Arbeitsblatt: Theorie

Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 1 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 4 5 6 Mathematische Begriffe, die ich kennen muss: Rechenregeln: 3 Primzahlen 4 Teilbarkeitsregeln 4 Zahlen haben Namen. 5 Rundungsregeln 6 6.1 Grundregel: 6 6.2 Runden von Zahlen mit Massen 7 ggT und kgV 8 Brüche 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 3 6 7 Erweitern 8 Kürzen 8 Gleichnamig machen 8 Addieren und Subtrahieren 9 Malnehmen von Brüchen (Multiplikation) 9 Teilen von Brüchen (Division) 9 Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche 10 Umwandeln von Dezimalbrüchen in Brüche 10 9 Flächenberechnungen 10 Körperberechnungen 11 12 10.1 Säulen (Senkrecht begrenzte Körper) 12 10.2 Pyramide, Kegel 14 10.2.1 Volumen14 10.2.2 Oberfläche Die Oberfläche ist die Fläche der Abwicklung:.14 10.2.3 Beispiele:.16 10.3 Kugel 18 10.3.1 Volumen18 10.3.2 Oberfläche.18 10.3.3 Beispiel18 11 Volumen, Gewicht und Dichte 11.1 Dichte: 20 12 Massverwandlungen 12.1 12.2 12.3 12.4 20 22 Längenmasse 22 Flächenmasse 22 Masse des Volumens 22 Hohlmasse 23 13 Prozent Rechnungen 24 14 Dreispaltensystem Umgekehrte Proportionalität 26 14.1 Mittelwert („Durchschnitt) Mischungen 28 14.1.1 Mittelwert28 14.1.2 Beispiel:.28 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 2 14.1.3 Mischungen.28 15 Fremdes Geld: 29 15.1 Theoretisches 15.2 Beispiele: 30 29 16 Zinsrechnungen 31 16.1 Übersicht 31 16.2 Erläuterungen: 31 16.3 Beispiele: 32 17 Zinseszins und ähnliche Probleme 18 Rabatt und Skonto 34 18.1 Übersicht 34 18.2 Beispiele 34 18.3 Nochmals obiges Beispiel (Nr. 3) 19 Brutto Netto Tara 19.1 Übersicht 36 19.2 Dazu ein Beispiel 33 35 36 37 20 Steigung und Gefälle 38 20.1 Beispiele: 38 21 Gleichungen 39 21.1 Lösen von Gleichungen: 39 21.2 Ungleichungen: 39 21.3 Termumformungen 40 21.3.1 Vorzeichen:40 21.3.2 Addition und Subtraktion von Termen:40 21.3.3 Addition und Subtraktion von Termen mit Klammern:40 21.3.4 Multiplikation von Termen:40 21.3.5 Ausmultiplizieren und Ausklammern.41 21.3.6 Division von Termen Bruchterme41 21.4 Negative Zahlen 41 21.4.1 Addition und Subtraktion41 21.4.2 Multiplikation und Division42 22 Geometrie43 22.1 Grundbegriffe 43 22.2 Bezeichnungen 44 22.3 Winkelmessung und -bezeichnung 45 22.4 Grundkonstruktionen 46 22.4.1 Senkrechte vom Punkt auf die Gerade g.46 22.4.2 Mittelsenkrechte der Strecke AB.46 22.4.3 Senkrechte im Punkt P46 22.4.4 Winkelhalbierende.46 22.6 Besondere Linien und Punkte im Dreieck 47 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach 1 Mathematische Begriffe, die ich kennen muss: Addition addiere Summe Summanden Zusammenzählen zähle zusammen, summiere Resultat der Addition, Total die zu addierenden Zahlen Subtraktion subtrahiere Differenz Minuend Subtrahend Wegzählen zähle weg Resultat der Subtraktion, Unterschied 1. Zahl der Subtraktion 2. Zahl der Subtraktion Multiplikation multipliziere Produkt Faktor Malrechnen, Vervielfältigen rechne mal, vervielfältige mit Resultat der Multiplikation Zahlen, die miteinander multipliziert werden Division dividiere Quotient Dividend Divisor Teilen, Durchrechnen teile Resultat der Division Zähler Nenner Exponent Hochzahl [z.B. bei 3 (drei hoch zwei) ist zwei der Exponent] 2 Rechenregeln: Alle Operationen sind in folgender Reihenfolge zu lösen: 1. Klammern Punkt vor Strich 2. Potenzen 3. Multiplikationen Divisionen 4. Additionen Subtraktionen 5. Von links nach rechts Beispiel: 5 2 · (3 5) 1. Klammer: 2. Potenz: 3. Punkt vor Strich 4. Von links nach rechts 5 2 · (8) 125 2 · 8 125 16 109 Seite 3 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 4 3 Primzahlen Primzahlen sind Zahlen, die sich nur durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilen lassen. Ab 5 liegen sie immer vor oder nach einer Zahl der 6er Reihe. Aber nicht jede Zahl vor oder nach einer Sechserzahl ist eine Primzahl! z.B. 25 Hier die Primzahlen bis 109 2 3 5 7 11 13 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 Das Programm „prime.exe liefert dir weitere Primzahlen und zerlegt Zahlen in seine Faktoren (siehe auch ggT und kgV) 4 Teilbarkeitsregeln :2 alle geraden Zahlen :3 alle Zahlen, deren Quersumme ohne Rest durch 3 geteilt werden kann :4 alle Zahlen, deren zwei letzte Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl darstellen :5 alle Zahlen mit den Endziffern 5 oder 0 :6 alle Zahlen, die sowohl durch 2 als auch durch 3 ohne Rest teilbar sind (also alle geraden Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist) :7 halbschriftlich ausprobieren :8 alle Zahlen, deren drei letzte Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl darstellen :9 alle Zahlen, deren Quersumme ohne Rest durch 9 geteilt werden kann :10 alle Zahlen, mit der Endziffer 0 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 5 5 Zahlen haben Namen. (Mathematische Mengensymbole) natürliche Zahlen (0, 1, 2, 3, 4, 5 .) seit 1976 gilt gemäss DIN 5473 Null als natürliche Zahl das Zählen beginnt also bei 0! Z Z 0- ganze Zahlen (., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 .) positive ganze Zahlen (1, 2, 3, ) negative ganze Zahlen (., -3, -2, -1) negative ganze Zahlen und 0 (., -3, -2, -1, 0) Rationale Zahlen (Zahlen, die durch Brüche darstellbar sind 3,23; ; , 0 etc. Negative rationale Zahlen (Zahlen, die durch Brüche darstellbar und negativ sind – also OHNE die 0!) Q0 Negative rationale Zahlen (Zahlen, die durch Brüche darstellbar und negativ sind UND die 0!) Reelle Zahlen (alle für uns in Frage kommenden Zahlen – auch Wurzeln, Pi etc.) Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 6 6 Rundungsregeln Nicht alle Rechnungen ergeben ein genaues Resultat. Oftmals erhalten wir zu viele Nachkommastellen. In diesen Fällen runden wir auf ein sinnvolles Mass. 6.1 Grundregel: · Zum Runden brauchen wir eine Nachkommastelle mehr, als wir im Schlussresultat angeben wollen. · Ist diese letzte Zahl 5 oder grösser, runden wir auf, das heisst, wir erhöhen den Wert der davor liegenden Zahl um 1. Beispiel: 4.1509 3.448 3.45 4.151 · Ist der Wert kleiner als 5, runden wir ab. Das heisst der Wert der davor stehenden Zahl bleibt gleich. Beispiel: 4.102 3.441 3.44 4.10 6.2 Runden von Zahlen mit Massen Grundsätzlich runden wir bei Zahlen mit Massen auf das nächst kleinere Mass: Bei Franken auf Rappen (2 Stellen) 45.3466 Fr. 45.35 Fr. Bei Kilogramm auf Gramm (3 Stellen) 9.45218 kg 9.452 kg 8.88722 Bei Liter auf Deziliter (1 Stelle) 8.9 Ausnahme: Meter runden wir nicht auf Dezimeter (dm), sondern auf Zentimeter (cm). Flächenmasse runden wir auf 2 Nachkommastellen. 4.559824 m2 4.56 m2 Volumen auf 3 Nachkommastellen 458.66428 dm3 458.664 dm3 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 7 7 ggT und kgV Die Zahlen 42, 28 und 70 haben veschiedene gemeinsame Teiler (Werte durch welche alle drei Zahlen ohne Rest teilbar sind): 2, 7 und 14. 14 ist der grösste gemeinsame Teiler ggT. Mathematische Lösung: 42 237 28 227 70 257 27 14 (ggT)ggT) Die Zahlen 42, 28 und 70 haben verschiedene gemeinsame Vielfache (Werte die sowohl in der 42er-Reihe wie auch in der 28er-Reihe vorkommen) 420, 840, 1260,1680, 2100 etc. 420 ist das kleinste gemeinsame Vielfache kgV. Mathematische Lösung: 42 2 28 7 70 2 7 3 7 2 2 5 420 (ggT)kgV) Es ist von jedem Primfaktor der mit dem höchsten Exponenten (hier z.B. 22, 31, 51, 71) auszuwählen und davon das Produkt zu bilden. Das kgV eines Zahlenpaares berechnet sich am einfachsten indem man die beiden Zahlen multipliziert und das Produkt durch den ggT dividiert. Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 8 8 Brüche 3 Zähler 4 Nenner Der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch. Also: 3 3:4 4 8.1 Erweitern Erweitern heisst: Zähler und Nenner mal die gleiche Zahl rechnen. 2 2 2 4 mit 2 erweitert 3 3 2 6 8.2 Kürzen Kürzen heisst: Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilen. 6:3 15 3 (kann mit 3 gekürzt werden) 2 5 8.3 Gleichnamig machen Gleichnamig machen heisst: Zwei oder mehrere verschiedene Brüche durch Erweitern auf den gleichen Nenner bringen. 2 4 3 5 2 10 3 15 Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 5 ist 15. 15 ist deshalb der kleinstmögliche gemeinsame Nenner dieser zwei (erweitert mit 5) 4 12 5 15 (erweitert mit 3) Beim Erweitern, Kürzen und Gleichnamigmachen wird der Wert eines Bruchs nicht verändert! Brüche: Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 9 8.4 Addieren und Subtrahieren Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert). Die Nenner bleiben unverändert. Beispiele: 2 5 2 5 7 9 9 9 9 5 3 5 3 2 7 7 7 7 Ungleichnamige Brüche müssen vor dem Addieren (Subtrahieren) gleichnamig gemacht werden. Beispiele: 2 1 8 3 11 3 4 12 12 12 7 5 21 20 1 8 6 24 24 24 8.5 Malnehmen von Brüchen (Multiplikation) 5 ( 5 ) 1 3 4 2 3 5 2 1 3 7 3 7 21 8 4 8 32 10 3 Man rechnet Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. 8.6 Teilen von Brüchen (Division) 2 4 2 4( 3 1 3 3 2 3 5 7 5 1 2 4 12 7 21 2 10 Man kehrt den zweiten Bruch um (man nimmt den Kehrwert) und multipliziert die beiden Brüche. Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 10 8.7 Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche Wenn wir den Zähler eines Bruchs durch seinen Nenner teilen, erhalten wir den entsprechenden Dezimalbruch. Beispiel: 3 3 8 0.375 8 8.8 Umwandeln von Dezimalbrüchen in Brüche Wir nehmen die hinterste Dezimalstelle, um den Nenner zu bestimmen. Also: Beim Dezimalbruch 0.375 nehmen wir die 5. Im Nenner haben wir nun also Tausendstel. 375 0.375 1000 Der Bruch wird nun noch gekürzt. 375 125 3 1000 :125 8 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 11 9 Flächenberechnungen Bezeichnung Form Rechteck Flächeninhalt Umfang Al•b ulblb 2 • (l b) As•s s ussss u4•s l Quadrat (Rechteck mit gleichgrosser Länge und Breite) A Parallelogramm d2 2 Ag•h (Auch Rhomboid genannt) ugsgs 2 • (g s) Rhombus (Parallelogramm mit gleichgrosser Länge und Breite) 2 1 ie ia o a le s e e r c t i k ig u in n e Trapez 1 s2 1 s2 ugsgs 2 • (g s) p1 2 h 2 s1 p1 s2 p2 [m, die mittlere Länge) p1 2 2 2 Trapezoid (Zwei Dreiecke berechnen) 1 d 2 2 Ag•h A s1 A 1 A (h1 2) 2 s1 s1 s3 s4 A h 2 uabc s3 2 s4 Dreieck h (a g Alle weiteren gradlinig begrenzten Flächen sind in Dreiecke zerlegbar Ar•r• Kreis r • (d2•r) A r 2 A r 2 ubrr u2•rb A r 360 b Kreissektor r ud• 2 r 360 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach 10 Körperberechnungen 10.1 Säulen (Senkrecht begrenzte Körper) Volumen Grundfläche Höhe Die Oberfläche ist die Fläche der Abwicklung: e k flä h G le ic g o s ie r n fl ä h a t lflä h r n f lä h Oberfläche Mantel 2 Grundflächen Mantel Umfang der Grundfläche Höhe Beispiele: l Quader (l 6 cm; 8 cm; 12 cm) a) Volumen: V also ist Gh; Glb 6 8 12 576 cm b) Oberfläche: ö e e Q a e rs ä g m l r ite m fa g e R c te k 2 ; h; 2l 2b; also ist (6 8 6 8) 12 2G268 Oberfläche 336 cm 96 cm 432 cm Seite 12 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach r Zylinder (r 3 cm; 11 cm) a) Volumen: V also ist ; ( r) 3 3 11 310.018 cm b) Oberfläche: ö e e Z lin e s a iu im u d a m l i m a g e K e is s D r h e s r a P i) 2 ; h; ; ( r) also ist 6 11 2G233 Oberfläche 207.345 cm 56.549 cm 263.893 cm Seite 13 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 14 10.2 Pyramide, Kegel 10.2.1 Volumen Das Volumen einer Pyramide beträgt 1/3 des entsprechenden Prismas: 3 l Das Volumen eines Kegels beträgt 1/3 des entsprechenden Zylinders: :3 Volumen Grundfläche Körperhöhe 3 10.2.2 Oberfläche Die Oberfläche ist die Fläche der Abwicklung: r n f lä h a te lflä h r n f lä h a t lflä h Oberfläche Mantel Grundfläche Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Mantel Umfang der Grundfläche Seitenhöhe 2 Seite 15 Theorie Mathematik Sekundarstufe Seite 16 K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach hs hk s 10.2.3 Beispiele: Pyramide (s 6 cm; hs 13 cm; hk 12 cm) a) Volumen: hk 3 also ist s s hk 3 6 12 3 144 cm hs hk b) Oberfläche: ; : 2; 4 ; s also ist 4 6 13 2 6 Oberfläche 156 cm 36 cm 192 cm Kegel (d 6 cm; hs 13 cm; hk 12 cm) a) Volumen: hk 3 also ist r r hk 3 b) Oberfläche: 3 12 3 113.097 cm Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach S M G M u : 2; G r also ist 6 hs 2 6 13 :2 3 Oberfläche 122.522 cm 28.274 cm 150.796 cm Seite 17 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 18 10.3 Kugel 10.3.1 Volumen Volumen Oberfläche Radius 3 Formel: 4 r 3 10.3.2 Oberfläche Die Oberfläche ist die 4fache Fläche der grössten Querschnittes (Kreisfläche) eine Abwicklung ist nicht möglich. Oberfläche 4 Kreisfläche 10.3.3 Beispiel Kugel mit einem Durchmesser (d) von 5 cm. Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach a) Volumen: (r d/2) 4 r 3 4 2.5 3 65.450 cm 4 2.5 78.540 cm b) Oberfläche: 4 r Seite 19 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 20 11 Volumen, Gewicht und Dichte · · · Das Gewicht eines Körpers hängt von seinem Volumen und seiner Dichte ab. Jedes Material besteht aus Teilchen. Je dichter die Teilchen beieinander sind, desto schwerer ist das Material. Die Dichte der Teilchen hängt also vom Material ab. Deshalb können verschiedene Materialien bei gleichem Gewicht verschiedene Volumen haben. Deshalb ist 1 kg Blei auch gleich schwer wie 1 kg Daunenfedern, aber die Daunenfedern brauchen viel mehr Platz, also besitzen sie ein grösseres Volumen. Eisen Blei Aluminium 11.1 Dichte: Als Basiseinheit wurde das Wasser gewählt. Alles was schwimmt, hat eine kleinere Dichte, alles was sinkt eine grössere als Wasser. Gleich schwere Stoffe schweben im Wasser. Berechnung der Dichte: Dichte Gewicht Volumen Masseinheiten der Dichte: cm kg dm m Dichte verschiedener Stoffe findest du im Internet oder im Lexikon Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Beispiele: a) Bestimme die Dichte: Material: Schwefel Gewicht 25 kg 11,9 dm3 kg dm Gewicht Dichte Volumen 25 Dichte 11,9 Dichte ? Die Dichte von Schwefel beträgt 2,1 kg dm b) Bestimme das Gewicht: Material: Messing cm Dichte 8,6 3 cm3 Gewicht ? Gewicht V · Dichte Gewicht 3 · 8,6 Das Gewicht von 3 cm3 Messing beträgt 25,8 g. c) Bestimme das Volumen: Material: Korkrinde cm Dichte 0, 15 Gewicht 2500g cm3 Gewicht Dichte 2500 0,15 V Das Volumen von 2500 Korkrinde beträgt 16666,7cm3. Seite 21 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 22 12 Massverwandlungen km 1 12.1 Längenmasse 2 4 7 3 dm cm mm 0 0 0 8 9 4 5 0 5 6 5 4 0 Beispiele: 1.234 km 1234 7.89 78.9 dm 45 mm 4.5 cm 5 cm 0.5 dm 654 mm 0.6654 1234 1.234 km 7.98 789 cm 45 mm 4.5 cm 5 cm 0.05 654 mm 65.4 cm 12.2 Flächenmasse mm2 Quadratmillimeter Aren ha Hektaren Die Flächenmasse nehmen jeweils pro Mass 2 Stellen ein! 1 km2 100 ha 1 ha 100 1 100 m2 1 m2 100 dm2 6 km2 5 ha 4 3 6 Beispiele: 5.89 cm2 589 mm2 8.64 dm2 864 cm2 0.42 ha 42 2 1 9 4 4 0 1 9 m2 5 2 8 7 dm 2 6 5 8 6 4 4 cm 2 4 3 5 2 8 6 428 cm2 4.28 dm2 45.6 4560 m2 6.91 km2 691 ha 12.3 Masse des Volumens 1 2 m3 3 4 5 dm 3 6 7 8 9 3 mm Kubikmmillimeter 8 7 8 4 5 7 2 6 3 5 1 cm 3 1 2 4 6 3 2 Die Masse des Volumens nehmen jeweils pro Mass 3 Stellen ein! Beispiele: 46.130 cm3 46130 mm3 7532 dm3 7.532 cm3 82.1 dm3 82100 cm3 8746 m3 8.746 dm3 53 dm3 0.053 dm3 mm 2 2 1 8 9 auf das volle Mass mit Nullen ergänzen ! bis zum nächst höheren Mass mit Nullen ergänzen mm 3 3 4 5 1 3 0 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 23 12.4 Hohlmasse Die Hohlmasse entsprechen den Massen des Volumens, können aber auch in Litern angegeben werden. Liter dl Deziliter cl Zentiliter ml Milliliter Merke dir: 1 Liter 1 dm3 1 Milliliter 1 cm3 Du musst also immer zuerst in eines dieser beiden Masse verwandeln! dm3 1 2 5 cm3 dl cl ml 3 4 5 3 6 7 8 9 6.7 dl 67 cl 8.9 cl 89 ml Beispiele: 5.3 53 dl Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach 13 Prozent Rechnungen Merke: Der Grundwert (ggT)alles, das Ursprüngliche) ist bei der Operatordarstellung immer vorne Teilbetrag gesucht z.B. Auf einem Gebiet von 16720 ha sind 80% produktive Fläche. Berechne diese produktive Fläche. 16720 ha 0.8 ------------------ . (13376. ha) Grundwert gesucht z.B. In einer Gruppe tragen 26 eine Brille, dies macht 19% aus. Wie viele Personen sind in der Gruppe? 0.19 ------------------- 26 1 -------------- 0.19 18 Fr. 18 210 Fr. ------------ 210 ------------------- 18 Fr. 0.0857. (mit dem Rechner gerechnet 18 210) ------------------- 8.57 Seite 24 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Du kannst auch die T-Tabelle dazu verwenden: Teilbetrag gesucht z.B. Auf einem Gebiet von 167,20 km2 sind 80% produktive Fläche. Berechne diese produktive Fläche. km2 167,20 100 . 80 167,2 100 80 133,76 km2 Grundwert gesucht z.B. In einer Gruppe tragen 26 eine Brille, dies macht 19% aus. Wieviele Personen sind in der Gruppe? Personen 26 19 . 100 26 19 100 136,842 Personen also rund 137 Personen - Wert gesucht z.B. Wieveile sind 18 Fr. von 210 Fr. Fr. 210 100 18 100 210 18 8,57 Nun ist es an dir, den dir besser entsprechenden Weg zu wählen! Du kannst auch je nach Situation den einen oder anderen wählen! Seite 25 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach 14 Dreispaltensystem Umgekehrte Proportionalität Im 3-Spalten-System immer: b/x kg Fr./kg Fr. z.B. 3 5 2 2 6 10 Fr./m Fr. 7 7 3 8 21 56 l/s 5 10 100 50 500 500 Personen m/Personen 50 60 20 20 1000 1200 Fr. Fr./kg kg m/Personen Personen nie: In der T-Tabelle fehlt jeweils die Spalte mit gleichen Werten (ggT)grau hinterlegt) Seite 26 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 27 Umgekehrte Proportionalität besteht immer dann, wenn im Dreispaltensystem die 3. Spalte konstant ist! Proportional gilt: „Je mehr., desto mehr. Umgekehrt Proportional gilt: „Je mehr., desto weniger. Proportional: Je mehr Birnen ich kaufe, desto mehr kosten sie (ggT)bei gleichem Preis) Je schneller ich fahre, desto weiter komme ich (ggT)in der gleichen Zeit) Je länger ich arbeite, desto mehr erledige ich. Umgekehrt proportional: Je teurere Birnen ich kaufe, desto weniger erhalte ich (ggT)mit gleich viel Geld) Je schneller ich fahre, desto weniger Zeit brauche ich (ggT)für die gleiche Strecke) Je mehr Leute mitarbeiten, desto weniger lang brauchen sie (ggT)theoretisch.) Beispiele: 1a) Ein Pendel macht in 20 Sekunden 55 Schwingungen. Wie lang braucht es für 60 Schwingungen? Schw./s Schw. 20 2.75 55 21.818 2.75 60 Das Pendel brauchte rund 21,8s (ggT)proportional) 1b) Bei einem Preis von Fr. 3.80 pro kg erhält man 7 kg Früchte. Wie viele kg würde man mit gleich viel Geld bei einem Preis von 2.80 erhalten? kg Fr./kg Fr. 7 3.8 26.6 9.5 2.8 26.6 Man würde 9.5kg erhalten (ggT)umgekehrt proportional) Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 28 14.1 Mittelwert („Durchschnitt) Mischungen 14.1.1 Mittelwert Der Mittelwert („Durchschnitt) wird folgendermassen berechnet: Summe Anzahl 14.1.2 Beispiel: An einer Tankstelle werden in einer Woche pro Tag folgende Mengen Benzin verkauft: 385 , 1015 l, 837 l, 597 , 1456 l, 955 l, 659 Berechne den Tagesdurchschnitt! Summe: 385 1015 837 597 1456 955 659 5904 Anzahl: 7 5904 7 843.4 14.1.3 Mischungen Bei Mischungsrechnungen geht es darum, „Durchschnitte in der Dreispaltendarstellung zu berechnen (l/kg; Fr./m; l/s etc. Beispiel: Wir mischen 8 kg Kaffee der Sorte zu Fr. 12.80 mit 7 kg Kaffee der Sorte zu Fr. 8.50. Wie viel kostet 1 kg der Mischung? Sorte Menge in kg Preis kg Preis Sorte 8 12.80 102.40 Sorte 7 8.50 59.50 Mischung 15 161.90 Rechnung: 15 · 161.90 161.90 15 10.79 Fr. Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 29 15 Fremdes Geld: 15.1 Theoretisches Kurs Kurstabelle: Devisen und Noten (Aufgaben mit aktuellen Kursen mathe.exe !) Banknoten Kauf USA Euro Kanada England Schweden Dänemark Norwegen Japan Australien 1.3675 1.51 0.9725 2.136 15.8 19.75 17.5 1.15 0.865 . Einheiten Fremdes Geld Verkauf 1.4575 1.56 1.0525 2.296 17.4 21.55 19.3 1.255 0.955 Kurs ---------------------100 --------------------------------------------- sFr. Euro (€), Dollar ($) und Pfund (£) werden in der Schweiz mit nur 1 Einheit angegeben Kurs ---------------------1 oder. £ --------------------------------------------- sFr. Du siehst: Fremdes Geld immer vorne !! Kauf oder Verkauf Wichtig ist, dass du den Satz immer mit „DIE BANK. beginnst Die Bank kauft fremdes Geld. Die Bank verkauft fremdes Geld. Wichtig für deine Wahl ist jeweils auch die Begründung: Beispiel: Fritz isst in Frankreich für 13 € in einem Restaurant. Wie viele Fr. 1. Möglichkeit: Verkauf Begründung: Fritz hat das Geld ja auf der Bank zum Verkaufspreis erhalten! 2. Möglichkeit: Ankauf Begründung: Wenn Fritz das Geld zurückbringen würde, bekäme er beim Wechseln in Fr. nur den Ankaufspreis dafür! Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 30 15.2 Beispiele: Schweizergeld in ausländische Währungen wechseln: Fr. 2500.- in Schwedische Kronen: (Die Bank verkauft mir .) Schwedische Kronen also: 14367.8 Schwedische Kronen 17.4 ---------------------100 --------------------------------------------- Fr. 2500.100 ---------------------17.4 0.045) (ggT)Jahres-) Zins: Zins in genau einem Jahr (360 Tage). Oft auch einfach als Zins bezeichnet. Jahresbruchteil: Meist Tage 360 (z. B. 176 Tage - 176 360, aber auch: 5 Monate - 5 12 etc.) TAGEBERECHNUNG: (z.B. 27.02. 17.06.93) Tage des ersten Datums bis Monatsende (30 Tage) Zwischenmonate 30 (Nachzählen !!) (3. /4. /5.- 3*30) Tage des zweiten Datums Total Achtung: 3d 90 17 110 31. Januar, 31 Juni . - 30. Februar: In einem Schaltjahr ist der 29. der letzte, gilt also als 30.; sonst gilt der 28. Februar als 30. Beispiele: 28. 2. 84 Monatsende 2 Tage 29. 2. 84 Monatsende 0 Tage 28. 2. 85 Monatsende 0 Tage Anfangs Monat 28. 2. 84 28 Tage Anfangs Monat 29. 2. 84 30 Tage Anfangs Monat 28. 2. 85 30 Tage Warum? Der 28.2.85 und der 29.2.84 sind das Monatsende, der 28.4.84 hingegen nicht! Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 32 Bruttozins, Marchzins: Zins in weniger als einem ganzen Jahr. Oft auch einfach Zins in . Tagen etc. genannt Verrechnungssteuerabzug 35%: Wenn der Zins mehr als 50.- beträgt, wird die so genannte Verrechnungssteuer in der Höhe von 35% abgezogen es bleiben also Netto 65% des Zinses übrig: Nettozins: Der effektiv ausbezahlte Zins (Nach Abzug der Verrechnungssteuer). 16.3 Beispiele: 1) Berechne den Nettozins eines Kapitals von 3400 Fr. in 234 Tagen bei einem Zinssatz von 4 %. 0 .0 4 5 Fr. Tage Fr. 1530.- 360 Fr. 994.50 234 2) Welches Kapital muss angelegt werden, damit es bei einem Zinssatz von 5,6% in 177 Tagen 2000 Fr. Zins abwirft 1 Fr. Tage Fr. 6258.148 360 Fr. 3076.923 177 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 33 17 Zinseszins und ähnliche Probleme Aufgabe: Frau Mayer legt 5000 Fr. für 4 Jahre auf die Bank (Zinssatz 5%). Auf welche Summe wächst das Kapital an 5 0 0 0 .- 0 .0 5 2 5 0 - Z in 1 .0 5 o ta n c 1 a r 5 2 5 0 .- 0 .0 5 2 6 2 .5 in 1 .0 5 1 .0 5 4 o ta n c 2 a re 5 5 1 2 .5 0 .0 5 2 7 5 .6 2 5 in 1 .0 5 o ta n c 3 a re 5 7 8 8 .1 2 5 0 .0 5 2 8 9 .4 0 6 2 5 in 1 .0 5 o ta n c 4 a re ir o tie e n r 5 0 0 0 .- 6 0 7 7 .5 3 1 2 5 1 .0 5 4 6 0 7 7 .5 3 1 2 5 Ähnliche Problemstellungen: 1. Die Bevölkerung eines Landes (12 Mio. Einwohner) nimmt rund 0.7 zu pro Jahr. Auf wie viele Einwohner wächst sie also in 10 Jahren an (100 0.7 100.7 also 1.007) 120000 E. 1.007 10 12866960 E. 2. Autos müssen in der Steuererklärung mit 35 Abschreibung pro Jahr auf den Neuwert angegeben werden. Welchen offiziellen Wert hat somit ein Auto, für welches man vor 9 Jahren 4200 Fr. bezahlt hat 4200 Fr. 0.65 9 869.90 Fr. Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 34 18 Rabatt und Skonto 18.1 Übersicht Rabatt Ladenpreis Skonto Verkaufspreis Barpreis 18.2 Beispiele 1) Ladenpreis 125 Fr.; 22% Rabatt; 3 Skonto. Berechne den Barpreis! 0.22 125 Fr. 27.5 Fr. 0.78 0.03 2.925 Fr. 97.5 Fr. 0.97 94.575 Fr. Antwort: Barpreis rund 94.60 Fr. 2) Barpreis 92.15 Fr.; Skonto 2%; Rabatt 30%. Berechne den Ladenpreis. 0.30 nicht nötig 134.329 Fr. 0.70 :0.70 0.02 94.0306 Fr. 0.98 :0.98 Der Ladenpreis beträgt 134.35 Fr. nicht nötig 92.15 Fr. Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 35 3) Ladenpreis 16.15; Rabatt 45%; Barpreis 8.45Fr. Berechne Skonto in 0.45 16.15 Fr. nicht nötig 0.55 0.0486 0.4325 Fr 8.8825 Fr. 8.45 Fr. 0.0486 zu diesem Operator kommst du mit 0.4325 8.8825 Skonto: rund 5% Man könnte auch den Barpreis in berechnen und dann die Differenz bis 100% Mit der Zeit werden nur noch die fettgedruckten Operatoren notiert! Verwendest du T-Tabellen, musst du für Rabatt und Skonto je eine Tabelle erstellen. 18.3 Nochmals obiges Beispiel (Nr. 3) Ladenpreis 16.15; Rabatt 45%; Barpreis 8.45Fr. Berechne Skonto in Beginnen musst du mit der Tabelle, bei der du mind 3 Angaben (inkl. 100%) hast: Hier Rabatt Fr. 16.15 Bei den Rabattrechnungen ist der Ladenpreis 100 100 55 Rabatt (nicht gefragt) 45 Verkaufspreis 16.15 100 55 8.8825 Fr. (Verkaufspreis) einsetzten in die 2. Tabelle Fr. 8.8825 8.45 100 Bei den Skontorechnungen ist der Verkaufspreis 100 0.4325 Barpreis (nicht gefragt) Skonto 100 8.8825 0.4325 4,86 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach 19 Brutto Netto Tara 19.1 Übersicht Brutto Alles, das Ganze Bruttolohn (Lohn auf dem Papier ohne Abzüge) Bruttopreis (Listenpreis, Katalogpreis.) Bruttogewicht (Gesamtgewicht, Inhalt mit Verpackung) Netto Das, was nach dem „Abzug noch übrig bleibt Nettolohn (Lohn, der ausbezahlt wird) Nettopreis (Verkaufspreis) Nettogewicht (Gewicht des Inhalts, ohne Tara) Tara Leergewicht Verpackung Lastwagen oder Eisenbahnwagen Gewicht des Lastkahns Es gibt keinen Taralohn oder Tarapreis dieser Begriff bezieht sich immer auf ein Gewicht! Seite 36 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 37 Achtung: die Tara ist „gratis, wird nicht berechnet: · · Papiersammlung: Der Container mit dem Papier ist Brutto, das Papier Netto (und wird bezahlt) der Container wird nicht mitberechnet. Zitronen im Kistchen: Alles ist Brutto, das Kistchen Tara und wird weggeworfen, die Zitronen sind Netto (und müssen bezahlt werden) 19.2 Dazu ein Beispiel 238 kg Zitronen kosten Brutto 749.7 Fr.; die Tara beträgt 8 %, Was kostet 1kg Netto? 1. Wie gross ist das Nettogewicht? 0.92 238kg 218.96kg 2. Da man ja die Tara wegwerfen muss und nicht verkaufen kann, muss (ohne Gewinn zu erzielen!) für die 218.96kg 749.7 Fr. verlangt werden. 3. 1kg kostet dann also 749.5 218.96 3.4239 Fr.; also rund 3.45 Fr. Du kannst auch T-Tabelle und das Dreispaltensystem einsetzen (siehe auch Kapitel 10): kg Brutto 238kg 100% Netto 218.96kg 92% kg Fr./kg Fr. Brutto 238kg nicht gefragt Fr. 749.7 Netto 218.96kg Fr. 3.4239 Fr. 749.7 (ggT)!) Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach 20 Steigung und Gefälle Wirkliche Länge Höhendifferenz Basis Projektion (100 %) 20.1 Beispiele: Basis Steigung/Gefälle Höhendifferenz in in in a) 6000 385 b) 1500 6 c) 12 270 a) Angaben In Basis 6000 100 Höhendifferenz 385 . Angaben In Basis 1500 100 Höhendifferenz 6 Angaben In Basis . 100 Höhendifferenz 270 12 b) c) Wenn die Steigung oder das Gefälle in 0 00 angegeben werden, dann gilt: also: Basis Projektion (1000 0 00 Seite 38 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 39 21 Gleichungen Beispiele für Gleichungen: 16 5 -11 22 oder 2x 5 17 Links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen zwei Terme 21.1 Lösen von Gleichungen: Enthält eine Gleichung eine Variable (z.B. x), können wir den Wert der Variablen durch Umformen der Gleichung ermitteln. Um eine Gleichung zu lösen, arbeiten wir mit Umkehroperationen. Dabei achten wir darauf, dass immer in beiden Termen die gleiche Operation durchgeführt wird. Bei der Reihenfolge der Operationen müssen die Rechenregeln eingehalten werden Beispiel 1: 2x 5 2x 17 12 6 Operation in beiden Termen -5 :2 Beispiel 2: Der Umfang eines Rechtecks beträgt 36 m, seine Länge 12 m. Berechne die Breite! Aus der Umfangsformel bilden wir eine Gleichung: 36 18 6 2 · (l b) 2 · (12 b) 12 b b Operation in beiden Termen :2 12 Zusatz: Es gibt Gleichungen, die keine Lösung sinnvolle Lösung aufweisen. Die Lösungsmenge ist in diesem Fall eine leere Menge, } 21.2 Ungleichungen: Wird anstelle eines Gleichheitszeichens () ein Ungleichheitszeichen (, L 1, 2, 3, 4 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 40 21.3 Termumformungen 21.3.1 Vorzeichen: Wenn zwei Vorzeichen unmittelbar aufeinander folgen, gelten folgende Regeln: a(b) ab a-(-b) ab 21.3.2 a(-b) a-b a-(b) a-b Addition und Subtraktion von Termen: Bei der Addition und Subtraktion können nur gleichartige Teile zusammengefasst werden und ungleiche Teile nicht. (Birnen und Äpfel bleiben Birnen und Äpfel!) Bsp.: 2a 5b 2a – 4b 4a b 5x 3a – 4b 2x – 9b 3a 13b 7x 6a 3a2 7a a2 13a 2a2 21.3.3 Addition und Subtraktion von Termen mit Klammern: Beim Auflösen von Klammern gilt es in erster Linie das Vorzeichen zu beachten. Entsprechend dem Zeichen vor der Klammer, ändern die Zeichen in der Klammer. Bsp.: (b c) a b c (b c) a b c 21.3.4 - (b c) a b c - (b c) a b c Multiplikation von Termen: Ein Produkt, das aus mehreren Faktoren besteht, heisst Potenz. Die Anzahl der Faktoren wird als Hochzahl notiert. Bsp.: . a2 b5 Das Produkt verschiedener Faktoren, kann hier, im Gegensatz zur Addition und Subtraktion, zusammengefasst werden. Bsp.: 9a 3x 4b 5c 180abc 5y 2y 30xy2z 5a2 3a 4b 2a3. 6b4 120a6b5 Wenn Terme mit verschiedenen Vorzeichen multipliziert werden, gilt wieder die Vorzeichenregel: Plus mal plus plus minus mal minus plus plus mal minus minus 3x (-4y) 5z -60xyz (-4ab) (-5a2b) (2ab3) 40a4b5 3r 4u2 (-2k2) – (-2ab2) (-3)k3 360ab2k5ru2 Theorie Mathematik Sekundarstufe 21.3.5 K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 41 Ausmultiplizieren und Ausklammern Klammern werden ausmultipliziert indem man jede Zahl multipliziert. Bsp.: . (b c) ab ac (b c) a ba ca (b c) ab ac (b c) a ba ca Umgekehrt, also das Zerlegen von Summanden in Faktoren nennt man „ausklammern: Bsp.: ab ac ad a (b c d) ab ac – ad a 21.3.6 (b – - d) Division von Termen Bruchterme Mit Bruchtermen kann man wie mit allgemeinen Brüchen umgehen, also auch erweitern und kürzen. Aus diesem Grund sollte die Bruchschreibweise verwendet werden wenn Terme dividiert werden. Grundsätzlich gilt: Die Division durch Null ist nicht erlaubt. Bsp.: 25b 5b 16ab 4b 25b 5 5 5b 1 16ab 4a 4a 4b 1 21.4 Negative Zahlen Beim Rechnen mit negativen Zahlen müssen wir einige Regeln beachten. 21.4.1 Addition und Subtraktion Addieren wir eine negative Zahl, ergibt sich daraus eine Subtraktion. Beispiel: 12 (ggT)- 6) 12 6 6 Subtrahieren wir eine negative Zahl, ergibt sich daraus eine Addition. Beispiel: 15 (ggT)- 5) 15 5 20 Theorie Mathematik Sekundarstufe 21.4.2 K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 42 Multiplikation und Division Multiplizieren wir eine positive Zahl mit einer negativen Zahl, ist das Produkt negativ. Beispiel: 5 · (-2) (-10) Multiplizieren wir eine negative Zahl mit einer negativen Zahl, ist das Produkt positiv. Beispiel: (-5) · (-2) 10 Dividieren wir eine positive Zahl durch eine negative Zahl, ist der Quotient negativ. Beispiel: 10 (-2) (- 5) Dividieren wir eine negative Zahl durch eine negative Zahl, ist der Quotient positiv. Beispiel: (-10) (-2) 5 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 43 22 Geometrie 22.1 Grundbegriffe Strecke: Die kürzeste Verbindungslinie zwischen zwei Punkten und ist die Strecke AB. ·· Gerade: Führen wir die Verbindungslinie beidseitig über die Punkte und hinaus, erhalten wir eine beidseitig unbegrenzte gerade Linie, die Gerade g. ·· Halbgerade: Verlängern wir die Strecke AB nur einseitig über hinaus, entsteht eine Halbgerade. ·· Winkel: Zeichnen wir von einem Punkt aus zwei Halbgeraden und b, so bilden sie zwei Winkel. Parallelen: Die Geraden und schneiden sich nicht, sie haben überall den gleichen Abstand zueinander. Sie sind zueinander parallel. h Senkrechte: Eine Halbgerade, die zu einer Gerade im rechten Winkel steht, ist eine Senkrechte. Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach 22.2 Bezeichnungen Das Bezeichnen von Punkten und Strecken Punkte und Eckpunkte werden immer mit Grossbuchstaben bezeichnet. · · ·C B Strecken, Geraden, Seiten, etc. werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet. e d a Winkel werden mit Buchstaben des griechischen Alphabets bezeichnet. Seite 44 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 45 22.3 Winkelmessung und -bezeichnung Die Grösse eines Winkels messen wir in Grad. Der volle Winkel bei einer ganzen Umdrehung misst 360. Der Kreis misst 360. Rechte Winkel messen 90. Gestreckte Winkel messen 180. Winkel, die weniger als 90 messen, heissen spitze Winkel. Winkel, die mehr als 90 messen, heissen stumpfe Winkel. Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 46 22.4 Grundkonstruktionen 22.4.1 Senkrechte vom Punkt auf die Gerade · 1. Zirkel auf einstecken, von aus Bogen zeichnen. 2. Zirkel in einem andern Punkt auf einstecken, von aus einen zweiten Bogen zeichnen. 3. mit Schnittpunkt der Bogen verbinden. 22.4.2 Mittelsenkrechte der Strecke AB 22.4.3 1. Zirkel in einstecken, bis über die Mitte der Strecke hinaus öffnen, Bogen zeichnen. 2. Zirkel in einstecken, mit der gleichen Zirkelöffnung einen zweiten Bogen zeichnen. 3. Schnittpunkte der Bogen verbinden. Senkrechte im Punkt 1. Zirkel in einstecken und mit beliebiger Zirkelöffnung die Punkte und markieren (die Abstände PA und PB müssen gleich gross sein). wird damit zum Mittelpunkt der Strecke AB. 2. Die oben beschriebene Mittelsenkrechten Konstruktion durchführen. · 22.4.4 Winkelhalbierende 1. Vom Punkt P1 (Scheitelpunkt) aus einen Kreis ziehen 2. Zwischen den Schnittpunkten P2 und P3 die Mittelsenkrechte konstruieren P2 · P1 · · P3 Theorie Mathematik Sekundarstufe K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 47 22.5 Der Umkreis Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich im Punkt M. Dieser Punkt hat von den drei Ecken des Dreiecks die gleiche Entfernung. Er ist das Zentrum des Umkreises des Dreiecks. Der Inkreis Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Punkt W. Dieser Punkt hat von den drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. Er ist das Zentrum des Inkreises des Dreiecks. Der Schwerpunkt 22.6 Besondere Linien und Punkte im Dreieck Allgemeine Lehrsätze des Dreiecks · In jedem Dreieck ist die Summe zweier Dreiecksseiten grösser als die dritte Seite: · In jedem Dreieck liegt der grössern Seite der grössere Winkel gegenüber · In jedem Dreieck misst die Summe aller Innenwinkel 180º. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S. Dieser Punkt heisst Schwerpunkt. Er teilt die Schwerlinien im Verhältnis 2:1. Theorie Mathematik Sekundarstufe nachträgliche Korrekturen: 30.12.2004: Zahlen haben Namen N0 K. Bertschi Th. Bürki, Lyssach Seite 48