Arbeitsblatt: Aufräumdossier Mathematik 5

Inha ltsv erze ichn is Form Raum 1. Formen und Symmetrie The Aufr men äum buc dos h5 sier Mat zu Theme hem n, die Dies atik im letzten es Schulja hr noch Dos nicht behand sier elt geh wurden ört 6a 1 Arb eits weis 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Grössen, Daten, Funktionen und Zufall 2. Schreibweisen von Grössen 3. Rechnen mit Grössen 4. Diagramme Zahl Variable Textaufgaben Brüche ordnen Brüche und Rechnungen Runden Rechnen mit Dezimalzahlen Terme und Gleichungen Mittelwert (Durchschnitt) Zentralwert (Median) Aufbau der Inhalte 2 Das Dossier ist pro Thema immer gleich aufgebaut. Es gibt einen Theorieund einen Übungsteil. Zusatzmaterial Falls du noch mehr üben möchtest als vorgesehen, kannst du bei der LP Zusatzmaterial zu den Themen verlangen. Du löst diese Aufgaben ebenfalls selbständig und korrigierst sie auch selbständig. Bei Fragen steht dir die LP zur Verfügung (reguläre Lektionen und HA-Lektionen). Vorgehen/Arbeitsweise Du studierst die Theorieteile der Themenblöcke selbständig und löst anschliessend die Übungsaufgaben direkt in dieses Dossier. Manchmal gibt es auch einen Kurzinput durch die LP. Notizen zu diesen Inputs machst du direkt ins Dossier, falls du das möchtest. Wichtiges Im Vordergrund stehen sauberes übersichtliches Arbeiten und zuverlässiges Üben und Korrigieren. Lernkontrollen und Lernzielüberprüfungen Lernkontrollen werden frühzeitig angekündigt. Normalerweise wird ein Themenblock geprüft. Es kann aber auch sein, dass mehrere Themenblöcke gleichzeitig überprüft werden. Besonderes Dieses Repetitionsdossier kann auch Bestandteil des Lernplans sein. Eine Einführung zu den Lernplänen bekommst du separat. 1. Formen und Symmetrien Form Raum Theorie (Formen) Wir konzentrieren uns auf besondere Dreiecke und Vierecke. Besondere Dreiecke (die Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180): unregelmässiges Dreieck lang alle Seiten sind unterschiedlich 3 gleichseitiges Dreieck den Ecken gibt gleichschenkliges Dreieck lang und zwei rechtwinkliges Dreieck und einer alle Seiten sind gleich lang und in es je einen 60 Winkel zwei von drei Seiten sind gleich von drei Winkeln sind gleich gross alle Seiten sind unterschiedlich lang der drei Winkel misst genau 90, ist also ein rechter Winkel rechtwinklig-gleichschenkliges zwei von drei Seiten sind gleich lang und der Dreieck Winkel, den die beiden gleich langen Seiten einschliessen misst 90, die beiden anderen Winkel sind gleich gross und messen immer je 45 Besondere Vierecke (die Winkelsumme in jedem Viereck beträgt 360): Rechteck gegenüberliegenden vier rechte Winkel, die Seiten sind gleich lang und parallel, die benachbarten Seiten sind unterschiedlich lang Quadrat gleich lang, und senkrecht zueinander vier rechte Winkel, alle Seiten sind die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel, die benachbarten Seiten sind Parallelogramm gross, senkrecht und gleich lang gegenüberliegende Winkel sind gleich benachbarte Winkel sind zusammen 180 benachbarte Seiten sind nicht gleich lang und nicht senkrecht, gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel 4 Rhombus (Raute) nicht alle Seiten sind gleich lang und stehen senkrecht zueinander, gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel gegenüberliegende Winkel sind gleich gross, benachbarte Winkel sind zusammen 180 So sehen diese Formen aus (Dreiecke) a. b. c. d. e. unregelmässiges Dreieck gleichseitiges Dreieck gleichschenkliges Dreieck rechtwinkliges Dreieck rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck a. c. b. d. e. Beachte: Punkte grosse Buchstaben Linien kleine Buchstaben 5 (bei C) Beschriftung im Gegenuhrzeigersinn gegenüber von Punkt liegt Seite a, gegenüber von Seite b, etc So sehen diese Formen aus (Vierecke) a. b. c. d. a. Rechteck Quadrat Parallelogramm Rhombus (Raute) b. c. d. Beachte: Punkte grosse Buchstaben Linien kleine Buchstaben Winkel griechische Buchstaben alpha (bei A), beta (bei B), gamma (bei C), delta (bei D) 6 Gegenuhrzeigersinn Diagonalen von – eDiagonalen von – Übungen 01 a. Zeichne ein Quadrat auf ein farbiges Blatt Papier. Es hat eine Seitenlänge von 4cm. b, Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen 4cm und 8cm auf ein farbiges Blatt Papier. c. Zeichne im Quadrat und im Rechteck je eine Diagonale ein. d. Schneide das Quadrat und das Rechteck aus sowie entlang der Diagonalen entzwei. Du erhältst vier dreieckige Grundformen. e. Betrachte die Grundformen, zeichne sie exakt in dein Dossier und benenne sie mit der richtigen Bezeichnung. f. Lege mit den ausgeschnittenen Grundformen Dreiecke und Vierecke. Zeichne alle Vierecke und Dreiecke, die du findest exakt in dein Dossier. Benenne auch diese Formen. Antworten und Zeichnungen zu e. 7 Antworten und Zeichnungen zu f. 8 02 Konstruiere ein regelmässiges 6-Eck. Du brauchst den Zirkel. a. Zeichne einen Kreis mit dem Radius 4.5cm. b. Trage den Radius sechsmal auf der Kreislinie ab. c. Verbinde die Schnittpunkte auf der Kreislinie zu einem 6-Eck. d. Verbinde die Ecken des 6-Ecks mit dem Mittelpunkt. Du erhältst sechs gleichseitige Dreiecke. Lösung zu 02. (Beschriften musst du nichts) 9 03 Konstruiere auf der nächsten Seite zwei gleichseitige Dreiecke. Du brauchst den Zirkel. a. Zeichne einen Kreis mit dem Radius 5.5cm. b. Trage den Radius sechsmal auf der Kreislinie ab. c. Verbinde jeden zweiten Schnittpunkt auf der Kreislinie zu einem gleichseitige Dreieck grün. d. Verbinde die freien Schnittpunkte zu einem zweiten gleichseitigen Dreieck blau. e. Beschrifte eines der beiden Dreiecke komplett richtig. Lösung zu 03. 10 04 Zeichne hier so exakt wie mögliche die folgenden Formen aus der Theorie. Beschrifte immer alle Formen zuverlässig, richtig und lückenlos. Sollte eine Form Diagonalen haben, so zeichnest du sie ebenfalls ein. Dreieck 6.6cm, 6.5cm, 5cm Dreieck 6cm gleichschenkliges Dreieck 6.2cm, 4.6cm rechtwinkliges Dreieck 90, 6.8cm, 5.4cm 11 gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck 7cm, 45 Rechteck 7cm, 4.3cm Quadrat 6.3cm Parallelogramm 5.9cm, 4.8cm, 96 Rhombus 10cm, 8cm 12 Theorie (Symmetrie) a. Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie in zwei Teile zerlegt werden kann, die durch Spiegeln ineinander überführt werden können. b. Eine Figur ist drehsymmetrisch (Drehung um einen Punkt um 0-360), wenn sie in Teile zerlegt werden kann, die durch eine Drehung an einem Punkt ineinander überführt werden können. Dabei können alle Drehwinkel zwischen 0 und 360 in Frage kommen. c. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie ohne Zerlegung um einen Punkt um zweimal 180 gedreht werden kann und danach genau auf sich selbst abgebildet wird. d. Jede punktsymmetrische Figur ist auch drehsymmetrisch. Aber nicht umgekehrt. Die Punktsymmetrie ist ein Spezialfall der Drehsymmetrie. Beispiele: Achsensymmetrie Drehsymmetrie 13 Punktsymmetrie Übungen 01 Untersuche, ob die Verkehrsschilder achsensymmetrisch sind. a. Zeichne als Beweis alle Achsen ein, die möglich sind. b. Welche Schilder haben mehr als eine Achse (c. Überprüfe mit einem Spiegel, ob alle deine Achsen stimmen.) Aufgaben und Lösungen zu 01. Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen 14 Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen Achsen 02 Welche der folgenden Verkehrsschilder sind drehsymmetrisch a. Kreuze an, wenn eine Drehsymmetrie vorliegt. b. Schreibe dazu, um welchen Winkel du das Schild drehen musst, bis es wieder genau gleich aussieht. 15 Drehwinkel Drehwinkel 2. Schreibweisen von Grössen Grössen, Daten, Funktionen und Zufall Theorie (Schreibweisen von Grössen) Das Thema ist nicht ganz neu, aber es schadet nichts die bereits gelernten Einheiten nochmals zu repetieren und zu festigen. Wir beschäftigen uns also mit den verschiedenen Möglichkeiten, Sorten oder Grössen zu schreiben und mit ihnen zu rechnen. Übersicht über die bereits bekannten Grössen: 100 1 Längenmasse (10-teilig) 10 mm 1cm 10 cm 1 dm 10 dm 1m 10 10 dam 10 hm 2 1 dam 1 hm (Hektometer) 1 km (Dekameter) Gewichte (1000-teilig) 16 1000 mg 100 100 kg 3 1g 1 kg 1t Hohlmasse (100-teilig) (10-teilig) 4 Flächenmasse 10 ml 1 cl 100 mm2 1 cm2 10 cl 1 dl 100 cm2 1 dm2 10 dl 1l 100 dm2 1 m2 100 (!) 1 hl 100 m2 1a (Are) 100 1 ha (Hektare) 100 ha km 5 1 2 Zeitmasse (60-teilig) 60 sec 1 min 60 min 1h 24 (!) 1d Übersicht über die Art und Weise wie Grössen geschrieben werden können: mit einer Sorte ohne Dezimalpunkt (Komma) mit einer ganzen Zahl mit zwei Sorten mit einer Sorte mit Dezimalpunkt mit einem Bruch Beispiele zu den vier Schreibweisen: 1500 ml 1 500 ml 1 50 cl 1.500 3 2 1 1.50 1 5 dl 1.5 1 2 Stellenwerte nach dem Dezimalpunkt: 17 1. Dezimalstelle 2. . Hundertstel 3. . Tausendstel 4. . Zehntausendstel 5. . etc . 1 10 Zehntel 1 100 1 1 000 1 10 000 . Voraussetzungen, damit du das alles erfolgreich üben kannst: a. du kennst alle 5 Grössen b. du kennst sie in der richtigen Reihenfolge c. du kennst die Verwandlungszahlen d. du kannst zur Not auch mit einer Verwandlungstabelle arbeiten, weil du sie verstehst e. du kennst Brüche und die Stellenwerttafel nach dem Dezimalpunkt Übungen Im Katalog steht 2.05 m. Der Tisch ist 2 5 cm lang. Die Länge beträgt 205 cm. 01 Schreibe mit einem Dezimalpunkt. Kontrolliere mit der Stellenwerttafel falls nötig. a. 650 Rp. 305 Rp. b. 75 mm 320 cm 18 95 Rp. c. 270 160 95 d. 35 cl 8 ml Schreibe mit zwei Masseinheiten. a. 12.90 Fr. b. 2.5 cm 700 ml 02 1.20 Fr. 1800 2.50 8.500 kg 8.05 kg 3.6 3.006 1.05 Fr. 8.5 03 Rechne in die gegebenen Masseinheiten um und schreibe mit einem Dezimalpunkt. a. 5 70 cm 50 km 70 kg 5 km 7 b. km km 1 kg 600 kg 1 kg 60 1 kg 6 kg 4 2 dl 4 200 ml 5 7 dl hl 3 5 cl 04 Eine Flasche Mineralwasser enthält 14 dl Quellwasser. Wie beschriftest du die Flasche mit einem Bruch und wie mit zwei Sorten Bruch: 05 zwei Sorten: Rechne in die gegebene Masseinheit um. Beachte das Beispiel. Bsp: cm von 100 cm 100 cm 4 25 cm Fr. Rp. 9 Fr. Rp. 10 19 cm 7 km 100 m 1 kg 8 3 5 kg 1 10 cl 2 hl 5 l 06 Rechne in die angegebene Masseinheit um und schreibe mit einem Bruch. Bsp: 500 kg 500 von 100 75 Rp. Fr. 25 cm m 10 kg 250 ml 07 500 5 1 kg kg kg 1 000 10 2 l 20 cl 800 kg Rechne in die angegebene Masseinheit um. h min 1 5 min 2 min 10 sec 1 min 12 sec 6 min 36 min h 40 sec min 50 sec min 08 Ordne der Grösse nach und beginne mit der kleinsten Grössenangabe. 20 Bsp: 3.3 3 dl 3 ml 33 dl 3.3 dl 3 dl 3 ml 3.3 dl 33 dl 3.3 69.90 Fr. 609 Fr. 6 Fr. 9 Rp. 69900 Rp. 4.025 km 425 4 km 250 4 km 25 15.09 kg 1.509 15 kg 900 15.009 kg 29.60 2.96 29.6 29 60 ml 09 Notiere die Grössenangaben in mindestens vier verschiedenen Schreibweisen. a. 10 cm 25 cm 100 50 b. 10 250 100 kg 200 21 c. 80 ml 8 dl 80 cl 80 3. Rechnen mit Grössen Grössen, Daten, Funktionen und Zufall Übungen Gefüllt wiegt der Koffer 11.6 kg. Der Knirps wiegt 36750 g. Leer wiegt der Koffer 2100 g. Mögliche Fragestellungen: Wie viel wiegt alles zusammen - Wie viel wiegt der Kofferinhalt - Wie schwer sind Knirps und leerer Koffer zusammen - Wie gross ist die Differenz 01 Löse die gestellten Aufgaben zum Bild oben. Entscheide dich selber für eine Schreibweise. Zeige den Rechnungsweg und schreibe einen Antwortsatz. a. b. c. d. Gesamtgewicht Kofferinhalt Leerer Koffer und Knirps zusammen Unterschied zwischen dem Knirps-Gewicht und dem vollen Koffer 22 02 Rechne aus. a. 20 Fr. – 2.40 Fr. 4.6 cm – 18 mm b. 3 20 min – 45 min 2 40 cl – 6 1.5 8 3.80 Fr. c. d. 4 8 kg 600 20 180 cm 3h 2 kg 300 : 5 3 km 7 0.75 : 3 5 min 6 2 : 5cm 3.2 kg 80 4 8 dl 6 dl 4 min 30 sec 3 sec Wie viele 20 Rp-Münzen erhältst du für 15 Franken Lösungsweg: Lösung: 23 Antwortsatz: e. Eine Flasche enthält 0.7 Fruchtsaft. Wie viel Fruchtsaft enthalten 4 Flaschen Lösungsweg: Lösung: Antwortsatz: f. 4 4 40 420 min – 7d2h:5 4. Diagramme Grössen, Daten, Funktionen und Zufall Theorie (Diagramme, Grafiken) Eine Grafik oder ein Diagramm ist eine zeichnerische Darstellungsmöglichkeit von Daten und Informationen. Es gibt folgende Arten von Diagrammen, die dir nicht unbekannt sein werden: Punktdiagramm, Liniendiagramm, Balkendiagramm, Säulendiagramm und Kreisdiagramm Ordne die Begriffe den folgenden Darstellungen richtig zu, das ist nicht schwierig. 24 Hast du Ideen für welche Informationen welche Diagramme erstellt wurden Schreibe ein paar Möglichkeiten auf. Übungen 01 Olympische Sommerspiele 25 a. Um welches Diagramm handelt sich hier b. Beschreibe, was im Diagramm dargestellt wird. c. 1 Wie viele Länder nahmen im Jahr 1964 an den Sommerspielen teil Schätze. 2 Wie bist du bei der Schätzung vorgegangen Beschreibe. d. 1 Notiere, in welchem Jahr erstmals mehr als 100 Nationen an der SommerOlympiade teilgenommen haben. 2 Notiere, in welchem Jahr erstmals mehr als 200 Länder mitgemacht haben. 3 Wie viele Olympische Spiele fanden dazwischen statt d1 d2 d3 e. Finde Erklärungen, warum nicht immer alle 4 Jahre ein Wert eingetragen ist. Gib die Zeitspannen an, wo der Abstand mehr als 4 Jahre betrug. f. Formuliere drei Aussagen, die du aus dem Diagramm herauslesen kannst. Schreibe ganze Sätze. 1 26 2 3 02 Körpergrösse Daniela a. Beschreibe, was im Diagramm dargestellt wird. b. Wie gross war Daniela bei ihrer Geburt ungefähr c. Wie gross war sie mit 7 Jahren in etwa d. Wozu dient die grüne Linie zwischen den Punkten e. Kannst du herauslesen, in welchem Lebensabschnitt die Grössenzunahme am grössten war 27 Wie gross war dort das Wachstum etwa in cm f. Kannst du bestimmen, wie gross die Zunahme im Durchschnitt pro Lebensjahr gewesen ist Wie machst du das und auf welchen Durchschnittswert kommst du 03 Gewicht von Simon Alter kg Gebur 3.5 1 2 4 6 7 10 12 10 12.5 16.5 21 24 33.5 45 a. Stelle die Gewichtsentwicklung von Simon in einem Liniendiagramm dar. b. Wie schwer war Simon etwa, als er 3, 8, 9 Jahre alt war Schätze sein Gewicht. 28 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 Sportar ten 1952 Jahr 1948 04 Stelle die Anzahl Sportarten bei den Olympischen Sommerspielen von 1948 bis 2012 in einem Punktediagramm dar. 2 0 1 9 1 8 1 9 2 1 2 0 2 3 2 3 2 3 2 6 2 7 2 9 3 1 3 4 3 4 3 4 3 2 05 Bei einer Befragung hat man herausgefunden, dass von einer bestimmten Menge Autofahrern, ein Viertel ein rotes, ein Fünftel ein graues, ein Drittel ein weisses, ein Sechstel ein grünes und der Rest ein schwarzes Auto fährt. Kannst du dazu ein Kreisdiagramm zeichnen Wie gehst du vor 29 5. Textaufgaben Zahl Variable Theorie (Grundoperationen verstehen, Begriffe kennen) Dieses Thema haben wir vor den Ferien schon ausreichend besprochen. Wir repetieren hier also nur noch. Dafür musst du folgende Fachbegriffe beherrschen: Addition addieren Summand Summand Summe Subtraktion Differenz subtrahieren Multiplikation Produkt Division Quotient Minuend – Subtrahend multiplizieren dividieren Faktor Faktor Dividend Divisor Das sogenannte «Pfeilschema» kann dir beim Lösen der Aufgaben helfen: 27 31 20 12 Wichtig sind auch die Begriffe «Operator» und «Umkehroperator»: 27 27 31 20 12 31 20 12 Übungen 01 Zeichne ein Pfeilschema und löse die Aufgabe. a. Wenn du von der Zahl 260 zuerst 20 subtrahierst, dann das Resultat mit 3 multiplizierst und anschliessend 280 addierst, erhältst du die gesuchte Zahl. b. Wenn du die Zahl 120 zuerst mit 6 multiplizierst, dann vom Resultat 170 subtrahierst und dann durch 5 dividierst, erhältst du die gesuchte Zahl. 30 c. Wenn du zur Zahl 380 zuerst 260 addierst, dann durch 8 dividierst und danach das Resultat verdoppelst, erhältst du die gesuchte Zahl. d. Zeichne eine Aufgabe mit drei unterschiedlichen Operationen als Pfeilschema und schreibe die Aufgabe danach als Textaufgabe auf. Bewege dich im Hunderterraum. 02 Zeichne ein Pfeilschema zum Text. 27 27 31 20 12 31 20 Wenn du das Pfeilschema rückwärts durchläufst, findest du die gesuchte Zahl. 12 a. Wenn du die gesuchte Zahl zuerst mit 15 multiplizierst und dann 5 addierst, erhältst du 65. b. Wenn du die gesuchte Zahl zuerst durch 4 dividierst und dann 500 subtrahierst, erhältst du 100. 31 c. Wenn du zum 3fachen der gesuchten Zahl das 4fache von 10 addierst, erhältst du 400. 03 Löse die Rätsel. Lösungswege: 32 04 Erfinde ein eigenes Rätsel mit Grössen und löse es. Mein eigenes Rätsel Lösungsweg zu meinem Rätsel: 05 Berechne die gesuchte Grösse. a. Wie viel ist das Sechsfache von 21 kg Weg: Lösung: b. Wie viel ist ein Siebtel von 21 kg Weg: Lösung: c. Wie schwer ist das Gewicht, wenn ein Sechstel davon 18 kg wiegt Weg: Lösung: d. Wie schwer ist das Gewicht, wenn das Siebenfache davon 56 kg wiegt Weg: Lösung: 06 Weitere gesuchte Grössen. 33 a. Das Achtfache der Länge ist 1200 km. gesuchte Länge: b. Die Wassermenge ist um 280 ml kleiner als 95 cl. gesuchte Menge: c. Ein Sechstel des Gewichts ist 810 mg. gesuchtes Gewicht: d. Das Doppelte der Fläche ist um 2 m2 grösser als 84 m2. gesuchte Fläche: e. Der Betrag ist um 405 Rp. grösser als 18.70 Fr. Betrag: gesuchter 6. Brüche ordnen Zahl Variable Theorie Erinnere dich an folgendes: Der Bruch besteht aus dem Zähler (obere Zahl), dem Bruchstrich (Divisionszeichen) und dem Nenner (untere Zahl). Arten von Brüchen: einfache Brüche/echte Brücheunechte Brüchegemischte Brüche/Zahlen 2 5 Zähler Nenner Bruch Wert 1 5 3 2 2 5 Zähler Nennerganze Zahl und einfacher Wert 1 Wert 1 ganze Brüche 3 3 Zähler Nenner Wert 1 Merke dir: Wenn der Zähler 1 ist, dann ist der Wert des Bruches umso kleiner je grösser der Nenner ist. Wenn der Zähler 1 ist, dann ist der Wert des Bruches umso grösser, je kleiner der Nenner ist. 34 Jeder Bruch stellt eine Division dar. Grössen von Brüchen ordnen, kannst du mit dem Streckenmodell dem Kreismodell dem Grössenmodell Rechteckmodell Ausrechnen als Division 3 3:5 0.6 5 Theorie Beispiel zum Ordnen von Brüchen: Welches ist die richtige Aussage a. 3 4 2 3 5 4 b. 2 3 5 4 c. 2 5 Lösungswege: Streckenmodell 0 1 0 1 Kreismodell Grössenmodell mit Längen cm cm cm cm 35 Rechteckmodell mit Division 2:5 3:4 Übungen 01 Welcher Bruch ist der grössere der beiden Notiere ihn. a. 13 44 3 5 10 10 11 34 b. 33 64 23 54 22 35 c. 13 24 3 9 4 10 23 34 02 Zeichne Rechenstriche und ordne der Grösse nach. a. 1111 23 45 b. 3 333 10 4 5 7 c. 4 131 10 5 4 2 d. 1 2 5 7 100 5 10 10 e. 1 1 6 0.2 2 100 10 f. 0.25 0.3 1 11 10 100 36 g. 1 1 0.07 0.3 2 10 7. Brüche und Rechnungen Zahl Variable Theorie Zum Rechnen mit Brüchen gibt es «zeichnerische Lösungen» mit Modellen oder «mathematische Lösungen» mit Gesetzen. Beide Varianten schauen wir uns an. Beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Brüchen kannst du ebenfalls mit Modellen arbeiten. Es bieten sich das Kreismodell (Zeichenuhr) und das Rechteckmodell an. Beim Dividieren kannst du auch vereinfachte andere Modelle nehmen. Beim Multiplizieren ist das Arbeiten mit Modellen etwas schwieriger. Zeichnerische Lösung: Mit der Zeichenuhr (mittlere Grösse) kannst du Kreisstücke legen, die du brauchst und die Lösung visualisieren. Bsp 1 1 1 3 6 2 Du kannst aber auch das Rechteckmodell anwenden: 37 Oder aber du stellst dir die Brüche als Bruchteile von Stunden vor (Grössenmodell): 1 20 min 3 1 h 2 1 10 min 6 20 min 10 min 30 min Ähnlich funktioniert es auch bei der Subtraktion: Bsp 1 1 1 3 6 6 Du kannst aber auch das Rechteckmodell anwenden: Oder aber du stellst dir die Brüche als Bruchteile von Stunden vor (Grössenmodell): 1 20 min 3 1 6 1 10 min 6 20 min 10 min 10 min Mathematische Lösung: Für alle Grundrechnungsarten bieten sich auch mathematische Lösungen an. Die sind einfach und absolut sicher. Addition und Subtraktion: Suche bei der Aufgabe für alle Brüche einen gemeinsamen Nenner, der von allen Nennern das kleinste Vielfache ist. Verändere dann die Brüche mit den neuen Nennern und rechne nachher einfach Zähler Zähler oder Zähler – Zähler und belasse den Nenner. Bsp: 1 1 1 3 6 2 kleinster gemeinsamer Nenner 6 2 1 2 1 3 1 6 6 6 6 2 38 Bsp: 1 1 1 3 6 2 kleinster gemeinsamer Nenner 6 2 1 21 1 6 6 6 6 Multiplikation: Das ist am einfachsten. Da rechnest du einfach Zähler Zähler und Nenner Nenner – fertig. Wenn möglich kannst du am Ende noch kürzen, also den neuen Zähler und den neuen Nenner durch die selbe Zahl dividieren, falls das geht. Wenn nicht bist du wirklich schon fertig. 1 1 1 x1 1 3 6 3x 6 18 rechnest du Bsp: Bei der Multiplikation mit einer ganzen Zahl, einfach nur die ganze Zahl Zähler – fertig. 3x 3 3x 3 9 4 1 5 5 5 5 Division: Die Division ist «tricky». Die wandeln wir einfach in eine Multiplikation um. Dafür drehen wir einfach den zweiten Bruch um (Kehrwert) und gehen genau gleich vor wie bei der Multiplikation. Voilà. Bsp: 1 1 1 6 1x 6 6 2 3 6 3 1 3x 1 3 Übungen 01 Rechne auf deine Art, stelle den Lösungsweg aber sauber und übersichtlich dar. a. 2 2 5 5 b. 3 3 4 4 c. 1 1 4 8 39 02 Stelle die Rechnung dar. Berechne das Resultat. a. 3 1 4 4 03 Berechne das Resultat. Stelle dar oder löse mathematisch. a. 3 2 5 3 b. 4x 3 4 c. 3 4 4 7 d. 2 x3 6 e. 5x 1 2 f. 5 2 8 5 04 Stelle dar oder löse mathematisch. a. 3 :2 4 c. 4 :4 5 b. b. 1- 2 5 10 4 c. 1 1 4 8 40 e. 3 :4 2 f. 2 4 3 9 d. 2:7 05 Teile viermal durch 2, beginne bei 10. 10 2 . 2 . etc. 06 Teile mehrmals durch 2 und starte mit 6. 07 Wähle eine Zahl zwischen 10 und 20 und teile mehrmals durch 3. 8. Runden Zahl Variable Theorie Wir wollen einerseits ganze Zahlen auf Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, etc . runden. Andererseits möchten wir auch Dezimalzahlen 41 runden können. Die wollen wir auf Zehntel, Hundertstel und Tausendstel genau runden können. Ganze Zahlen runden: Dabei suchen wir immer nach dem Zehner, Hunderter, Tausender, etc, der am nächsten liegt. Bsp: Runde 234 auf Zehner genau 230 näher bei 230 oder 240 234 230 Runde 156 auf Hunderter genau 200 näher bei 100 oder 200 156 200 Achtung: Liegt ein Wert genau in der Mitte, dann musst du aufrunden !!! Dezimalzahlen runden: Dabei können wir natürlich auch immer nach dem Zehntel, Hundertstel oder Tausendstel suchen, der am nächsten liegt. Es gibt da aber noch eine andere Regel, um richtig runden zu können: Bsp: Runde 3.2466 auf a. Zehntel genau d.h. dass das gerundete Resultat nur genau eine Stelle haben darf, eben den Zehntel. Dafür beachten wir die Stelle hinter dem Zehntel, also den Hundertstel. Ist der 0-4, lassen wir den Zehntel so stehen wie er ist (abrunden). Liegt er bei 5-9, runden wir den Zehntel um «1» auf (aufrunden). 3.2466 auf Zehntel gerundet 3.2 Wir schreiben: 3.2466 3.2 Runde 3.2466 auf b. Hundertstel genau 3.2466 auf Hundertstel gerundet 3.25 42 Wir schreiben: 3.2466 3.25 Runde 3.2466 auf c. Tausendstel genau Wir schreiben: 3.2466 3.247 Übungen 01 Runde auf Zehner, Hunderter und Tausender. Auf Zahl Zehner Hunderter Tausender 7034 9866 6396 26633 37977 85100 02 Runde auf Zehner, Hunderter und Tausender. Auf Zahl Zehner Hunderter Tausender 4165 6550 2985 73500 123545 45995 03 Auf Runde auf ganze Zahlen (Einer), Hundertstel und Zehntel. Zahl Einer Hundertstel Zehntel 43 0.153 6.505 3.995 45.75 52.206 17.998 04 Kannst du mit deinem Wissen jetzt auch Uhrzeiten auf 5 Minuten genau runden Versuche es. Auf Uhrzeit 1 auf 5 Min Uhrzeit 2 auf 5 Min 09:27 13:52 14:08 13:17 19:42 17:31 23:54 00:13 05 Wann ist es sinnvoll, eine Uhrzeit zu runden Achte auf korrekte, vollständige Sätze. a. Beschreibe eine Situation, bei der es sinnvoll ist auf eine Viertelstunde genau zu runden. b. Beschreibe eine Situation, bei der es sinnvoll ist auf 5 Minuten genau zu runden. 44 c. Beschreibe zwei Situationen, in denen Zeitangaben nicht gerundet werden sollten. 06 Welche der Zahlen im Kasten erfüllen alle vier Eigenschaften Unterstreiche sie. Eigenschaften Die Zahl wird auf 61673 4951 Zehner abgerundet Hunderter aufgerundet 37630 Tausender aufgerundet 1603 Zehntausender abgerundet 7830 16540 90144 71772 54680 28116 07 Runde auf Einer, Zehntel und Hundertstel genau. a. auf Einer b. c. 72.7 5.37 83.52 3.44 0.681 4.03 0.805 7.104 auf Zehntel auf Hundertstel 6.069 08 Runden sinnvoll Ja oder nein, und wenn ja wie a. Hausnummern ja nein Bahnhofstrasse 96 Affolternstrasse 127 b. Eintritte Zoo Zürich ja nein 1627132 Eintritte 2006 1827293 Eintritte 2012 45 c. Distanzen zwischen Städten ja nein 223.9 km (Luftlinie Zürich-Genf)_ 158.6 km (Luftlinie Bern-Chur)_ d. Weltrekorde (Ende 2013) 09 nein 9.58 sec (100m Männer) 10.49 sec (100m Frauen) Runde auf a. 10m genau genau b. 100kg genau c. 1dl 7895 2.75 2.790 3.247 km 4.997 4878 cm 0.890 d. 1cm genau 1cl genau 10 ja e. 394 ml 20.61 10g genau f. 13.7 cm 600.5 92.9 cl 1.234 34.807 kg 1996 ml 3331 mm 1.824 kg 5.79 dl Runde auf 1 Fr., 10 Fr. und 100 Fr. genau. Auf Betrag 1.- 10.- 100.- 489.70 Fr. 6981.60 Fr. 46 0.05 Fr. 9.95 Fr. 200.35 Fr. 159.65 Fr. 9. Rechnen mit Dezimalzahlen Zahl Variable Theorie Dafür musst du nichts Neues wissen, sondern einfach die Stellenwerttafel beherrschen. Vielleicht erinnerst du dich an die paar Tricks, über die wir schon gesprochen haben. Kommastellen einfach weglassen und am Ende wieder anfügen Das geht zum Beispiel bei Additionen und Subtraktionen. Lasse die Stellen erstmal weg, rechne und mache wieder genau so viele wie du am Anfang hattest. Bsp: 0.35 3.24 35 324 359 3.59 1.36 – 0.48 136 – 48 136 – 36 – 12 88 0.88 2.03 0.976 230 976 306 3.006 Kommastellen einfach weglassen und am Ende einfach wieder anfügen Das geht auch bei Multiplikationen. Lasse die Stellen erstmal weg, rechne und mache wieder genau so viele wie du am Anfang hattest. Bsp: 1.2 2.03 3 Kommastellen 12 203 10 203 2 203 230 406 2436 2.436 Kommastellen einfach weglassen und am Ende einfach wieder anfügen Das geht auch bei Divisionen. Allerdings musst du aufpassen: haben Dividend und Divisor gleich viele Kommastellen keine mehr machen Bsp: 0.045 0.005 beide 3 Kommastellen (3-3 0) 45 5 9 47 hat der Dividend mehr Kommastellen als der Divisor Differenz machen Bsp: 0.045 0.5 3 Kommastellen und 1 Kommastelle (3-12) 45 5 9 0.09 0.045 0.05 3 und 2 Kommastellen (3-21) 45 5 9 0.9 hat der Dividend weniger Kommastellen als der Divisor Nullen anhängen Bsp: 0.45 0.005 2 und 3 Kommastellen (2-3-1) eine Null dazu 45 5 9 90 4.5 0.005 1 und 3 Kommastellen (1-3-2) zwei Nullen dazu 45 5 9 900 45 0.5 0 und 1 Kommastelle (0-1-1) eine Null dazu 45 5 9 90 Dezimalzahlen mit Stufenzahlen multiplizieren dividieren 10 heisst, das Komma wandert 1 Stelle nach rechts 100 heisst, das Komma wandert 2 Stellen nach rechts 100 heisst, das Komma wandert 3 Stellen nach rechts 10 100 heisst, das Komma wandert 1 Stelle nach links heisst, das Komma wandert 2 Stellen nach link Übungen 01 Rechne auf deine Art und notiere die Rechenschritte. a. 0.63 0.74 2.851 0.026 0.51 – 0.39 b. 0.596 0.007 0.802 – 0.005 c. 4.039 – 0.019 6.58 3.09 0.052 2.27 – 0.84 0.287 0.45 43.4 – 10.9 0.98 0.531 – 0.48 48 02 Rechne gleich wie oben – auf deine Art, aber mit Notizen. a. 4.07 1.09 40.7 1.9 0.407 0.19 0.47 1.09 03 Rechne aus und vergiss deine Rechenschritte nicht. a. 5 0.008 0.006 40 b. 0.301 – 0.2 0.031 – 0.02 0.301 – 0.02 0.031 – 0.002 b. 3 0.7 800 0.003 c. 20 0.09 0.05 0.054 9 180 20 18 20 1.8 20 0.24 6 0.24 60 2.4 6 0.048 500 0.28 2.1 2.1 0.21 :4 7 70 0.007 0.6 49 04 Rechne im Kopf und verschiebe das Komma richtig. a. 10 0.3 b. 100 0.008 c. 100 2.023 b. 10 2.984 100 0.00001 100 12.981 321.1 100 100 11.0234 10 23.212 1.08 10 12981.2 100 100 1.0256 122.34 100 2961.07 10 1234.05 1000 876.4 100 21203.4 100 95.1 10 05 Routine – vergiss das passende Rechnungszeichen nicht !! a. Ergänze auf 1 b. 0.47 0.092 0.81 0.004 0.06 0.059 0.29 0.033 c. Ergänze auf 10 1.8 d. Ergänze auf 0.1 Ergänze auf 100 54.3 3.92 80.6 50 0.7 9.8 6.3 34.1 06 Welche Zahlen fehlen in der Lücke Ergänze. a. 3.8 6.4 b. 5.5 3.7 45.2 50.3 0.039 0.006 0.098 0.103 0.186 0.093 1.59 0.77 0.047 0.075 31.4 26.2 0.051 0.048 4 2.8 2 0.035 5 0.04 3 0.125 9 0.072 5 0.06 07 Welche Ziffern fehlen Ergänze. a. 6.264 – .15 4.12 b. 9.6 3 3.16 10. Terme und Gleichungen Zahl Variable Theorie Terme sind einfach nur Zahlen 2 Bsp: 9 7 40 60 einfach nur Buchstaben Variablen) Bsp: a2 Zahlenterm 3.1 oder Rechnungen aus den Bsp: 2 7 Rechnungsterm, sie können also Grundrechnungsarten bestehen (35-29) 8 xy Buchstabenterm (Buchstaben - Kombinationen aus Buchstaben und Zahlen Bsp: 3a 16a2 2a 2b Terme enthalten aber nie ein Relationszeichen wie 51 Gleichungen sind Kombinationen aus zwei Termen, die gleich zueinander sind. Dazwischen steht ein Gleichheitszeichen Bsp: 4 23 92 2 1.5 120 3 5 (6 2) 3 a 12 x2 49 Ungleichungen sind Kombinationen aus zwei Termen, die ungleich zueinander sind und dazwischen steht eines der folgenden Zeichen 5 Bsp: 12 20 8.1 10 – 2.1 5 2 Rechengesetze bei allen Termen spielen die Rechengesetze eine wichtige Rolle Punkt vor Strich Klammer vor Punkt vor Strich Übungen 01 Schreibe die Gleichung ab. Setze die Klammern so, dass die Gleichung stimmt. Achte auf die Gesetze. a. 600 – 480 120 0 4 50 – 50 0 9600 – 3600 – 1600 7600 320 80 4 100 b. 840 7 2 60 5 6 30 330 80 90 – 40 400 52 80 90 – 40 7160 100 – 70 5 86 100 – 70 5 6 02 Welche Zahl musst du einsetzen, damit die Gleichung stimmt a. 8 ( 17) 720 Lösungsweg: b. 3 (5 18 Lösungsweg: c. 300 – 40) 200 Lösungsweg: d. 6 (900) 900 Lösungsweg: e. (70) 2 25 Lösungsweg: f. 30) 3 600 Lösungsweg: g. 100) 10 0 Lösungsweg: 03 Welche Zahlen im Kasten kannst du in der Ungleichung einsetzen Notiere die passenden Zahlen. 11 55 33 122 88 199 144 225 222 a. 144?_ 255 b. 33?_ 199 c.?_ 88 222 d. 199?_ 144 e. 333?_ 122 53 f.?_ 55 140 04 Welche Zahlen dürfen in der Ungleichung eingesetzt werden, damit sie stimmt. a. 2?_ 15 b. 5?_ 70 c.?_ 8 35 d. 100?_ 10 e.?_ 3 5 f. 40?_ 2 05 Rechengesetze beachten. Löse die Aufgaben und zeige dein Vorgehen. a. 4400 (9.7 10.3) b. 0.246 0.114 200 c. 67x3 d. (6 7) 3 e. 8.4 8.04 2 f. 3.8 0.9 (72 8) 06 ihn. Welcher Term passt zu der beschriebenen Situation Unterstreiche a. Kim hat 12 Spielsteine. Livio hat 15 Spielsteine. Sara hat dreimal so viele Spielsteine wie Kim und Livio zusammen. 12 (15 3) 3 (12 15) (12 15) 3 b. Pierre hat 30 Spielsteine. Daniela hat 20 Spielsteine mehr als das Vierfache der Anzahl Spielsteine von Pierre. 54 (30 20) 4 30 (20 4) (4 30) 20 c. Gian hat 70 Spielsteine. Leonie hat 150 Spielsteine. Kai hat halb so viele wie die Differenz zwischen der Anzahl Steine von Gian und Leonie. (150 2) – 70 (150 – 70) 2 2 (150 – 70) 11. Mittelwert (Durchschnitt) Zahl Variable Theorie Wenn du Daten auswertest, ist es interessant, das Minimum, das Maximum und einen Mittelwert (einen Wert in der Mitte) zu kennen. Es gibt verschiedene Mittelwerte. Der bekannteste Mittelwert ist der Durchschnitt. Es gibt aber auch noch andere Mittelwerte, zum Beispiel den Zentralwert auch Median genannt. Zeichen für den Durchschnitt: Vorgehen beim Festlegen des Mittelwerts: Du schaust dir die Menge an Daten an, zählst sie, bildest die Summe aller Werte und dividierst dann die Summe durch die Anzahl der Daten. So bekommst du den Mittelwert oder den Durchschnitt. Manchmal spricht man auch einfach kurz vom Mittel. Mittelwert Durchschnitt Summe der Daten Anzahl der Daten Übungen 01 Nach einem Spiel haben die Schüler*innen folgende Anzahl Steine gewonnen: 11, 8, 7, 4, 9, 9 a. Wie viele Steine sind insgesamt im Spiel gewesen b. Wie viele Spieler haben teilgenommen c. Wie verteilt die Gruppe die Steine, damit alle gleichviel haben und eine zweite Spielrunde begonnen werden kann 55 Lösungsweg: Neubeginn: 02 Berechne den Durchschnitt. a. 2, 8 2, 8, 8 2, 8, 8, 10 03 Anzahl Steine bei b. 65, 23 65, 23, 38 65, 23, 38, 46 2, 10, 8, 2, 8 5.5, 7.7, 9.0 11, 13, 13, 14 2.1, 3.1, 5.3 Bestimme die durchschnittliche Körpergrösse. Mädchen Körpergrösse in 138 cm 130 146 149 147 150 141 147 137 144 156 142 154 Knaben Körpergrösse in 133 cm a. Berechne die durchschnittliche Körpergrösse bei den Mädchen. b. Berechne die durchschnittliche Körpergrösse bei den Knaben. Lösungswege: 04 Finde ganze Zahlen mit dem Durchschnitt 100. a. Finde vier verschiedene Zahlen mit dem 100. Schreibe zwei Möglichkeiten auf. 56 b. Finde zwei Zahlen, die zusammen mit den Zahlen 112 und 135 den 100 geben. c. Finde vier verschiedene Zahlen mit dem 100. Drei der vier Zahlen müssen kleiner als 70 sein. d. Finde vier verschiedene Zahlen mit dem Durchschnitt 100. Die grösste der vier Zahlen soll so klein wie möglich sein. 05 Berechne den Durchschnitt. a. 24 min, 32 min, 28 min, 26 min Summe: : b. 12 m, 163 dm, 8765 cm, 53.35 Summe: : c. 45.5 kg, 46.2 kg, 44.6 kg, 45.4 kg, 44.9 kg Summe: d. : 152.5 dl, 16.5 l, 1475 cl, 1550 cl, 16.5 l, 0.175 hl Summe: :hl 12. Zentralwert (Median) Zahl Variable Theorie Die Zahl, die genau in der Mitte liegt, wenn verschiedene Zahlen der Grösse nach geordnet sind, heisst Zentralwert oder Median. Bsp: 3, 9, 1, 7, 11, 23, 16 Zentralwert 9 ordnen 1, 3, 7, 9, 11, 16, 23 Jetzt gibt es allerdings noch ein kleines Problem. Sofern es sich um eine Reihe Zahlen handelt, deren Anzahl ungerade ist, hat es immer eine Mitte. Das ist am einfachsten und es ist dann immer diese Zahl der Zentralwert. Wenn es nun eine Reihe von Zahlen ist, deren Anzahl gerade ist, musst du die beiden mittleren Zahlen addieren und davon die Hälfte nehmen, da ist dann dieses Ergebnis der Zentralwert. 57 Bsp: 3, 9, 23, 16 12.5 ordnen 3, 9, 16, 23 9 16 25 2 der Zentralwert bei der Reihe 3, 9, 16, 23 ist 12.5 Zeichen für den Zentralwert (Median): x Übungen 01 Ordne die Zahlen der Grösse nach. a. Bestimme den Zentralwert. b. Bestimme den Durchschnitt. c. Welcher Wert ist grösser 8, 14, 10, 20, 5 x ¿¿ x ¿¿ 3, 8, 7 24, 51, 45, 38, 55 x ¿¿ 3, 32, 5, 12, 13 x ¿¿ 2, 3, 4, 6, 9, 1, 12, 10, 7 x ¿¿ 02 Wähle zweistellige aufeinander folgende Zahlen. a. Deine 5 Zahlen: 58 Bestimme den Durchschnitt. Bestimme den Zentralwert. b. x ¿¿ Deine 6 Zahlen: Bestimme den Durchschnitt. Bestimme den Zentralwert. c. Summe: Summe: ¿¿ Deine 4 Zahlen: Bestimme den Durchschnitt. Bestimme den Zentralwert. Summe: ¿¿ 03 Bestimme den Median der folgenden Zahlenreihen. a. 12, 14, 5, 1, 20, 27, 15, 9 Lösungsweg: b. x ¿¿ 2, 4, 6, 71, 18, 22 Lösungsweg: d. x ¿¿ 54, 21, 13, 33 Lösungsweg: c. x ¿¿ 11, 22, 33, 44, 12, 2, 1, 3 Lösungsweg: x ¿¿ 59