Arbeitsblatt: Mathematik

Mathe Jahresprüfung Terme Definition Term: Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung von Zahlen, Variablen, Operationszeichen und Klammern. Termumformungen Definition äquivalente Terme: Zwei Terme heissen äquivalent (gleichwertig), wenn sich beim Einsetzen jedes zulässigen (d.h. man kann es ausrechnen) Wertes für die Variablen stet bei beiden Termen derselbe Termwert ergibt. Bsp.: Die Terme und 2a sind äquivalent. a5 5 5 10 und 2 5 10 Egal, welchen Wert man für einsetzt, und 2a werden immer dasselbe Ergebnis liefern. Typen der Termumformung Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) Gleichartige Summanden zusammenfassen, bsp.: 2x 3x Ausklammern und Ausmultiplizieren (Distributivgesetz) Binomische Formeln Reihenfolge von Rechenoperationen: 1. 2. 3. 4. Klammern Potenzen Wurzeln Punktrechnung * und :) Strichrechnung ( und -) Grundrechenarten Addition Subtraktion Multiplikation Division Summand Summand Summe Minuend – Subtrahend Differenz Faktor Faktor Produkt Dividend Divisor Quotient Auflösen von Klammern Für beliebige Zahlen oder auch allgemein Terme a, b, gilt: vor der Klammer (b c) a b c (b – c) a b c Vor der Klammer – (b c) a – – A – (b – c) a – Binomische Formeln 1. Binomische Formel 2. Binomische Formel 3. Binomische Formel (a b) 2 a2 2ab b2 (a – b)2 a2 – 2ab b2 (a b) (a – b) a2 – b2 Potenzgesetze: 1. Potenzgesetz Gleiche Basen 2. Potenzgesetz Gleiche Exponenten 3. Potenzgesetz Potenz einer Potenz an am am n an am an m an bn (ab)n an bn (a/b)n (an)m anm Zahlenmengen Natürliche Zahlen N: Die Menge aller positiven Zahlen ohne Nachkommastellen. (1,2,3,4) Ganze Zahlen Die Menge aller Zahlen ohne Nachkommastellen. (, -3,-2,-1,0,1,2,3) Rationale Zahlen Die Menge aller gewöhnlichen Brüche. Das sind genau die Zahlen, die eine abbrechende oder periodische Dezimaldarstellung haben. Irrationale Zahlen Die Menge aller reellen Zahlen, die nicht rational sind, d.h. alle Zahlen, die sich nicht als gewöhnlicher Bruch schreiben lassen und deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist. Reelle Zahlen Alle Zahlen der Zahlengeraden. (Vereinigung aus den rationalen und irrationalen Zahlen. Bsp.: Ähnlichkeit (Zentrische Streckung Strahlensätze) Eigenschaften der zentrischen Streckung: 1. Entsprechende Winkel in Ausgangsfigur (Urbild) und Bildfigur sind gleich gross: A BB yy 2. Ausgangsstrecke und zugehörige Bildstrecke sind parallel, z.B: BC parallel zu BC 3. Den Streckfaktor findet man in den Streckenlängen. Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze Kongruenzsätze: Die Kongruenzsätze mach eine Aussage darüber, was man von zwei Dreiecken mindestens kennen muss, um zu entscheiden, ob die beiden Dreiecke kongruent (deckungsgleich) sind. Das bedeutet auch, dass sich anhand dieser «Mindestangaben» ein Dreieck eindeutig konstruieren lassen muss. Es kann kein zweites Dreieck geben, dass dieselben gegebenen Seitenlängen oder Innenwinkel besitzt, aber eine andere Form hat. Die beiden Dreiecke müssten in dem Fall kongruent sein. SSS Seite, Seite, Seite SWS Seite, Winkel, Seite SsW Seite, Seite, Winkel kleine bedeutet, dass gegenüber der längsten Seite des Dreiecks der Winkel liegen muss WSW, SWW Winkel, Seite, Winkel Ähnlichkeitssätze: Die Ähnlichkeitssätze machen eine Aussage darüber, was man von zwei Dreiecken mindestens kennen muss um zu entscheiden, ob die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind. Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, dann sind sie auch ähnlich. Das Umgekehrte gilt aber nicht! Theorie Strahlensätze: Unter den Strahlensätzen versteht man einen Spezialfall von Verhältnisgleichungen für ähnliche Dreiecke, die auf den sogenannten Strahlensatzfiguren beruhen. Die Strahlensatzfiguren entstehen, wenn Zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei parallelen Geraden geschnitten werden (V-Figur) oder Zwei Geraden mit Schnittpunkt von zwei parallelen geschnitten werden (X-Figur) Der Funktionsbegriff, Lineare Funktionen Veranschaulichung von Zuordnungen durch: Ein Koordinatensystem Eine Wertetabelle Eine Gleichung Definitionen: Definitionsmenge D: Menge aller Zahlen, die man in die Funktion einsetzen kann, d.h. für die die Funktion funktioniert. Zielmenge Z: Menge aller möglichen Ausgabewerte. Wertemenge W: Menge aller tatsächlichen Ausgabewerte. Funktion: Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element einer sogenannten Definitionsmenge genau ein Element einer sogenannten Zielmenge zuordnet. Eine Funktion bezeichnet man oft mit einem kleinen Buchstaben, z.B. f. Elemente der Definitionsmenge nennt man auch Argumente und bezeichnet sie oft mit einem x. Das dem zugeordneten Element der Zielmenge bezeichnet man mit f(x) oder oft auch und nennt das den Funktionswert. Merkregel: Wenn jede Senkrechte den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet, dann handelt es sich um den Graphen einer Funktion. Eine lineare Funktion mit Steigung und y-Achsenabschnitt ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung in der f(x) m*x q geschrieben werden kann. deren Graph stets gerade ist. Falls 0, dann ist der Graph steigend. Falls 0, dann ist der Graph fallend. Falls 0, dann ist der Graph parallel zur Achse. Funktionsgleichung in der Form: m*x q Steigung berechnen, indem man von jeweils zwei Punkten die Differenz der y- Koordinate und der x-Koordinate ausrechnet und es dann als gewöhnlichen Bruch darstellt. z.B.: (1/2), (2/4) 2 und 4 liegen auf der y-Koordinate 4-2/ 2-1 2/1 Wichtig: wenn man zuerst vom Punkt die y-Koordinate minus die yKoordinate vom Punkt rechnet, muss man auch beim Punkt mit der xKoordinate beginnen und die dann minus die x-Koordinate vom Punkt rechnen. Wenn: orthogonal von Funktionsgleichung: 3 und Punkt (2/3) gegeben ist, geht man so vor! Orthogonal bedeutet senkrecht! Das bedeutet die Steigung verändert sich komplett in das umgekehrte, hier in diesem Beispiel haben wir eine Steigung von x, und jetzt beim senkrechten Graphen lautet die Steigung 2/1 x! Zum Schluss müssen wir noch den y-Achsenabschnitt also das berechnen, weil der überall liegen kann! Denn y-Achsenabschnitt rechnet man aus, indem man die Koordinaten (2) und (3) in die Funktionsgleichung einsetzt. In unserem Beispiel jetzt: 3 (2) q, 3 1 q Resultat also: 2 Lösung: 2/1 2 Merke: 1 2 1x 2 Graphen zeichnen mithilfe einer Funktionsgleichung: Y- Achsenabschnitt ablesen und Punkt machen Steigung anschauen ob positiv (steigend) oder negativ – (fallend) Je nach Zahl so viele Punkte nach oben/unten mit der Zahl vom Zähler (obere Zahl) Mit der unteren Zahl (Nenner) so viele Punkte nach rechts oder links Funktionsgleichung herleiten: Steigungsdreieck einzeichnen Differenz ausrechnen von der y-Achse und x-Achse y/ x! y-Achsenabschnitt ablesen Umkehrfunktion berechnen von einer Funktion! Aufgabe: Geben Sie für die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) 1/2 3 die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion an. Aufgaben: Wie kann man bei Graphen entscheiden, ob es sich um eine . A) Funktion handelt? B) umkehrbare Funktion handelt? i. ii. iii. iv. Ja (aber nicht umkehrbar) Nein Nein Ja (aber nicht umkehrbar) A. Wenn jede senkrechte den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet. B. Wenn jede waagrechte den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet. Stereometrie Bruchgleichungen Lineare Gleichungssysteme: Drei verschiedene Verfahren: Einsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Herleiten ob eine Zahl wirklich irrational ist, unechten Bruch in einen echten Bruch umwandeln!