Arbeitsblatt: Pyramide, Kegel, Kugel

1. Mathplan 9 Geometrische Körper Lernziele: 6 Wochen Du kennst die Definitionen von Pyramiden, Kegel und Kugel Du kannst die notwendigen Grössen und Längen von Körpern bestimmen und einzeichnen. Du kannst Mantel, Oberfläche und Volumen von Körpern berechnen Du kannst Umkehraufgaben lösen. Aufgabenbeschreibung Lehrmittel Pflichtaufgaben Zusatzaufgaben LU 9: S.14 1 (PA), 2 (PA), 5 (EA) 3,4 (PA) Pyramiden AH 9: S.37 1.1,1.2, 1.5, 2.1 – 2.4 (PA) 1.3, 1.4, 2.5 (PA) 3.1 (EA), 3.2 (PA), 3.3 (PA) 3.4, 3.5 (PA) LU 9: S.30 1, 2, 3, 4, 5 (KA), 7 (EA) 6, 8, 9 (PA) Kegel AH 9: S.77 1 (PA), 2 (KA) 3, 4, 5, 6 (PA) AB 1 Arbeitsblatt Kugel Kugel AH 9: S.81 1, 2, 4, 5 (EA) 3, 6, 7, 8, 9 (PA) AB 2 Zusatzaufgaben Übungsarbeitsblatt Je Teilgebiet je einen Zwischentest und einen Schlusstest Schlusstest am Ende der Unterrichtseinheit Rückblick: Wie habe ich die Aufgaben lösen können? meistens alleine gelegentlich mit Hilfe regelmässig mit Hilfe immer mit Hilfe Wie habe ich die Aufgaben verstanden? Habe ich aus der Aufgabenstellung gewusst, was zu tun ist? Die Aufgaben waren: ziemlich einfach mit Überlegen gut verständlich gelegentlich etwas schwierig meistens sehr schwer meistens leicht lösbar teilweise leicht lösbar mit viel Aufwand lösbar kaum lösbar Wie schätze ich meine Kenntnisse ein? Wie kann ich meine Kenntnisse anwenden? ziemlich sicher teilweise sicher teilweise unsicher noch unsicher Wie hat die Lehrkraft die Aufgaben erklärt veranschaulicht? Klare Erklärungen meistens gut erklärt zu schnell erklärt schlecht erklärt Was kann ich gut? . Wo muss ich noch üben? . Eigene Bemerkungen . Rückmeldung M. Stettler . Testergebnisse: Schlussbeurteilung: Unterschrift Schüler/in: Unterschrift Eltern: MP 9S-01 Geometrische Körper.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Geometrische Körper Übungsblatt Berechne die fehlenden Angaben der folgenden Pyramide mit quadratischem Boden. Die beiden letzten Aufgaben sind Umkehraufgaben. 8 cm 5 cm 12 cm 10 cm 12 cm 15 cm *12 cm 5 cm 3 cm hs 10 cm 13 cm 10 cm MP 9S-01 AB1 Pyramide.doc; 03.02.2007 25 cm 12 cm 240 cm2 1296 cm3 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Geometrische Körper Übungsblatt Berechne die Oberfläche, die Gesamtkantenlänge und das Volumen der folgenden Prismen. 5 cm k S V Prisma mit dreieckiger Grundfläche (gleichseitiges Dreieck) 10 cm k 8 cm S 2 cm V 8 cm k 10 cm S V 20 cm k 15 cm S V MP 9S-01 AB1 Pyramide.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Pyramide 1. Arbeitsblatt Berechne die fehlenden Angaben für gerade Pyramiden mit quadratischer Grundfläche. [cm] [cm] 12 10 11 9 10 8 9 7 Dreieckshöhe Körperhöhe hP [cm] hP [cm] Mantelfläche [cm2] Volumen [cm3] 8 Nutze die Ähnlichkeitssätze aus, um die Grössen von ähnlichen Pyramiden zu bestimmen. 1.2 1.0 0.8 2.4 2.0 1.6 6 5 12 10 MP 9S-01 AB2 Zusatzaufgaben Pyramide.doc; 03.02.2007 0.53 1.92 0.25 Sekund 1. Mathplan 9 Pyramide Arbeitsblatt 2. Wahr oder falsch? Das Volumen von zwei gegenüberliegenden Pyramiden ist zusammen jeweils 1 des Würfelvolumens. 3 Liegt Punkt in einer Ecke des Würfels, ergeben sich drei kongruente Pyramiden. Deren Volumen beträgt jeweils D 3. 1 des Würfelvolumens. 3 Die Summe aller Kantenlängen der 6 Pyramiden ist in beiden Figuren gleich lang. Die Summe aller Mantelflächen der 6 Pyramiden ist in beiden Figuren gleich gross. Die Summe der Volumen der 6 Pyramiden ist in beiden Figuren gleich gross. Wahr oder falsch? Untersuche gerade, quadratische Pyramiden. B Die Mantelfläche besteht aus 4 gleichschenkligen Dreiecken. Die Höhe einer Dreiecksfläche des Mantels ist länger als die Pyramidenhöhe. Zu jeder geraden, quadratischen Pyramide lässt sich ein Quader umschreiben, dessen Volumen 3-mal grösser als das Pyramidenvolumen ist. Die Mantelfläche ist immer grösser als die Grundfläche (sofern die Körperhöhe nicht 0 ist). Der Fusspunkt der Pyramidenhöhe liegt auf dem Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche. Das Volumen der Pyramide berechnet sich mit Vp s2 · hp 3 MP 9S-01 AB2 Zusatzaufgaben Pyramide.doc; 03.02.2007 Sekund 1. Mathplan 9 Pyramide Arbeitsblatt 4. Hier ist das Netz einer Pyramide gezeichnet. Berechne Oberfläche und Volumen der Pyramide. 5. Skizziere in die vier Würfel Körper, deren Volumen folgende Bruchteile des Würfelvolumens ausmachen: 6. Ist eine Pyramide eindeutig definiert, wenn B D die Grundfläche und die Körperhöhe bekannt sind? Form und Grösse der Mantelfläche gegeben sind? das Netz gegeben ist? die Grundfläche und die Koordinate der Pyramidenspitze gegeben sind? die Koordinaten aller Eckpunkte gegeben sind? die Anzahl Eckpunkte bekannt ist? die Grösse aller Teilflächen bekannt ist? MP 9S-01 AB2 Zusatzaufgaben Pyramide.doc; 03.02.2007 Sekund 1. Mathplan 9 Pyramide 7. 8. Arbeitsblatt Eine Pyramide ist einem Würfel mit der Kantenlänge einbeschrieben. Wie lang sind die Kanten und in dieser Pyramide? Wie gross sind die Seitenflächen der Pyramide? Einem Würfel wird eine Pyramide eingeschrieben. (schwierig) Der Würfel wird durch drei senkrechte Schnitte jeweils durch die Kantenmitten geteilt. Die Pyramide wird dadurch in 5 Teilkörper zerlegt. Wie heissen die 5 Teilkörper? Welchen Bruchteil des Würfelvolumens nehmen sie ein? MP 9S-01 AB2 Zusatzaufgaben Pyramide.doc; 03.02.2007 Sekund 1. Mathplan 9 Pyramide 1. Arbeitsblatt Berechne die fehlenden Angaben für gerade Pyramiden mit quadratischer Grundfläche. Mantelfläch M [cm2] Volumen [cm3] 5.3 192 254 7.1 4.5 157 183 8 6.2 3.7 125 125 9 7 5.4 2.9 97 79 1.2 1.0 0.8 0.53 1.92 0.25 2.4 2.0 1.6 1.06 7.7 2.0 6 5 4 2.6 48 31.7 12 10 8 5.3 192 254.0 Dreieckshöh Körperhöhe hP [cm] hD [cm] [cm] [cm] 12 10 8 11 9 10 MP 9S-01 AB2L Zusatzaufgaben Pyramide.doc; 03.02.2007 Sekund 1. Mathplan 9 Pyramide Arbeitsblatt 2. Wahr oder falsch? Das Volumen von zwei gegenüberliegenden Pyramiden ist zusammen jeweils 1 des Würfelvolumens. wahr 3 Liegt Punkt in einer Ecke des Würfels, ergeben sich drei kongruente Pyramiden. Deren Volumen beträgt jeweils D 3. 1 des Würfelvolumens. wahr 3 Die Summe aller Kantenlängen der 6 Pyramiden ist in beiden Figuren gleich lang. falsch. Die Gesamtkantenlänge ist links grösser als rechts. Die Summe aller Mantelflächen der 6 Pyramiden ist in beiden Figuren gleich gross. falsch. Die Mantelfläche ist links grösser als rechts. Die Summe der Volumen der 6 Pyramiden ist in beiden Figuren gleich gross. wahr Wahr oder falsch? Untersuche gerade, quadratische Pyramiden. B Die Mantelfläche besteht aus 4 gleichschenkligen Dreiecken. Die Höhe einer Dreiecksfläche des Mantels ist länger als die Pyramidenhöhe. Zu jeder geraden, quadratischen Pyramide lässt sich ein Quader umschreiben, dessen Volumen 3-mal grösser als das Pyramidenvolumen ist. Die Mantelfläche ist immer grösser als die Grundfläche (sofern die Körperhöhe nicht 0 ist). Der Fusspunkt der Pyramidenhöhe liegt auf dem Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche. Das Volumen der Pyramide berechnet sich mit Vp s2 · hp 3 alle Aussagen sind wahr. MP 9S-01 AB2L Zusatzaufgaben Pyramide.doc; 03.02.2007 Sekund 1. Mathplan 9 Pyramide 4. Arbeitsblatt Hier ist das Netz einer Pyramide gezeichnet. Berechne Oberfläche und Volumen der Pyramide. Oberfläche: (6 cm)2 4 · (6 cm · 4 cm) 2 84 cm2 Volumen: hp 42 32 cm 2.6 cm s2 · hP 3 32 cm3 5. 6. Skizziere in die vier Würfel Körper, deren Volumen folgende Bruchteile des Würfelvolumens ausmachen: Ist eine Pyramide eindeutig definiert, wenn die Grundfläche und die Körperhöhe bekannt sind? nein Form und Grösse der Mantelfläche gegeben sind? ja das Netz gegeben ist? ja die Grundfläche und die Koordinate der Pyramidenspitze gegeben sind? ja die Koordinaten aller Eckpunkte gegeben sind? ja die Anzahl Eckpunkte bekannt ist? nein die Grösse aller Teilflächen bekannt ist? nein MP 9S-01 AB2L Zusatzaufgaben Pyramide.doc; 03.02.2007 Sekund 1. Mathplan 9 Pyramide 7. 8. Arbeitsblatt Eine Pyramide ist einem Würfel mit der Kantenlänge einbeschrieben. Wie lang sind die Kanten und in dieser Pyramide? Wie gross sind die Seitenflächen der Pyramide? a b 2s 3s Seitenfläche links: Seitenfläche hinten: 0.5 s2 Seitenfläche vorne: 0.71 s2 Seitenfläche rechts: 0.71 s2 0.5 s2 Einem Würfel wird eine Pyramide eingeschrieben. (schwierig) Der Würfel wird durch drei senkrechte Schnitte jeweils durch die Kantenmitten geteilt. Die Pyramide wird dadurch in 5 Teilkörper zerlegt. Wie heissen die 5 Teilkörper? Welchen Bruchteil des Würfelvolumens nehmen sie ein? 2 Pyramiden (kongruent) 2 Prismen mit dreieckiger Grundfläche 1 Würfel Pyramiden: Prismen: Würfel: MP 9S-01 AB2L Zusatzaufgaben Pyramide.doc; 03.02.2007 1 24 1 16 1 8 Sekund 1. Mathplan 9 Kegelberechnungen Arbeitsblatt Gegeben sind Kegel mit der gleichen Seitenhöhe (Mantellinie) und variierendem Zentriwinkel . Berechne die jeweiligen Mantelflächen und Kegelvolumen. Was stellst du fest? Arbeitshinweis: Ausrechnungen ins Heft mit Tinte und sauberem Lösungsweg (gemäss Vorlage). Resultate anschliessend aufs Lösungsblatt. Für alle Kegel gilt: 10 cm Zentriwinkel Mantelfläche Kegelvolumen 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 Schlussfolgerung Feststellung: MP 9S-01 AB3 Kegelvolumen.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms [cm3] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 0.00 0.00 0.01 0.02 0.03 0.05 0.07 0.10 0.13 0.16 0.20 0.24 0.29 0.34 0.40 0.45 0.52 0.58 0.65 0.73 0.81 0.89 0.98 1.07 1.16 1.26 1.36 1.47 1.58 1.70 1.82 1.94 2.07 Kegelvolumen 450 400 350 300 Volumen [] 250 200 150 100 50 0 0 30 60 90 120 150 180 210 Grad 240 270 300 330 360 390 2.20 2.33 2.47 2.61 2.76 2.91 3.07 3.23 3.39 3.56 3.73 3.90 4.08 4.26 4.45 4.64 4.84 5.04 5.24 5.45 5.66 5.87 6.09 6.31 6.54 6.77 7.00 7.24 7.49 7.73 7.98 8.24 8.50 8.76 9.02 9.29 9.57 9.85 Optimum 404.0 403.0 402.0 Volumen 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 32 32.5 33 33.5 34 34.5 35 401.0 400.0 399.0 398.0 397.0 280 285 290 295 Grad 300 305 Grad 35.5 36 36.5 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40 40.5 41 41.5 42 42.5 43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 47 47.5 48 48.5 49 49.5 50 50.5 51 51.5 52 52.5 53 53.5 54 10.13 10.41 10.70 11.00 11.30 11.60 11.90 12.21 12.52 12.84 13.16 13.49 13.82 14.15 14.49 14.83 15.17 15.52 15.87 16.23 16.59 16.95 17.32 17.69 18.06 18.44 18.82 19.21 19.60 19.99 20.39 20.79 21.20 21.61 22.02 22.44 22.86 23.28 54.5 55 55.5 56 56.5 57 57.5 58 58.5 59 59.5 60 60.5 61 61.5 62 62.5 63 63.5 64 64.5 65 65.5 66 66.5 67 67.5 68 68.5 69 69.5 70 70.5 71 71.5 72 72.5 73 23.71 24.14 24.58 25.02 25.46 25.91 26.36 26.81 27.27 27.73 28.20 28.67 29.14 29.62 30.10 30.58 31.07 31.56 32.05 32.55 33.06 33.56 34.07 34.58 35.10 35.62 36.14 36.67 37.20 37.74 38.28 38.82 39.36 39.91 40.46 41.02 41.58 42.14 73.5 74 74.5 75 75.5 76 76.5 77 77.5 78 78.5 79 79.5 80 80.5 81 81.5 82 82.5 83 83.5 84 84.5 85 85.5 86 86.5 87 87.5 88 88.5 89 89.5 90 90.5 91 91.5 92 42.71 43.28 43.85 44.43 45.01 45.60 46.18 46.78 47.37 47.97 48.57 49.17 49.78 50.39 51.01 51.63 52.25 52.88 53.51 54.14 54.77 55.41 56.05 56.70 57.35 58.00 58.66 59.32 59.98 60.64 61.31 61.99 62.66 63.34 64.02 64.71 65.39 66.09 92.5 93 93.5 94 94.5 95 95.5 96 96.5 97 97.5 98 98.5 99 99.5 100 100.5 101 101.5 102 102.5 103 103.5 104 104.5 105 105.5 106 106.5 107 107.5 108 108.5 109 109.5 110 110.5 111 66.78 67.48 68.18 68.89 69.59 70.30 71.02 71.73 72.45 73.18 73.90 74.63 75.37 76.10 76.84 77.58 78.33 79.08 79.83 80.58 81.34 82.10 82.86 83.63 84.40 85.17 85.94 86.72 87.50 88.29 89.07 89.86 90.65 91.45 92.25 93.05 93.85 94.66 111.5 112 112.5 113 113.5 114 114.5 115 115.5 116 116.5 117 117.5 118 118.5 119 119.5 120 120.5 121 121.5 122 122.5 123 123.5 124 124.5 125 125.5 126 126.5 127 127.5 128 128.5 129 129.5 130 95.47 96.28 97.09 97.91 98.73 99.56 100.38 101.21 102.04 102.88 103.71 104.55 105.39 106.24 107.09 107.94 108.79 109.65 110.50 111.36 112.23 113.09 113.96 114.83 115.70 116.58 117.46 118.34 119.22 120.11 120.99 121.89 122.78 123.67 124.57 125.47 126.37 127.28 130.5 131 131.5 132 132.5 133 133.5 134 134.5 135 135.5 136 136.5 137 137.5 138 138.5 139 139.5 140 140.5 141 141.5 142 142.5 143 143.5 144 144.5 145 145.5 146 146.5 147 147.5 148 148.5 149 128.18 129.09 130.00 130.92 131.83 132.75 133.67 134.59 135.52 136.45 137.38 138.31 139.24 140.18 141.11 142.05 142.99 143.94 144.88 145.83 146.78 147.73 148.69 149.64 150.60 151.56 152.52 153.49 154.45 155.42 156.39 157.36 158.33 159.30 160.28 161.26 162.24 163.22 149.5 150 150.5 151 151.5 152 152.5 153 153.5 154 154.5 155 155.5 156 156.5 157 157.5 158 158.5 159 159.5 160 160.5 161 161.5 162 162.5 163 163.5 164 164.5 165 165.5 166 166.5 167 167.5 168 164.20 165.19 166.17 167.16 168.15 169.14 170.14 171.13 172.13 173.12 174.12 175.12 176.13 177.13 178.13 179.14 180.15 181.16 182.17 183.18 184.19 185.21 186.22 187.24 188.26 189.28 190.30 191.32 192.34 193.37 194.39 195.42 196.45 197.47 198.50 199.53 200.57 201.60 168.5 169 169.5 170 170.5 171 171.5 172 172.5 173 173.5 174 174.5 175 175.5 176 176.5 177 177.5 178 178.5 179 179.5 180 180.5 181 181.5 182 182.5 183 183.5 184 184.5 185 185.5 186 186.5 187 202.63 203.67 204.70 205.74 206.77 207.81 208.85 209.89 210.93 211.97 213.01 214.06 215.10 216.14 217.19 218.23 219.28 220.32 221.37 222.42 223.46 224.51 225.56 226.61 227.66 228.71 229.76 230.81 231.86 232.91 233.96 235.01 236.06 237.12 238.17 239.22 240.27 241.32 187.5 188 188.5 189 189.5 190 190.5 191 191.5 192 192.5 193 193.5 194 194.5 195 195.5 196 196.5 197 197.5 198 198.5 199 199.5 200 200.5 201 201.5 202 202.5 203 203.5 204 204.5 205 205.5 206 242.38 243.43 244.48 245.53 246.58 247.64 248.69 249.74 250.79 251.84 252.89 253.94 254.99 256.04 257.09 258.14 259.19 260.24 261.29 262.33 263.38 264.43 265.47 266.52 267.56 268.61 269.65 270.69 271.73 272.77 273.81 274.85 275.89 276.93 277.96 279.00 280.03 281.06 206.5 207 207.5 208 208.5 209 209.5 210 210.5 211 211.5 212 212.5 213 213.5 214 214.5 215 215.5 216 216.5 217 217.5 218 218.5 219 219.5 220 220.5 221 221.5 222 222.5 223 223.5 224 224.5 225 282.09 283.13 284.15 285.18 286.21 287.24 288.26 289.28 290.30 291.32 292.34 293.36 294.38 295.39 296.40 297.41 298.42 299.43 300.44 301.44 302.44 303.44 304.44 305.44 306.43 307.42 308.41 309.40 310.39 311.37 312.35 313.33 314.31 315.29 316.26 317.23 318.20 319.16 225.5 226 226.5 227 227.5 228 228.5 229 229.5 230 230.5 231 231.5 232 232.5 233 233.5 234 234.5 235 235.5 236 236.5 237 237.5 238 238.5 239 239.5 240 240.5 241 241.5 242 242.5 243 243.5 244 320.12 321.08 322.04 323.00 323.95 324.90 325.84 326.79 327.73 328.67 329.60 330.53 331.46 332.39 333.31 334.23 335.14 336.06 336.96 337.87 338.77 339.67 340.57 341.46 342.35 343.23 344.11 344.99 345.86 346.73 347.59 348.45 349.31 350.16 351.01 351.86 352.70 353.53 244.5 245 245.5 246 246.5 247 247.5 248 248.5 249 249.5 250 250.5 251 251.5 252 252.5 253 253.5 254 254.5 255 255.5 256 256.5 257 257.5 258 258.5 259 259.5 260 260.5 261 261.5 262 262.5 263 354.36 355.19 356.01 356.83 357.64 358.45 359.25 360.05 360.85 361.63 362.42 363.20 363.97 364.74 365.50 366.26 367.01 367.76 368.50 369.24 369.97 370.69 371.41 372.12 372.83 373.53 374.23 374.92 375.60 376.28 376.95 377.61 378.27 378.92 379.56 380.20 380.83 381.45 263.5 264 264.5 265 265.5 266 266.5 267 267.5 268 268.5 269 269.5 270 270.5 271 271.5 272 272.5 273 273.5 274 274.5 275 275.5 276 276.5 277 277.5 278 278.5 279 279.5 280 280.5 281 281.5 282 382.07 382.68 383.28 383.88 384.47 385.05 385.62 386.19 386.75 387.30 387.84 388.38 388.90 389.42 389.93 390.44 390.93 391.42 391.89 392.36 392.82 393.27 393.72 394.15 394.58 394.99 395.40 395.79 396.18 396.56 396.93 397.29 397.63 397.97 398.30 398.62 398.92 399.22 282.5 283 283.5 284 284.5 285 285.5 286 286.5 287 287.5 288 288.5 289 289.5 290 290.5 291 291.5 292 292.5 293 293.5 294 294.5 295 295.5 296 296.5 297 297.5 298 298.5 299 299.5 300 300.5 301 399.51 399.78 400.05 400.30 400.54 400.78 401.00 401.20 401.40 401.59 401.76 401.92 402.07 402.21 402.33 402.44 402.54 402.63 402.70 402.76 402.80 402.84 402.86 402.86 402.85 402.83 402.79 402.74 402.67 402.59 402.50 402.39 402.26 402.12 401.96 401.78 401.59 401.38 301.5 302 302.5 303 303.5 304 304.5 305 305.5 306 306.5 307 307.5 308 308.5 309 309.5 310 310.5 311 311.5 312 312.5 313 313.5 314 314.5 315 315.5 316 316.5 317 317.5 318 318.5 319 319.5 320 401.16 400.92 400.66 400.39 400.09 399.78 399.46 399.11 398.75 398.36 397.96 397.54 397.10 396.64 396.16 395.65 395.13 394.59 394.03 393.44 392.84 392.21 391.56 390.88 390.19 389.47 388.72 387.95 387.16 386.34 385.50 384.63 383.74 382.82 381.87 380.90 379.90 378.87 320.5 321 321.5 322 322.5 323 323.5 324 324.5 325 325.5 326 326.5 327 327.5 328 328.5 329 329.5 330 330.5 331 331.5 332 332.5 333 333.5 334 334.5 335 335.5 336 336.5 337 337.5 338 338.5 339 377.81 376.72 375.60 374.45 373.27 372.06 370.82 369.55 368.24 366.90 365.52 364.11 362.67 361.19 359.67 358.11 356.52 354.88 353.21 351.49 349.73 347.93 346.09 344.20 342.26 340.28 338.25 336.17 334.04 331.86 329.62 327.33 324.99 322.58 320.12 317.59 315.01 312.36 339.5 340 340.5 341 341.5 342 342.5 343 343.5 344 344.5 345 345.5 346 346.5 347 347.5 348 348.5 349 349.5 350 350.5 351 351.5 352 352.5 353 353.5 354 354.5 355 355.5 356 356.5 357 357.5 358 309.64 306.85 303.99 301.05 298.05 294.96 291.79 288.53 285.19 281.75 278.22 274.59 270.85 267.01 263.05 258.97 254.76 250.42 245.94 241.31 236.52 231.56 226.42 221.09 215.55 209.78 203.77 197.49 190.91 184.01 176.73 169.04 160.88 152.16 142.78 132.60 121.43 108.95 358.5 359 359.5 360 94.65 77.53 54.99 0.00 390 305 1. Mathplan 9 Kegelberechnungen Arbeitsblatt Aus den Berechnungen der verschiedenen Kegel wollen wir die Volumen grafisch darstellen. Wir können so verdeutlichen, dass das Volumen zunächst immer ansteigt bis zu einem Maximum und dann wieder abfällt. Aufgabe: Trage die berechneten Volumen in das untenstehende Koordinatensystem. [cm3] 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 30 60 120 150 180 210 240 270 300 330 360 [] Wenn wir nun die einzelnen Punkte „weich miteinander verbinden, können wir erkennen, dass das Maximum des Kegelvolumens bei etwa liegt. Genauere Berechnungen zeigen, dass der genaue Wert bei liegt. Wir werden zu einem späteren Zeitpunkt lernen, wie man solche grafischen Darstellungen mit dem PC erstellen kann. MP 9S-01 AB4 Auswertung Kegel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzarbeitsblatt Kegel Zusatzaufgaben Löse die folgenden Zusatzaufgaben rund um den Kegel sauber ins Math-Heft 1. 2. Aus dem Sektor ist ein Kegel zu formen. Wie gross ist seine Mantelfläche? Wie gross ist die Standkreisfläche? Wie gross ist das Volumen des Kegels? Berechne die fehlenden Grössen des Kegels. 4 3. 5 Der zylindrische Filter-Halter einer Kaffee-Maschine fasst 1 Liter Wasser. Wie viel Wasser etwa fasst dann der exakt hineinpassende, kegelförmige Filter-Bereich? Tipp: Wenn du diese Aufgabe nicht allgemein lösen kannst, so verwende für dir Höhe des Zylinders 10 cm. MP 9S-01 AB5 Zusatzaufgaben Kegel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzarbeitsblatt Kegel Zusatzaufgaben 4. Das gleichschenklige Trapez rotiert um die Seite CD. Welches Volumen wird dabei überstrichen? 5. Ein Holz-Kegel wird konzentrisch bis in die halbe Tiefe ausgebohrt. Wie viel Prozent des Ausgangskegels macht das verbleibende Material aus? MP 9S-01 AB5 Zusatzaufgaben Kegel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzarbeitsblatt Kegel 6. Bei einem Kegel ist die Mantellinie so gross wie der Durchmesser. Wie verhalten sich Volumen und Oberfläche dieses Kegels? 7. Der Böschungswinkel eines Kegels ist der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Grundfläche. Ein Schüttkegel entsteht, wenn man ein körniges Gut aufschüttet. Beim Korn beträgt dieser Böschungswinkel 30. Welches Volumen an Korn ist in einem solchen Schüttkegel mit Grundkreisumfang 12 vorhanden? 8. Das gleichschenklige Trapez rotiert um die Symmetrieachse. Welches Volumen wird dabei überstrichen? MP 9S-01 AB5 Zusatzaufgaben Kegel.doc; 03.02.2007 Zusatzaufgaben Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzarbeitsblatt Kegel 9. Zusatzaufgaben Ein Holzkegel (Standkreisdurchmesser Mantellinienlänge) wird konzentrisch bis in die halbe Tiefe ausgebohrt. Wie gross ist die Oberfläche am Schluss im Vergleich mit jener am Anfang? MP 9S-01 AB5 Zusatzaufgaben Kegel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Mathematisches Praktikum Kugelvolumen Ziel: Mit Hilfe vierer verschiedener Ansatzpunkte soll das Kugelvolumen bestimmt und veranschaulicht werden. Du kennst die Formel für das Kugelvolumen und kannst sie bewusst und richtig anwenden. Aufgabe: Erarbeite in den Gruppen Schritt für Schritt Varianten 1 und 2. Wenn anschliessend noch Zeit vorhanden ist, kannst du dich an die beiden schwierigeren Varianten 3 und 4 trauen. Bemerkungen: Ich traue dir zu, dass du die ersten beiden Varianten lösen kannst. Es bedingt aber, dass du nicht zu schnell aufgibst und durchhältst. Die Ausrechnungen, Notizen und Schlussfolgerungen schreibst du in dein Mathheft. Hilfsmittel: Taschenrechner, Math-Lexikon, Mathheft MP 9S-01 AB6 Kugelvolumen praktisch.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Mathematisches Praktikum Kugelvolumen Variante 1: Die Einfachste Grundlagen: Eine kühne Behauptung lautet, dass das Volumen einer Halbkugel exakt zwischen Zylinder und Kegelvolumen mit den gleichen Ausmessungen liegt. Übersetze diese Aussage in mathematische Formeln und fülle die Lücken der Tabelle. Volumenformel Zylinder mit Radius und Höhe Kegel mit Radius und Höhe Überlege dir jetzt, wie gross das arithmetische Mittel dieser beiden Terme ist. Das ist das Volumen der entsprechenden Halbkugel Kontrolliere die drei Volumenformeln auf dem Lösungsblatt, bevor du weiterfährst. Experiment: Überprüfe mit der Waage und einem Massstab die Behauptung folgendermassen: Nimm die halbkugelförmige Schale. Bestimme den inneren Durchmesser auf 1 mm und deren Gewicht auf 1 genau. Fülle die Schale mit Wasser und bestimme durch Wägung das Gewicht bzw. das Volumen des Wassers (1 1 cm3). Berechne das Volumen der Halbkugel mit der vermuteten Formel und vergleiche das Ergebnis mit dem Messwert. MP 9S-01 AB6 Kugelvolumen praktisch.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Mathematisches Praktikum Kugelvolumen Variante 2: Die Praktische Grundlagen: Beschreibung Formel Der Kreisumfang ist proportional zum Durchmesser. Der Proportionalitätsfaktor ist die Kreiszahl 2r Die Kreisfläche wächst mit dem Quadrat des Radius, respektive mit dem Quadrat des Durchmessers. Der Proportionalitätsfaktor ist wieder die Kreiszahl r 2 Entsprechend wächst das Kugelvolumen mit der dritten Potenz des Durchmessers. Wenn es uns gelingt, diese Konstante zu bestimmen, lässt sich das Kugelvolumen aus dem Durchmesser berechnen. 4 d2 d3 Experiment: Bestimme mit einem kleinen physikalischen Experiment die Konstante folgendermassen: Nimm dir eine kleine Stahlkugel. Bestimme mit Hilfe der elektronischen Waage ihr Gewicht auf 1100 -Gramm genau und miss dem Durchmesser der Kugel auf 110 -mm genau. (Verwende dazu die Schublehre.) Die Dichte von Stahl liegt bei 7.8 Daraus lässt sich das Volumen bzw. die cm 3 m . Bestimme den Wert auf Konstante berechnen Î k 3 d3 3 Kommastellen genau und vergleiche den Wert mit der Kreiszahl Was stellst du fest? MP 9S-01 AB6 Kugelvolumen praktisch.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Mathematisches Praktikum Kugelvolumen Variante 3: Die Exakte Grundlagen: Nach dem Satz von Cavalieri (1598-1647) gilt: Wenn zwei Körper die gleiche Höhe und auf jeder Höhe eine gleich grosse Querschnittsfläche haben, so haben sie das gleiche Volumen. Aufgaben 1. Zeige, dass die beiden Schnittflächen gleich gross sind (Pythagoras, Kreisteilberechnungen) 2. Zeige, dass das Volumen der Halbkugel die Differenz der beiden Volumen von Zylinder und Kegel ist. 3. Zeige, dass für das Volumen der Kugel gilt: VKugel MP 9S-01 AB6 Kugelvolumen praktisch.doc; 03.02.2007 4 3 3 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Mathematisches Praktikum Kugelvolumen Variante 4: Die Historische Grundlagen: Archimedes (285-212 v.Chr.) übertrug den Flächenvergleich bei Kreis und Dreieck auf den Volumen-vergleich bei Kugel und Kegel. Er beschrieb den Vergleich in seiner Abhandlung „Über Kugel und Zylinder. „ ist mir der Gedanke gekommen, dass die Oberfläche einer Kugel viermal so gross ist wie deren grösster Kreis, indem ich mir vorgestellt habe, dass, wie ein Kreis einem Dreieck gleich ist, dessen Grundlinie der Kreisumfang und dessen Höhe der Kreisradius ist, ebenso die Kugel einem Kegel gleich ist, dessen Grundfläche die Kugeloberfläche und dessen Höhe der Kugelradius ist. Aufgabe: Übersetze diese Argumentation von Archimedes in einen leichter verständlichen, mit geeigneten Figuren illustrierten Text. MP 9S-01 AB6 Kugelvolumen praktisch.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzaufgaben Kugel Arbeitsblatt 7 Löse die folgenden Aufgaben sauber ins Heft. Du kannst selber die Aufgaben auswählen. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben ist mit den Sternchen angegeben (* einfach; ** mittel; *** schwierig) 1. Berechne die fehlenden Stücke einer Kugel. Runde auf 2 Kommastellen. [cm] 1 10 2. Berechne die fehlenden Stücke einer Kugel. Runde sinnvoll. ** [cm3] 20 1 3. 4. Welche mittlere Dichte hat ein Golfball von 13 cm Umfang und 46 Gewicht? Welche mittlere Dichte hat die Erde, wenn man den Radius mit 6 370 km und das Gewicht mit 6 1024 kg annimmt? Löse die Aufgabe ohne Mathlexikon als Repetition für dich. Stelle für die Kugel eine Formel auf, mit der man aus dem Durchmesser 5. ** das Volumen berechnen kann. die Oberfläche berechnen kann. Eine Seifenblase mit Aussendurchmesser 8 cm ist aus einem SeifenlösungsTropfen mit Volumen 2 ml 2 cm3 geblasen worden. Wie dick ist dann die Blasenwand? [Du kannst die Aufgabe mit der Näherungsformel bestimmen. Dicke der Blasenwand)] MP 9S-01 AB7 Zusatzaufgaben Kugel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzaufgaben Kugel 6. ** Arbeitsblatt 7 Ein Wasserspeicher in einem Mehrfamilienhaus hat die Form eines Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel. Sein Innendurchmesser misst 2 m, die Gesamthöhe beträgt 3 m. Wie viele Liter Wasser fasst der Speicher? 7. Die Oberfläche eines Zylinders mit Standkreisradius ist gleich gross wie die Oberfläche einer Kugel mit dem gleichen Radius r. ** Welcher Körper hat das grössere Volumen? Berechne beide Volumen. MP 9S-01 AB7 Zusatzaufgaben Kugel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzaufgaben Kugel 8. Arbeitsblatt 7 Ein Tropfen Öl mit dem Volumen 1 100 mm3 breitet sich auf einer ** Wasseroberfläche zu einem kreisförmigen Fleck mit 13 cm (!) Durchmesser aus. Berechne die Dicke dieses Fleckes (Zylinderhöhe) [Bemerkung: Das Resultat ist der Durchmesser der Ölmoleküle.] 9. Wie gross ist der Abstand (benachbarte Meridiane) ** * zweier benachbarter Längengrad-Kreise auf Äquatorhöhe? in 60 nördlicher Breite? Der Erdumfang am Äquator beträgt rund 40 000 km. MP 9S-01 AB7 Zusatzaufgaben Kugel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzaufgaben Kugel 10. *** Arbeitsblatt 7 Wie lang ist der kürzeste Weg von einem Punkt auf dem Breitenkreis 60 Nord zum Nordpol? Wie viele Längengrade () würden mit dieser Distanz überquert, wenn man gleich weit auf dem 60-Breitenkreis wandern würde? MP 9S-01 AB7 Zusatzaufgaben Kugel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzaufgaben Kugel Arbeitsblatt 7 Löse die folgenden Aufgaben sauber ins Heft. Du kannst selber die Aufgaben auswählen. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben ist mit den Sternchen angegeben (* einfach; ** mittel; *** schwierig) 1. Berechne die fehlenden Stücke einer Kugel. Runde auf 2 Kommastellen. 2. [cm] 1 2 cm 4.19 cm3 12.57 cm2 10 20 cm 4.19 dm3 12.57 dm2 Berechne die fehlenden Stücke einer Kugel. Runde sinnvoll. ** 3 15 2.47 cm 0.62 cm 3. ** 1.24 cm 1 76.4 cm2 4.8 cm2 2.07 cm 37.1 cm3 Vm 1.24 cm 3 Vm 5541.7 kg m3 Stelle für die Kugel eine Formel auf, mit der man aus dem Durchmesser A 5. 20 Welche mittlere Dichte hat die Erde, wenn man den Radius mit 6 370 km und das Gewicht mit 6 1024 kg annimmt? 1.081021 m3 4. 4.9 cm Welche mittlere Dichte hat ein Golfball von 13 cm Umfang und 46 Gewicht? 46 B [cm3] das Volumen berechnen kann. V die Oberfläche berechnen kann. d 2 6 d3 Eine Seifenblase mit Aussendurchmesser 8 cm ist aus einem SeifenlösungsTropfen mit Volumen 2 ml 2 cm3 geblasen worden. Wie dick ist dann die Blasenwand? VSÎV/S 2 cm3 200 cm2 1 100 cm 1 10 mm MP 9S-01 AB7L Zusatzaufgaben Kugel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzaufgaben Kugel 6. ** Arbeitsblatt 7 Ein Wasserspeicher in einem Mehrfamilienhaus hat die Form eines Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel. Sein Innendurchmesser misst 2 m, die Gesamthöhe beträgt 3 m. Wie viele Liter Wasser fasst der Speicher? Zylinder: 6.28 m3 Halbkugel: 2.09 m3 Vtot 8.37 m3 8400 7. Die Oberfläche eines Zylinders mit Standkreisradius ist gleich gross wie die Oberfläche einer Kugel mit dem gleichen Radius r. ** Welcher Körper hat das grössere Volumen? Berechne beide Volumen. Bei gleicher Oberfläche und gleichem Radius ist die Höhe des Zylinders auch ! Daraus ergeben sich folgende Volumen: 4 VK r 3 3 8. VZ r 3 Kugel ist grösser als Zylinder Ein Tropfen Öl mit dem Volumen 1 100 mm3 breitet sich auf einer *** Wasseroberfläche zu einem kreisförmigen Fleck mit 13 cm (!) Durchmesser aus. Berechne die Dicke dieses Fleckes (Zylinderhöhe) [Bemerkung: Das Resultat ist der Durchmesser der Ölmoleküle.] 0.00000753 mm 0.753 nm Durchmesser Molekül MP 9S-01 AB7L Zusatzaufgaben Kugel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Zusatzaufgaben Kugel 9. *** Wie gross ist der Abstand (benachbarte Meridiane) Arbeitsblatt 7 zweier auf Äquatorhöhe? 111.1 km in 60 nördlicher Breite? 55.6 km benachbarter Längengrad-Kreise Der Erdumfang am Äquator beträgt rund 40 000 km. 10. *** Wie lang ist der kürzeste Weg von einem Punkt auf dem Breitenkreis 60 Nord zum Nordpol? 3333.3 km Wie viele Längengrade () würden mit dieser Distanz überquert, wenn man gleich weit auf dem 60-Breitenkreis wandern würde? 60 MP 9S-01 AB7L Zusatzaufgaben Kugel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Name: Zusammenfassung geometrischer Körper Arbeitshinweis: 1. 2. 3. 4. * * Arbeitsblatt 8 Löse die folgenden Aufgaben ins Mathematik-Heft. Achte auf die Darstellung. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge gelöst werden. Schwierigkeitsgrad: einfach ** mittel *** schwierig Bei einer quadratischen Pyramide sind alle Kanten gleich lang, nämlich 25 cm. Berechne die Oberfläche, die Mantelfläche und das Volumen der Pyramide. Bei einem Kegel ist der Umfang der Grundfläche gleich gross wie die Mantellinie, nämlich 25 cm. Berechne die Oberfläche, die Mantelfläche und das Volumen des Kegels Berechne die Oberfläche und das Volumen eines Fussballes. 12.5 cm Eine dreiseitige Pyramide, deren Kanten alle gleich lang sind, heisst Tetraeder. a) Gib an, wie man die Höhe aus der Kantenlänge berechnet. b) Gib an, wie man das Volumen aus der Kantenlänge berechnet. c) Berechne das Volumen eines Tetraeders mit Kantenlänge 8 cm. 5. * Eine Kugel wird in einen möglichst kleinen zylinderförmigen Karton verpackt. a) Erstelle eine Skizze b) Vergleiche die Kugeloberfläche mit der Mantelfläche des Zylinders. c) Weshalb kann man mit einem Papier von der Grösse der Mantelfläche die Kugel nicht vollständig einwickeln? 6. * Wie schwer ist ein Aluminiumkegel mit folgenden Massen: 5 cm; 4 cm; Al 2.7 kg dm3 7. 8. * * Eine Holzkugel ist 850 kg schwer. Die Dichte von Holz beträgt Holz 0.89 kg dm 3 Berechne den Radius und die Oberfläche dieser Kugel. Eine Kugel mit Radius 8 cm wiegt 16 kg a) Wie schwer ist eine Kugel aus dem gleichen Material, welche einen doppelt so grossen Radius besitzt? b) Wie schwer ist eine Kugel mit halb so grossem Radius? c) Wie schwer ist eine Kugel mit 10 mal so grossem Radius? d) Wie schwer ist eine Kugel mit 10 mal kleinerem Radius? MP 9S-01 AB8 Gesamtaufgaben.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Zusammenfassung geometrischer Körper 9. Berechne von folgenden Kugeln das Volumen und die Oberfläche. a.) 5 cm d.) 12 cm 10. * Arbeitsblatt 8 b.) 30 cm e.) 48 cm c.) 35 cm f.) 96 cm Die Erdkruste. Bei einem mittleren Erdradius von 6370 km misst die Dicke der festen Kruste durchschnittlich 30 km. a.) Berechne das Volumen der Erdkruste in km3 und als Bruchteil des Erdvolumens. b.) Welche Dicke müsste die Schale eines Apfels mit 4 cm Radius haben, wenn sie in der Dicke der Erdkruste entspräche? 11. a.) Eisenkugeln zum Stossen für Schüler/innen (Dichte 7,8 kg/dm3) haben einen Umfang von 31.4 cm. Welches Gewicht haben sie? b.) 80g-Weitwurf-Bälle weisen einen Durchmesser von 6 cm auf. Wie gross ist die Dichte? c.) Gymnastikbälle aus Kunststoff mit 80 cm Umfang wiegen 120 g. Ihre Wandstärke beträgt 5 mm. Welche Dichte weist der verwendete Kunststoff auf? d.) An einem Dorfturnier wird ein 15 kg schwerer kugelförmiger Stein mit der Dichte 2,5 kg/dm3 gestossen. Welchem Durchmesser entspricht das? e.) Welchen Durchmesser hätte eine Styroporkugel (Dichte 0,02 kg/dm3) von 6,25 kg Gewicht. 12. * * Gegeben ist der nebenstehende Körper, ein Senkblei. Er besteht aus einer Halbkugel, einem Zylinder und einem Kegel. Welche Oberfläche und welches Volumen besitzt das Senkblei. Radius der Halbkugel beträgt r3 cm. Du kannst die Aufgabe auch algebraisch lösen, ohne Einsetzen der Zahlen. Dies ergibt Zusatzpunkte. 2r MP 9S-01 AB8 Gesamtaufgaben.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Zusammenfassung geometrischer Körper Arbeitshinweis: 1. 2. Name: Lösungen Arbeitsblatt 8 Löse die folgenden Aufgaben ins Mathematik-Heft. Achte auf die Darstellung. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge gelöst werden. Schwierigkeitsgrad: einfach ** mittel *** schwierig Bei einer quadratischen Pyramide sind alle Kanten gleich lang, nämlich 25 cm. Berechne die Oberfläche, die Mantelfläche und das Volumen der Pyramide. 17.68 cm M 1082 cm2 S 1707 cm2 V 3682.85 cm3 Bei einem Kegel ist der Umfang der Grundfläche gleich gross wie die Mantellinie, nämlich 25 cm. Berechne die Oberfläche, die Mantelfläche und das Volumen des Kegels. 3.98 cm M 312.5 cm2 S 362.26 cm2 V 409.4 cm3 3. Berechne die Oberfläche und das Volumen eines Fussballes. 12.5 cm 1963.5 cm2 V 8181.23 cm3 8.2 4. * Eine dreiseitige Pyramide, deren Kanten alle gleich lang sind, heisst Tetraeder. a) Gib an, wie man die Höhe aus der Kantenlänge berechnet. 2 3 a3 3 2 c) Berechne Volumen eines Tetraeders mit Kantenlänge 8 cm. 120.68 cm3 b) Gib an, wie man das Volumen aus der Kantenlänge berechnet. 5. * Eine Kugel wird in einen möglichst kleinen zylinderförmigen Karton verpackt. a) Erstelle eine Skizze b) Die Kugeloberfläche und die Mantelfläche des Zylinders sind gleich gross. c) Weshalb kann man mit einem Papier von der Grösse der Mantelfläche die Kugel nicht vollständig einwickeln? Weil wir es nicht schaffen, eine ebene Fläche auf eine gewölbte Fläche zu legen, ohne dass es Rümpfe gibt. 6. 7. * Wie schwer ist ein Aluminiumkegel mit folgenden Massen: * Eine Holzkugel ist 850 kg schwer. Die Dichte von Holz beträgt Holz 0.89 kg dm 3 5 cm; 4 cm; Al 2.7 kg dm3 104.72 cm3 m 282.74 Berechne den Radius und die Oberfläche dieser Kugel. 955 dm3 r 61 cm 469 dm2 8. * Eine Kugel mit Radius 8 cm wiegt 16 kg a) Wie schwer ist eine Kugel aus dem gleichen Material, welche einen doppelt so grossen Radius besitzt? 128 kg b) Wie schwer ist eine Kugel mit halb so grossem Radius? 2 kg c) Wie schwer ist eine Kugel mit 10 mal so grossem Radius? 16 d) Wie schwer ist eine Kugel mit 10 mal kleinerem Radius? 16 MP 9S-01 AB8L Gesamtaufgaben.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Lösungen Arbeitsblatt 8 Zusammenfassung geometrischer Körper 9. Berechne von folgenden Kugeln das Volumen und die Oberfläche. 2 [cm V [cm3] 10. * 5 cm 314.16 523.6 30 cm 11309.7 113100 35 cm 15394 179600 12 cm 452.4 904.8 48 cm 7238.2 57906 96 cm 28953 463250 Die Erdkruste. Bei einem mittleren Erdradius von 6370 km misst die Dicke der festen Kruste durchschnittlich 30 km. a.) Berechne das Volumen der Erdkruste in km3 und als Bruchteil des Erdvolumens. 1.531019 m3 1.4 des Erdvolumens. b.) Welche Dicke müsste die Schale eines Apfels mit 4 cm Radius haben, wenn sie in der Dicke der Erdkruste entspräche? Dicke 0.18 mm 11. a.) Eisenkugeln zum Stossen für Schüler/innen (Dichte 7,8 kg/dm3) haben einen Umfang von 31.4 cm. Welches Gewicht haben sie? 4084 b.) 80g-Weitwurf-Bälle weisen einen Durchmesser von 6 cm auf. Wie gross ist die Dichte? 0.71 cm 3 c.) Gymnastikbälle aus Kunststoff mit 80 cm Umfang wiegen 120 g. Ihre Wandstärke beträgt 5 mm. Welche Dichte weist der verwendete Kunststoff auf? 0.11 cm3 d.) An einem Dorfturnier wird ein 15 kg schwerer kugelförmiger Stein mit der Dichte 2,5 kg/dm3 gestossen. Welchem Durchmesser entspricht das? d31 cm e.) Welchen Durchmesser hätte eine Styroporkugel (Dichte 0,02 kg/dm3) von 6,25 kg Gewicht. 8.4 dm 12. * * Gegeben ist der nebenstehende Körper, ein Senkblei. Er besteht aus einer Halbkugel, einem Zylinder und einem Kegel. Welche Oberfläche und welches Volumen besitzt das Senkblei. Radius der Halbkugel beträgt r3 cm. Du kannst die Aufgabe auch algebraisch lösen, ohne Einsetzen der Zahlen. Dies ergibt Zusatzpunkte. V 7 3 198 cm3 3 2r 2 4 5 r 176.3 cm2 MP 9S-01 AB8L Gesamtaufgaben.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Geometrische Körper Bemerkungen: Lernzielkontrolle 2 Die zu erreichende Punktzahl ist hinter jeder Aufgabe vermerkt. Es sind grundsätzlich alle Aufgaben zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte müssen ersichtlich sein. Der Lösungsweg ist sauber darzustellen und wird mitbewertet. Wenn nichts anderes gesagt wird, sind Taschenrechner und Theorieheft als Hilfsmittel erlaubt. Es ist mit Tinte oder Kugelschreiber zu schreiben. Beurteilung: Max. Punkte Testergebnis: 22 11 Punkte 22 33 Punkte Lösungsweg: Punkte für Note 4: 11 22 Punkte Gesamtpunkte: 33 Note: Nr. Aufgabe Pkt 1. 6/3 Ein Kirchturm besteht aus einem Quader und einer aufgesetzten, quadratischen Pyramide. Die Angaben sind in angegeben. Die Gesamthöhe des Turmes beträgt 40 a) Berechne das Volumen des Kirchturmes in m3. b) Das Kirchendach (Pyramide) soll mit neuen Ziegeln belegt werden. Wie viele m2 Ziegel müssen bestellt werden c) Die Mauer des Kirchenturmes (ohne Dach) soll auch noch neu gestrichen werden. Wie viele m2 des Turmes erhalten eine neue Farbe, wenn wir annehmen, dass es keine Fenster oder Türen hat. 2. Gegeben ist eine quadratische Pyramide, bei welcher alle Kanten 10 cm messen. Die Dichte beträgt 7.8 kg/dm3 25 5 5 6/3 a.) Wie gross ist die Seitenhöhe hs? b.) Wie gross ist die Mantelfläche? c.) Wie hoch ist die Pyramide? d.) Welches Volumen hat die Pyramide? e.) Wie schwer ist die Pyramide? f.) Wie schwer ist eine Pyramide, welche doppelt so lange Kanten aufweist? MP 9S-01 ST2 Geometrische Körper.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Geometrische Körper 3. Lernzielkontrolle 2 2/1 Eine Billardkugel besteht aus Elfenbein. Ihre Masse beträgt 120 Die Dichte von Elfenbein ist 1.8 kg dm 3 a) Wie gross ist das Volumen der Kugel? b) Wie gross Kugel? 4. ist der Durchmesser der In einem kegelförmigen Sektglas gehen genau 2 dl Champagner. Die Höhe misst 7 cm. Wie gross ist der Durchmesser des Glases? 2/1 a) Wie gross ist das Volumen des Glases? b) Berechne den Durchmesser des Glases 5. Der Körper rechts stellt ein Stehaufmännchen dar. Er besteht aus einer Halbkugel und einem darauf stehenden Kegel. Der Radius der Halbkugel stimmt mit dem Radius und der Höhe des Kegels überein. a) Beschreibe mit einem Volumen des Körpers. Term das b) Beschreibe mit einem Oberfläche des Körpers. Term die 6/3 c) Berechne mit Hilfe der gefundenen Terme das Volumen und die Oberfläche für 4 cm. d) Diese Körper bestehen hauptsächlich aus Aluminium. Aluminium weist eine Dichte von 2.7 kg dm 3 auf. Berechne das Gewicht dieses Körpers. MP 9S-01 ST2 Geometrische Körper.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Geometrische Körper Bemerkungen: Lernzielkontrolle 2 Die zu erreichende Punktzahl ist hinter jeder Aufgabe vermerkt. Es sind grundsätzlich alle Aufgaben zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte müssen ersichtlich sein. Der Lösungsweg ist sauber darzustellen und wird mitbewertet. Wenn nichts anderes gesagt wird, sind Taschenrechner und Theorieheft als Hilfsmittel erlaubt. Es ist mit Tinte oder Kugelschreiber zu schreiben. Beurteilung: Max. Punkte Testergebnis: 22 11 Punkte 22 33 Punkte Lösungsweg: Punkte für Note 4: 11 22 Punkte Gesamtpunkte: 33 Note: Nr. Aufgabe Pkt 1. 6/3 Ein Kirchturm besteht aus einem Quader und einer aufgesetzten, quadratischen Pyramide. Die Angaben sind in angegeben. Die Gesamthöhe des Turmes beträgt 40 a) Berechne das Volumen des Kirchturmes in m3. 625 m3 125 m3 750 m3 b) Das Kirchendach (Pyramide) soll mit neuen Ziegeln belegt werden. Wie viele m2 müssen bestellt werden? 152 m2 c) Die Mauer des Kirchenturmes (ohne Dach) soll auch noch neu gestrichen werden. Wie viele m2 des Turmes erhalten eine neue Farbe, wenn wir annehmen, dass es keine Fenster oder Türen hat. 500 m2 2. Gegeben ist eine quadratische Pyramide, bei welcher alle Kanten 10 cm messen. Die Dichte beträgt 7.8 kg/dm3 25 5 5 6/3 a.) Wie gross ist hs? hs 8.66 cm b.) Wie gross ist M? 173.2 cm2 c.) Wie hoch ist die Pyramide? 7.07 cm d.) Welches hat die Pyr.? 235.7 cm3 e.) Wie schwer? 1838 f.) Wie schwer ist eine Pyramide, welche doppelt so lange K. aufweist? 14.7 kg MP 9S-01 ST2L Geometrische Körper Lösungen.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Geometrische Körper 3. Lernzielkontrolle 2 2/1 Eine Billardkugel besteht aus Elfenbein. Ihre Masse beträgt 120 Die Dichte von Elfenbein ist 1.8 kg dm3 a) Wie gross ist das Volumen der Kugel? 66.67 cm3 b) Wie gross Kugel? ist der Durchmesser der 5.03 cm 4. In einem kegelförmigen Sektglas gehen genau 2 dl Champagner. Die Höhe misst 7 cm. Wie gross ist der Durchmesser des Glases? a) Wie gross ist das Volumen des Glases? 2/1 200 cm3 b) Berechne den Durchmesser des Glases 10.45 cm 5. Der Körper rechts stellt ein Stehaufmännchen dar. Er besteht aus einer Halbkugel und einem darauf stehenden Kegel. Der Radius der Halbkugel stimmt mit dem Radius und der Höhe des Kegels überein. a) Beschreibe mit einem Volumen des Körpers. V Term 6/3 das 2 3 1 3 r 3 201.1 cm3 3 3 b) Beschreibe mit einem Oberfläche des Körpers. Term die 2 2 2 2 (2 2 171.6 cm2 c) Berechne mit Hilfe der gefundenen Terme das Volumen und die Oberfläche für 4 cm. d) Diese Körper bestehen hauptsächlich aus Aluminium. Aluminium weist eine Dichte von 2.7 kg dm 3 auf. Berechne das Gewicht dieses Körpers. 543 MP 9S-01 ST2L Geometrische Körper Lösungen.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Geometrische Körper Bemerkungen: Gesamtlernkontrolle Die zu erreichende Punktzahl ist hinter jeder Aufgabe vermerkt. Es sind grundsätzlich alle Aufgaben zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte müssen ersichtlich sein. Der Lösungsweg ist sauber darzustellen und wird mitbewertet. Wenn nichts anderes gesagt wird, sind Taschenrechner und Theorieheft als Hilfsmittel erlaubt. Es ist mit Tinte oder Kugelschreiber zu schreiben. Beurteilung: Max. Punkte Testergebnis: 24 12 Punkte 24 Punkte für Note 4: Lösungsweg: 12 24 Punkte Gesamtpunkte: 36 Note: Nr. Aufgabe Pkt 1. 6/3 Gegeben ist ein Festzelt mit Massen in Metern. a) Berechne das Volumen in m3 b) Die Zeltwand und das Dach bestehen aus einer Kunststoffplane. Berechne die Oberfläche des Festzeltes. c) Wie viel Plane muss eingekauft werden, wenn für die Überlappungen 10% der Gesamtoberfläche gerechnet werden muss. 2. Gegeben ist eine quadratische Pyramide, bei welcher alle Kanten 8 cm messen. Die Dichte beträgt 2,7 kg/dm3 6/3 a.) Wie gross ist die Mantelfläche? b.) Wie hoch ist die Pyramide? c.) Welches Volumen hat die Pyramide? d.) Wie schwer ist die Pyramide? e.) Wie schwer ist eine Pyramide, welche doppelt so lange Kanten aufweist? MP 9S-01 ST Pyramide, Kegel, Kugel.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Geometrische Körper 3. Gesamtlernkontrolle Drei Körper, eine Kugel, ein Kegel und eine quadratische Pyramide besitzen je das gleiche Volumen. V1 Liter. 6/3 a.) Berechne den Radius der Kugel b.) Berechne den Grundkreisradius des Kegels, wenn die Höhe des Kegels gleich gross ist, wie der Durchmesser der Grundfläche des Kegels. c.) Berechne die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche der Pyramide, wenn die Höhe der Pyramide gleich gross ist, wie die Seitenlänge der Grundfläche. 4. Der Körper rechts stellt ein Senkblei dar. Er besteht aus einer Halbkugel und einem Kegel. Der Radius der Halbkugel stimmt mit dem Radius und der Höhe des Kegels überein. a) Beschreibe mit einem Volumen des Körpers. Term das b) Beschreibe mit einem Oberfläche des Körpers. Term die 6/3 c) Berechne mit Hilfe der gefundenen Terme das Volumen und die Oberfläche für 2 cm. d) Diese Körper bestehen hauptsächlich aus Stahl. Stahl weist eine Dichte von 7.8 kg dm 3 auf. Berechne das Gewicht dieses Körpers. MP 9S-01 ST Pyramide, Kegel, Kugel.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Geometrische Körper Bemerkungen: Gesamtlernkontrolle Die zu erreichende Punktzahl ist hinter jeder Aufgabe vermerkt. Es sind grundsätzlich alle Aufgaben zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte müssen ersichtlich sein. Der Lösungsweg ist sauber darzustellen und wird mitbewertet. Wenn nichts anderes gesagt wird, sind Taschenrechner und Theorieheft als Hilfsmittel erlaubt. Es ist mit Tinte oder Kugelschreiber zu schreiben. Beurteilung: Max. Punkte Testergebnis: 24 12 Punkte 24 Punkte für Note 4: Lösungsweg: 12 24 Punkte Gesamtpunkte: 36 Note: Nr. Aufgabe Pkt 1. 6/3 Gegeben ist ein Festzelt mit Massen in Metern. a) Berechne das Volumen in m3 675 m3 150 m3 825 m3 b) Die Zeltwand und das Dach bestehen aus einer Kunststoffplane. Berechne die Oberfläche des Festzeltes. 180 m2 232 m2 412,8 m2 c) Wie viel Plane muss eingekauft werden, wenn für die Überlappungen 10% der Gesamtoberfläche gerechnet werden muss. Total Einkauf: 413 m2 plus 10% 454 m2 2. Gegeben ist eine quadratische Pyramide, bei welcher alle Kanten 8 cm messen. Die Dichte beträgt 2,7 kg/dm3 6/3 a.) Wie gross ist M? 110.8 cm2 b.) Wie gross ist h? 32 5.66 cm c.) Welches hat die P.? 120.68 cm3 d.) Wie schwer ist die Pyr.? 325.8 e.) Wie schwer ist eine Pyramide, welche doppelt so lange Kanten aufweist? 2606.68 2.6 kg MP 9S-01 STL Pyramide, Kegel, Kugel.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Geometrische Körper 3. Gesamtlernkontrolle Drei Körper, eine Kugel, ein Kegel und eine quadratische Pyramide besitzen je das gleiche Volumen. V1 Liter. a.) Berechne den Radius der Kugel 3 6/3 3 V 6.2 cm 4 b.) Berechne den Grundkreisradius des Kegels, wenn die Höhe des Kegels gleich gross ist, wie der Durchmesser der Grundfläche des Kegels. r 3 3 V 7.82 cm 2 c.) Berechne die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche der Pyramide, wenn die Höhe der Pyramide gleich gross ist, wie die Seitenlänge der Grundfläche. r 4. 3 3 14.42 cm Der Körper rechts stellt ein Senkblei dar. Er besteht aus einer Halbkugel und einem Kegel. Der Radius der Halbkugel stimmt mit dem Radius und der Höhe des Kegels überein. a) Beschreibe mit einem Volumen des Körpers. V Term 6/3 das 2 3 1 3 r 3 25.1 cm3 3 3 b) Beschreibe mit einem Oberfläche des Körpers. Term die 2 2 2 2 (2 2 42.9 cm2 c) Berechne mit Hilfe der gefundenen Terme das Volumen und die Oberfläche für 2 cm. d) Diese Körper bestehen hauptsächlich aus Stahl. Stahl weist eine Dichte von 7.8 kg dm 3 195.78 MP 9S-01 STL Pyramide, Kegel, Kugel.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Pyramide Bemerkungen: Lernzielkontrolle Die zu erreichende Punktzahl ist hinter jeder Aufgabe vermerkt. Es sind grundsätzlich alle Aufgaben zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte müssen ersichtlich sein. Der Lösungsweg ist sauber darzustellen und wird mitbewertet. Wenn nichts anderes gesagt wird, sind Taschenrechner und Theorieheft als Hilfsmittel erlaubt. Es ist mit Tinte oder Kugelschreiber zu schreiben. Beurteilung: Max. Punkte Testergebnis: 24 Punkte 16 Punkte für Note 4: Lösungsweg: /8 Gesamtpunkte: 16 Punkte 24 Note: Pkt Nr. Aufgabe Berechne die fehlenden Angaben der folgenden Pyramide mit quadratischem Boden. 8 cm 3 cm 10 cm hs 13 cm 240 cm2 12 cm 12 MP 9S-01 ZT1 Pyramide.doc; 03.02.2007 1296 cm3 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Pyramide Bemerkungen: Lernzielkontrolle Die zu erreichende Punktzahl ist hinter jeder Aufgabe vermerkt. Es sind grundsätzlich alle Aufgaben zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte müssen ersichtlich sein. Der Lösungsweg ist sauber darzustellen und wird mitbewertet. Wenn nichts anderes gesagt wird, sind Taschenrechner und Theorieheft als Hilfsmittel erlaubt. Es ist mit Tinte oder Kugelschreiber zu schreiben. Beurteilung: Max. Punkte Testergebnis: 24 Punkte 16 Punkte für Note 4: Lösungsweg: /8 Gesamtpunkte: 16 Punkte 24 Note: Pkt Nr. Aufgabe Berechne die fehlenden Angaben der folgenden Pyramide mit quadratischem Boden. hs 8 cm 3 cm 5 cm 80 cm2 144 cm2 64 cm3 10 cm 12 cm 13 cm 260 cm2 360 cm2 400 cm3 12 cm 8 cm 10 cm 240 cm2 384 cm2 384 cm3 18 cm 12 15 cm 540 cm2 864 cm2 1296 cm3 MP 9S-01 ZT1L Pyramide.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Kegel Bemerkungen: Lernzielkontrolle Die zu erreichende Punktzahl ist hinter jeder Aufgabe vermerkt. Es sind grundsätzlich alle Aufgaben zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte müssen ersichtlich sein. Der Lösungsweg ist sauber darzustellen und ist ein wesentlicher Bestandteil der Bewertung. Schlussresultate sind auf max. 2 Kommastellen zu runden, zu unterstreichen und mit Massen zu versehen. Als Hilfsmittel darf der Taschenrechner und das Theorieheft verwendet werden. Es ist mit Tinte oder Kugelschreiber zu schreiben. Beurteilung: Max. Punkte Testergebnis: 12 12 Pkte 12 Punkte für Note 4: Lösungsweg: 12 Gesamtpunkte: 18 Punkte 24 Note: Pkt Nr. Aufgabe 1. Berechne das Volumen und die Mantelfläche eines Kegels mit folgenden 3 3 Ausmassen. Höhe 10 cm. Grundkreisradius 3 cm. Skizziere den Kegel und schreibe die entsprechenden Grössen in deine Skizze. 2. Aus einem Kreissektor mit den angegebenen Massen (s5 cm; 200) 3 3 wird ein Kegel geformt. Wie gross sind Mantelfläche und Volumen? Erstelle eine Skizze und beschrifte sie. 3. Ein Kegel hat das Volumen V380 m3. Der Radius des Grundkreises 3 3 beträgt 5 m. a) Berechne seine Höhe b) Berechne seine Mantellinie c) Berechne seine Mantelfläche 4. Der Böschungswinkel eines Kegels ist der Winkel zwischen einer 3 3 Mantellinie und der Grundfläche. Der Böschungswinkel eines Kegels beträgt 45. Welches Volumen hat der Kegel, wenn der Umfang des Grundkreises 20 beträgt? MP 9S-01 ZT2 Kegel.doc; 03.02.2007 Sekundarschule Ringgenberg; ms 1. Mathplan 9 Name: Lernzielkontrolle Kugel Bemerkungen: Die zu erreichende Punktzahl ist hinter jeder Aufgabe vermerkt. Es sind grundsätzlich alle Aufgaben zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte müssen ersichtlich sein. Der Lösungsweg ist sauber darzustellen und wird mitbewertet. Wenn nichts anderes gesagt wird, sind Taschenrechner und Theorieheft als Hilfsmittel erlaubt. Es ist mit Tinte oder Kugelschreiber zu schreiben. Beurteilung: Max. Punkte 18 Punkte Testergebnis: 11 Punkte für Note 4: Lösungsweg: /7 12 Punkte Gesamtpunkte: 18 Note: Pkt Nr. Aufgabe 1. Eine Kugel besitzt einen Radius von 5 cm. Berechne die Oberfläche 2 1 und das Volumen der Kugel. 2. Eine Kugel besitzt einen Aussendurchmesser von 1 m. Welche Oberfläche 3 2 und welches Volumen besitzt die Kugel? Wie schwer ist die Kugel, wenn sie aus Beton ist? Dichte von Beton: Beton 2.8 kg dm 3 3. Die Oberfläche einer Kugel ist 250 cm2 gross. Wie gross sind ihr 3 2 Radius und ihr Volumen? 4. Das Volumen einer Kugel beträgt 265 cm3. Wie gross sind Radius und 3 2 die Oberfläche dieser Kugel? MP 9S-01 ZT3 Kugel.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st 1. Mathplan 9 Name: Lernzielkontrolle Kugel Bemerkungen: Die zu erreichende Punktzahl ist hinter jeder Aufgabe vermerkt. Es sind grundsätzlich alle Aufgaben zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte müssen ersichtlich sein. Der Lösungsweg ist sauber darzustellen und wird mitbewertet. Wenn nichts anderes gesagt wird, sind Taschenrechner und Theorieheft als Hilfsmittel erlaubt. Es ist mit Tinte oder Kugelschreiber zu schreiben. Beurteilung: Max. Punkte 18 Punkte Testergebnis: 11 Punkte für Note 4: Lösungsweg: /7 12 Punkte Gesamtpunkte: 18 Note: Pkt Nr. Aufgabe 1. Eine Kugel besitzt einen Radius von 5 cm. Berechne die Oberfläche 2 1 523.60 cm3 und das Volumen der Kugel. 314.16 cm2 2. Eine Kugel besitzt einen Aussendurchmesser von 1 m. Welche Oberfläche 3 2 und welches Volumen besitzt die Kugel? 3.14 m2 0.52 m3 Wie schwer ist die Kugel, wenn sie aus Beton ist? Dichte von Beton: Beton 2.8 kg dm 3 m 1.466 3. Die Oberfläche einer Kugel ist 250 cm2 gross. Wie gross sind ihr 3 2 Radius und ihr Volumen? 4.46 cm 371.69 cm3 4. Das Volumen einer Kugel beträgt 265 cm3. Wie gross sind Radius und 3 2 199.52 cm2 die Oberfläche dieser Kugel? 3.98 cm 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MP 9S-01 ZT3L Kugel.doc; 03.02.2007 Schule Ringgenberg, Sek-Stufe 1; st