BD 9cm. Berechne seine Seitenlänge s, den Umfang und die Fläche A. 19.) Ein gleichseitiges Dreieck ist 53 mm hoch. Wie breit ist es? 20.) Die Seite eines gleichseitiges Dreieck beträgt 53 mm. Wie hoch ist es? 9 Geometrie: Pythagoras 21.) Berechne in einem gleichschenkligen Dreieck a) die Länge der Basishöhe, wenn ein Schenkel 40 cm und die Basis 48 cm misst. b) den Flächeninhalt, wenn ein Schenkel 34 cm misst und der Umfang 100 cm beträgt. c) den Umfang, wenn die Basishöhe 35 cm misst und der Flächeninhalt 420 cm 2 beträgt. 22.) Berechne die gesuchten Grössen: d) g) e) f) h) i) 10 Geometrie: Pythagoras j) 23.) a) Wie gross ist der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks mit 8 cm und 5 cm? b) Wie lange sind die Schenkel eines gleichschenkliges Dreiecks mit der Grundseite 8 cm und dem Flächeninhalt 30 cm 2? 24.) Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathetenlängen 4 cm 7 cm. Wie lange ist die Höhe hc? 25.) a) Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 45,12 cm 2 und die Seite 9,4 cm. Wie lange sind seine Diagonalen? b) In einem Quadrat beträgt die Diagonalenlänge Flächeninhalt? 8 cm. Wie gross ist sein c) Wie lang sind die Diagonalen in einem Quadrat vom Umfang 2 cm? 11 Geometrie: Pythagoras 26.) Wie lange ist die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 4cm? 27.) Zeichne das Viereck mit den Koordinaten P(5/3) Q(3/6) R(-4/2) S(2/-1). Berechne den Umfang des Vierecks (2 Häuschen 1 Einheit 1 cm): 28.) In einem gleichschenkligen Trapez misst die kürzere der beiden parallelen Seiten 21 cm, die Höhe 12 cm und der Flächeninhalt 312 cm 2. Gib die Länge der Schenkel an. 12 Geometrie: Pythagoras 29.) Das Trapez PQRS ist gleichschenklig und 172,8 cm 2 gross. Seine Höhe misst 9,6 cm und die lange Parallelseite 29 cm. Berechne die Länge der anderen Seiten. 30.) Ein rechtwinkliges Dreieck ABC hat die Katheten AB 51 mm und AC 75 mm. Berechne aus diesen Angaben die Seite BC 31.) Drücke den Umfang und die Fläche des einbeschriebenen Trapezes mit den angegebenen Variablen aus. 32.) Berechne den Umfang und die Fläche der einbeschriebenen Fläche. 13 Geometrie: Pythagoras 33.) ABCD ist ein Rechteck mit den Seiten AB 12 cm und die dunkle Fläche. BC 8 cm. Berechne 34.) Eine 4,2 lange Leiter lehnt an einer Wand. Auf dem Fußboden beträgt ihr Wandabstand 1,5 m. Wie hoch reicht die Leiter? 35.) Ein Tapezierer will nachprüfen, ob die Zimmerdecke rechtwinklig ist. Er misst die Länge mit 5,10 m, die Breite mit 3,60 und die Diagonale mit 6,24m. Zu welchem Ergebnis kommt er? 36.) Durch einen Sturm Wurde eine Tanne in einer Höhe von 2,80m über der Erde so abgeknickt, dass ihre Spitze 9,80m vom Stamm entfernt auf den Boden aufschlägt. Wie hoch war die Tanne ursprünglich? 14 Geometrie: Pythagoras 37.) Wie lang ist die Luftseilbahn von Mörel nach Riederalp auf genau )? a) b) Wie lang ist die Luftseilbahn von Fiesch auf Eggishorn auf genau )? 38.) Berechne die gesuchten Grössen: 15 Geometrie: Pythagoras c) 39.) Von einem Rhombus ABCD kennt man die Länge der Diagonalen: AC 78 cm und BD 42 cm Berechne den Umfang und den Flächeninhalt A. 40.) Berechne Umfang und Flächeninhalt des Parallelogramms: 41.) Berechne im gegebenen Trapez ABCD mit a) die Länge der Strecke AD b) den Flächeninhalt A. 16 BC CD Geometrie: Pythagoras 42.) Berechne den Umfang des Vierecks ABCD: Prüfung: Pythagoras 1 43.) Der Würfel hat 12 cm lange Kanten. Berechne die Längen der Strecken: 17 Geometrie: Pythagoras 44.) Wie lange sind die Körperdiagonalen in einem Quader bei den folgenden Seitenlängen? a) 6cm, 8cm, 24cm b) 2,5cm, 6cm, 4,2cm c) 47 cm, 48 cm, 49 cm 45.) Wie lange ist die Seite eines Quaders mit Seitenlängen 6cm und 8cm, dessen Körperdiagonale 11cm misst? 46.) Ein Würfel hat die Oberfläche (alles, was nass wird) 11,76 dm 2. Wie lang ist seine Körperdiagonale? 47.) Berechne die Schnittfläche PQRS im Quader (Einheit in cm): a) b) 18 Geometrie: Pythagoras 48.) Berechne die Länge der Strecke im Körper: 49.) Berechne die Längen aller Kanten, sowie die Grösse der Dachfläche (Einheit in m): 19 Geometrie: Pythagoras 50.) Ein 2 hoher Schrank, der 18 dm lang und 6 dm tief ist, steht in einem Zimmer. Wie hoch muss das Zimmer mindestens sein, wenn man ihn umlegen will, ohne ihn zerlegen zu müssen (Genauigkeit: 1 cm)? 20 Geometrie: Pythagoras 51.) Berechne die schraffierte Fläche (Einheit in mm): 52.) Berechne die schraffierte Fläche: s 2,1 cm 53.) Berechne die schraffierte Fläche: s 2,1 cm 54.) Berechne die schraffierte Fläche: s 12 mm 21 Geometrie: Pythagoras 55.) Berechne die schraffierte Fläche: a 7 cm 90 56.) Berechne die Fläche der Möndchen: a b 3,5 cm 5,5 cm 57.) Berechne den Umfang: 22 Geometrie: Pythagoras 58.) Berechne die gesuchten Grössen der Trapeze ABCD: d) e) 23 Geometrie: Pythagoras 59.) Berechne die schraffierte Fläche (Einheit in mm): a) b) c) d) 24