Arbeitsblatt: Textgleichungen

Gleichungen lösen Rezept zum Lösen einer Gleichung 1. Auf beiden Seiten der Gleichung vereinfachen (Zahlen Variable zusammenfassen). 2. Die Variable „auf eine Seite bringen und zwar so, dass sie positiv ist. 3. Die Variable muss nun „alleine auf einer Seite der Gleichung stehen, dass heisst, das die Zahlen nun auf die andere Seite der Gleichung kommen. 4. Jetzt solltest du so etwas haben: 5x 15 oder (-26) 2x Jetzt muss man dividieren damit nachher oder x steht. 5. Nun können wir mit dem Taschenrechner die Lösung überprüfen. Dies machen wir in der obersten Zeile der Gleichung. Auf beiden Seiten von „Gleichzeichen muss es gleich viel geben, sonst haben wir beim Ausrechnen einen Fehler gemacht. 6. Wenn die Lösung stimmt, notieren wir die Lösungsmenge und unterstreichen sie doppelt. Aufgabe 1 So muss die Lösung aussehen: IL 8 oder bei einer negativen Lösung IL (-8). a) 7 11 e) – 4 (-4) b) (-5) 3 f) 7 z 3 c) – 9 9 g) (-11) x 3 d) – (-2) (-1) h) – (-4) 5 Aufgabe 2 Um die Lösungsmenge zu erhalten, musst du zuerst die Gleichung umformen. Tipp: 4 – (6) 4 6 a) 5 – 9 8 e) 4 – (-34) (-18) b) 3 r (-4) 16 f) 7 r (-24) 31 c) – 19 (-6) 45 g) 3 – (-19) s 17 d) – (-8) 7 (-11) h) – (-8) 5 (-38) Aufgabe 3 Tipp: Die Gleichung immer so umformen, dass die Variable allein auf einer Seite steht a) 15 – 7 6 – (-24) e) 17 9 – (-93) (-61) d b) 2 (-12) 14 d – (-8) f) 16 (-31) 31 c – 4 c) – 23 – (-8) 35 – 78 g) 2 – (-7) 3 – (-19) a 2 d) (-6) 15 (-13) b 3 h) (-8) – (-64) 5 (-38) Aufgabe 4 Tipp: Hier musst du am Schluss immer dividieren, um die Lösung zu erhalten. a) 3x 57 e) 14x – 6 36 b) 5y – 15 25 f) 3y 5 39 – (-29) c) (-36) 6x – 18 g) 27 (-25) 6x – 10 d) 14 38 4y h) (-36) – (-28) 12 2y Aufgabe 5 Tipp: Das Minus vor der Klammer beachten! 5x – (6 8) 5x – 6 – 8 oder 5x – 14 a) 21x – (35 3) 25 e) 2x – (34 (-28) – 46) 2 b) 25 – (21 – 14) 6x f) 46 – 93 (46 4x) 73 – (-2) c) 3x 4 – (27 – (-8)) 5 g) 26 – (49 – (-29) 3) 4x – 35 d) 46 (13 – 76) 17x h) 11x 47 – (36 (-24)) (-25) – 6 1 Aufgabe 6 Tipp: Die Variable sollte immer positiv sein, da dann weniger Fehler passieren. a) 5 – 7y 12 e) 45 – 30x (-50) 5 b) 27 15 – 6y f) 84 – (-36) – 2y 5 (-29) c) 70 – 10x (-25) 55 g) 27 15 – 4x 30 d) 29 1 – h) 14 3 – 18z (-18) – 1 Aufgabe 7 Tipp: Zuerst immer die Klammer auflösen und danach vereinfachen. Variable sollte positiv sein. a) 51 – (7 – 4x) 60 e) 0 103 – (23 4x) b) 43 – (6x – 35) 36 f) 82 – (63 – 8y) 75 c) 19 210 – (4 – 17z) g) (-2) 142 – 22y – (11 – (-1)) d) 13 (62 – 15x) 15 h) 28 – (-1) 48 – 14z – (64 – 3) Aufgabe 8 Hier musst du ausmultiplizieren: 3 (x – 2) 3x – 6 a) 4 (x 1) 6 (x – 1) e) 4 (14 x) 16 (6 – x) b) 5 (13 – x) 9 (9 – x) f) 17 (27 – x) 13 (x 3) c) 6 (8 – 2x) 4 (2x 17) g) 19 (3x 22) 23 (11 2x) d) 15 (8x – 39) 9 (33 – 3x) h) 39 (130 – 7x) 53 (3x 6) Aufgabe 9 a) 31x – 24 – (29x – 61) 15x – (11x – 19) b) 19x (90 – 2x) 10 (x 9) c) 9 (x 2) – 3x 3 (15 – x) 45 d) (y 6) (5 – y) 0 e) 15 3 (4 – x) 32 – 7 (x – 3) f) 15x – 73 – 24x 59 – 16 20x g) (-9) (12 x) 0 2 3 Textgleichungen Vorgehen: 1. Text sorgfältig lesen! 2. Text-Teile in Terme übersetzten. Verwende dabei eine Variable. 3. Stelle mit Hilfe des Textes eine Gleichung auf. 4. Löse die Gleichung auf. 5. Überprüfe deine Lösung. Lies dabei den Text nochmals durch. 6. Formuliere einen sinnvollen Antwortsatz auf die im Text gestellte Frage. Beispiel 1: Ein Vater und seine Tochter sind heute zusammen 52 Jahre alt. In 16 Jahren wird der Vater genau doppelt so alt sein wie die Tochter. Wie alt sind Vater und Tochter heute? Alter Vater heute: Alter Tochter heute: Jahre alt 52 – Jahre alt Gleichung: 16 2 · (52 – 16) 16 2 · (68 – x) 16 136 – 2x 3x 16 136 3x 120 40 weil (52 – x) 52 vereinfachen vereinfachen 2x 16 :3 Heute ist der Vater 40 Jahre und die Tochter 12 Jahre alt. Beispiel 2: Ein 15jähriges Mädchen zu seinem 3 Jahre älteren Bruder: „Vor wie vielen Jahren warst du gerade doppelt so alt wie ich? Alter Mädchen heute: 15 Jahre alt Alter Bruder heute: 18 Jahre alt vor wie vielen Jahren: Gleichung: 18 – 2 · (15 – x) 18 – 30 – 2x 18 x 30 12 vereinfachen 2x 18 Vor 12 Jahren war der Bruder (6) gerade doppelt so alt wie die Schwester (3). 4 Beispiel 3: Schreibt man rechts von einer natürlichen Zahl eine 8, so entsteht eine zwölfmal so grosse Zahl. Wie heisst die ursprüngliche Zahl? Ursprüngliche Zahl: Neue Zahl: · 10 8 Gleichung: · 12 x · 10 8 12x 10x 8 2x 8 4 vereinfachen 10x :2 Die ursprüngliche Zahl ist 4. Beispiel 4: Vertauscht man die Einerziffer 9 einer zweistelligen natürlichen Zahl mit der Zehnerziffer, so entsteht eine um 9 grössere Zahl. Wie heisst die ursprüngliche Zahl? Ursprüngliche Zahl: · 10 9 Neue Zahl: 9 · 10 x Gleichung: · 10 9 10x 9 10x 9 9x 9 9x x (9 · 10 x) – 9 90 x – 9 81 x 81 72 8 vereinfachen vereinfachen -x -9 :9 Die ursprüngliche Zahl heisst 89. Beispiel 5: In einem Dreieck mit 175 cm Umfang misst die längste Seite 17 cm mehr als die mittlere Seite. Die kürzeste Seite ist um 25 cm kürzer als die mittlere Seite. Berechne die Länge jeder Dreiecksseite. Kürzeste Seite: Mittlere Seite: Längste Seite: – 25 cm cm 17 cm Gleichung: – 25 x x 17 3x – 8 175 3x 183 61 175 vereinfachen 8 :3 Die kürzeste Seite ist 36 cm, die mittlere Seite 61 cm und die längste Seite ist 78 cm lang. 5 6 7 Zahlenrätsel 1. Suche eine Zahl, deren Doppeltes zu 15 addiert, 63 ergibt. 2. Suche eine Zahl, deren Dreifaches, um 58 verkleinert, 50 ergibt. 3. Suche eine Zahl, deren Doppeltes, um 15 vergrößert, das Vierfache der um 3 vergrößerten Zahl ergibt. 4. Suche eine Zahl, deren Doppeltes um 10 vergrößert, das Dreifache der um 4 vergrößerten Zahl ergibt. 5. Addiert man 3 zu einer Zahl und multipliziert die Summe mit 4, so soll sich dasselbe ergeben, wie wenn man zu der dreifachen Zahl 16 addiert. 6. Subtrahiert man 2 von einer Zahl und multipliziert die Differenz mit 7, so soll sich dasselbe ergeben, wie wenn man vom Fünffachen dieser Zahl 4 subtrahiert. 7. Addiert man 1 zum Dreifachen einer Zahl und multipliziert die Summe mit 4, so soll eine Zahl entstehen, die um 37 größer ist als die gesuchte Zahl. 8. Welche drei aufeinanderfolgenden Zahlen haben die Summe 96? Tipp: Wenn die unbekannte Zahl ist, dann ist die darauffolgende Zahl x1. 9. Zwei Zahlen unterscheiden sich um 7. Das Dreifache der einen Zahl ist um 6 kleiner als das Doppelte der anderen Zahl. 10.Zwei Zahlen haben die Summe 90. Die zweite Zahl ist um 22 größer als die erste Zahl. 11.Verkleinert man eine Zahl um 6 und multipliziert die Differenz mit 3, so erhält man das Doppelte der um 6 vergrößerten Zahl. 12.Das Sechsfache einer um 13 vergrößerten Zahl ist um 100 größer als das Siebenfache der um 6 verkleinerten Zahl. Aus der Geometrie 1. In einem Rechteck mit dem Umfang 24cm ist die eine Seite doppelt so lang wie die andere. Wie lang sind die Seiten? 2. In einem Rechteck mit dem Umfang 22cm ist die eine Seite 3cm länger als die andere. Wie lang sind die Seiten? 3. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Schenkel um die Hälfte länger als die Basis. Der Umfang beträgt 40cm. Wie lang sind die Seiten? 4. Welcher Winkel ist doppelt so groß wie sein Nebenwinkel? Tipp: Winkel und Nebenwinkel ergeben zusammen 180. 8 Altersaufgaben 1. Ein Vater ist 52, sein Sohn 18 Jahre alt. In wie vielen Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn? 2. Eine Mutter ist heute viermal so alt wie ihre Tochter. In 16 Jahren wird sie nur noch doppelt so alt sein wie ihre Tochter. Wie alt sind sie heute? 3. Hans wird in 9 Jahren 1 Jahr weniger als dreimal so alt sein wie heute. Wie alt ist Hans? 4. Eine Mutter ist heute dreimal so alt wie ihre Tochter. In 10 Jahren wird sie doppelt so alt wie ihre Tochter sein. Wie alt sind beide heute? 5. Eine Mutter ist heute dreimal so alt wie ihre Tochter. Vor 5 Jahren war sie viermal so alt. Wie alt sind beide heute? 9 Und noch weitere Textgleichungen Schreibe jeweils die entsprechende Gleichung auf und löse sie! 10 1. Eine Mutter und ihr Sohn sind heute zusammen 47 Jahre alt. In 14 Jahren wird die Mutter genau doppelt so alt sein wie der Sohn. Wie alt sind Mutter und Sohn heute? 2. Schreibt man rechts von einer natürlichen Zahl eine 9, so entsteht eine 13mal so grosse Zahl. Wie heisst die ursprüngliche Zahl? 3. Eine 41jährige Tante zu ihrer 17 Jahre jüngeren Nichte: „Vor wie vielen Jahren warst du gerade halb so alt wie ich? 4. In einem Dreieck mit 193 cm Umfang misst die längste Seite 26 cm mehr als die mittlere Seite. Die kürzeste Seite ist um 22 cm kürzer als die mittlere Seite. Berechne die Länge jeder Dreiecksseite. 5. Die Tochter ist 21 Jahre jünger als ihre Mutter. In 2 Jahren wird die Mutter gerade doppelt so alt sein wie ihre Tochter. Wie alt sind die beiden heute? 6. Vertauscht man die Einerziffer 7 einer zweistelligen natürlichen Zahl mit der Zehnerziffer, so entsteht eine um 9 kleinere Zahl. Wie heisst die ursprüngliche Zahl? 7. Vertauscht man die Zehnerziffer 3 einer zweistelligen natürlichen Zahl mit der Einerziffer, so entsteht eine um 36 grössere Zahl. Wie heisst die ursprüngliche Zahl? 8. In einer Folge von fünf Zahlen ist jede Zahl fünfmal so gross wie die unmittelbar vorangehende Zahl. Die Differenz aus der grössten und der drittkleinsten Zahl ist 1800. Wie heissen die fünf Zahlen? 9. In einer vierstelligen Zahl mit der Quersumme 19 ist die Tausenderziffer um 3 grösser als die Zehnerziffer. Die Hunderterziffer ist um 4 grösser als die Einerziffer, die ihrerseits um 1 grösser als die Tausenderziffer ist. Wie heisst die gesuchte Zahl? 10. Schreibt man rechts von einer natürlichen Zahl die Zahl 36, so entsteht eine 103mal so grosse Zahl wie die Ausgangszahl. Wie heisst die Ausgangszahl? 11. Eine Frau ist heute 39 Jahre alt, ihre Tochter 11 Jahre alt. In wie vielen Jahren ist die Mutter genau doppelt so alt wie die Tochter? Lösungen: 1. Mutter: 36 Jahre, Sohn: 11 Jahre 2. 3 3. vor 7 Jahren 4. 41 cm, 63 cm, 89 cm 5. Mutter: 40 Jahre, Tochter: 19 Jahre 6. 87 7. 37 8. 3, 15, 75, 375, 1875 9. 4915 10. 12 11. in 17 Jahren 11 12 13 14