Arbeitsblatt: Fibonacci-Projekt

Mathematische Experimente, Rätsel und Phänomene Thema 3: Dreieckszahlen, Fibonacci-Reihe, Pascalsches Dreieck Fibonacci-Reihe Leonardo von Pisa (Fibonacci, Sohn von Bonacci) Leonardo wurde 1170 in Pisa geboren, über sein Leben ist jedoch nur sehr wenig bekannt. Die Schaffung eines auf dem Positionssystem beruhenden dezimalen Stellenwertsystems ist eine der bedeutendsten kulturellen Leistungen der indischen Völker. Das indische System war in Bagdad im 8.Jahrhundert schon bekannt. Die Araber griffen dieses indische System auf und dadurch, dass der größte Teil Spaniens dazumal von den Arabern beherrscht wurde, gelangten die indischen Ideen auch nach Europa und wurden auch den lateinischen Wissenden gelehrt. Den entscheidenden Durchbruch der indischen Rechenweise geschah durch das Buch Liber abbaci (1202) von Leonardo von Pisa. Als Sohn eines italienischen Diplomaten in Nordafrika lernte er die arabische Wissenschaft bald kennen und er verwendet konsequent die indisch-arabischen Ziffern und zeigte damit auch die Vorteile des dekadischen Stellenwertsystems auf. Leonardo von Pisa war einer der ersten Mathematiker, die wenn auch sehr vorsichtig- negative Zahlen als Schulden veranschaulicht haben. Katrin Lindauer Mathematische Experimente, Rätsel und Phänomene Thema 3: Dreieckszahlen, Fibonacci-Reihe, Pascalsches Dreieck Aufgabe 1 Kaninchenfamilie • Jedes Kaninchenpaar wird im Alter von zwei Monaten fortpflanzungsfähig • Jedes Kaninchenpaar bringt von diesem Moment an jeden Monat ein neues Paar zur Welt • Alle Kaninchen leben ewig Stelle für die ersten sechs Monate dar, aus wie vielen Paaren die Kaninchenfamilie besteht und schreibe die Anzahl Paare pro Monat daneben. Bsp. 1. Monat: Aufgabe 2 Treppensteigen Bei jeder Stufe kann man sich die Frage stellen: Nehme ich eine Stufe oder überspringe ich eine Stufe? Die erste Stufe muß auf jeden Fall betreten werden. Wie viele verschiedene Arten gibt es, um die Treppe hinaufzusteigen? (am Beispiel einer Treppe mit sechs Stufen) Bsp. Stufe 1 2 Möglichkeiten 1 Katrin Lindauer Mathematische Experimente, Rätsel und Phänomene Thema 3: Dreieckszahlen, Fibonacci-Reihe, Pascalsches Dreieck Entstehung der Fibonacci-Reihe Definition der Fibonacci-Reihe • • Für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben. Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger. Daraus ergibt sich die Folge zu 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, . Oft wird auch f0 0 ausgelassen und die Fibonacci-Folge mit f1 1 und f2 1 beginnend definiert, insbesondere bei der Anwendung auf Situationen, in denen ein Anfangswert Null keinen Sinn ergibt. Aufgabe 3 Versuche ein Gesetz (Gleichung) herauszufinden, mit der man weitere Zahlen (fn) der Fibonacci-Reihe berechnen kann und bestimme die Anfangswerte f0 und f1. Fibonacci in der Pflanzenwelt Viele Pflanzen weisen in ihrem Bauplan Spiralen auf, deren Anzahl durch FibonacciZahlen gegeben ist, wie beispielsweise bei den Samen in Blütenständen. Das ist dann der Fall, wenn der Winkel zwischen architektonisch benachbarten Blättern oder Samen bezüglich der Pflanzenachse der Goldene Winkel ist. Bsp: Tannenzapfen Katrin Lindauer Mathematische Experimente, Rätsel und Phänomene Thema 3: Dreieckszahlen, Fibonacci-Reihe, Pascalsches Dreieck Aufgabe 4 Zähle von der Fibonacci-Reihe die ersten fünf Zahlen zusammen und füge noch 1 dazu. Welche Zahl ergibt es? Zähle nun die ersten sechs Zahlen zusammen und füge 1 dazu. Was stellst du fest? Aufgabe 5 Wähle eine Zahl aus der Fibonacci-Reihe (am besten eine möglichst tiefe) und quadriere sie. Nimm nun die nachfolgende Zahl aus der Reihe und quadriere sie ebenfalls und addiere die beiden Quadratzahlen. Was stellst du fest? Zusatzaufgabe Versuche nun einen weiteren Zusammenhang der Zahlen aus der Fibonacci-Reihe zu finden (z.B. Addition). Katrin Lindauer