Arbeitsblatt: Mathematische Würfelspiele

Interkantonale Hochschule für Heilpädagogik Departement 1/ Schulische Heilpädagogik 2007/10 Auszug der Master-Arbeit Mathematische Lernspiele Vier didaktisch analysierte Würfelspiele Autorinnen: Catherine Niedermann Renate Schoch Niessner Vier Didaktische Inhaltsanalysen In diesem Teil werden vier mathematische Lernspiele vorgestellt und didaktisch analysiert. Alle Lernspiele gehören unter die Kategorie Würfelspiele und sind Übungsspiele. Zur den vier Grundideen des Zahlenbuchs (Kapitel 7) wurde je ein Würfelspiel ausgewählt, das in verschiedenen Spielvarianten gespielt werden kann. Diese können so ausgewählt und gestaltet werden, dass die Spielanforderungen angemessene Entwicklungsreize für alle mitspielenden Schüler bieten. Anpassungen können durch die Würfel, die Regeln, die Spielpläne, das Spielverhalten der Mitspieler oder durch Zieländerungen vorgenommen werden. Gespielt wird mit dem Spielwürfel und dem Schulwürfel, der die Ziffern 0-9, plus einen Joker aufweist. Beim ersten Kennenlernen eines der Würfelspiele sollte die Lehrperson die Schüler begleiten. Optimal wäre es, wenn sie das Spiel exemplarisch mit ihnen durchführen könnte. Beim wiederholten Gebrauch, sollen die Schüler dann versuchen, die Regeln selbstständig herzuleiten. Unterrichtliche Zugänglichkeit Die unterrichtliche Zugänglichkeit ist wie im Kapitel 2.4 erklärt wird, eine der fünf Hauptfragen, auf die die Didaktische Inhaltsanalyse nach Berner (1999, S. 78f) eingeht. Die methodische Einbettung in den Unterricht betrifft alle vier Würfelspiele gleichermassen, deshalb werden nun zwei Beispiele zur Unterrichtsgestaltung vorgestellt: Die Würfelspiele können optimal losgelöst von anderen Übungen in den Wochenplan eingebaut werden. Wenn das Lernspiel bereits bekannt ist (vielleicht vom vorgängigen Schuljahr) wird keine Einführung benötigt. Ist das nicht der Fall, sollte es zuerst der ganzen Klasse oder einzelnen Gruppen vorgestellt werden. Die Lehrperson kann dabei Erklärungen zur Handhabung der Regeln einfliessen lassen. Es empfiehlt sich, vorerst nur eine Spielvariante einzuführen und exemplarisch durchzuspielen. Die Schüler können später weitere Spielvarianten nachlesen und auswählen. In der Wochenplanarbeit bestimmen sie üblicherweise selbst, mit wem sie zusammen arbeiten, beziehungsweise spielen wollen. Die Gruppen können also bunt durchmischt sein. Das muss jedoch kein Nachteil sein, denn schwächere Mathematikschüler können von den Rechenstrategien der stärkeren profitieren und schlussendlich entscheidet sowieso das Spielglück! Eine andere Möglichkeit, die Würfelspiele in den Unterricht zu integrieren, ist die, dass die Lehrperson die Klasse ins Lernspiel einführt, dann Niveaugruppen bildet und je nach dem die Spielvariante vorgibt. Schwächere Schüler können so mit einer einfachen Spielvariante beginnen, während sich leistungsstärkere Schüler bereits einer anspruchsvolleren Spielvariante widmen. Die Lehrperson rotiert von Gruppe zu Gruppe, aktiviert die Schüler für den gegenseitigen Austausch und klärt allfällige Fragen. Wenn möglich soll sie sich hin und wieder ganz zurückziehen und unauffällig als Beobachterin agieren. Schüler reagieren nämlich in der Anwesenheit von Erwachsenen oft anders, als wenn sie unter sich alleine sind. Zum Abschluss einer Spielsequenz könnte ein Austausch stattfinden, in dem die Spielgruppen einander mitteilen, wie es ihnen mit dem Lernspiel ergangen ist. So können Einsichten, aber auch Probleme miteinander diskutiert werden. Aufbau der Didaktischen Inhaltsanalysen Die vier Würfelspiele werden zuerst genau beschrieben. Dieser Ablauf bleibt bei allen Würfelspielen fast gleich: Übungsinhalt Spielmaterial Anzahl Spieler Ziel des Lernspiels Allgemeine Spielregeln Spielablauf Im Anschluss an die Spielbeschreibung werden verschiedene Spielvarianten vorgestellt und mögliche Spielstrategien aufgezeigt. Danach werden die Würfelspiele in einen grösseren mathematischen Zusammenhang gestellt. Wie schon im Kapitel 2.4 erwähnt wird, steht die Struktur des Inhalts im Zentrum der Didaktischen Inhaltsanalysen dieser Arbeit. Folgende Themen werden bearbeitet: Mathematische Inhalte werden mit den Lernzielen begründet. Es wird geklärt, welche mathematischen Inhalte für die Durchführung der Würfelspiele vorausgesetzt werden. Die Inhalte der Würfelspiele werden mittels Theorie in einen grösseren mathematischen Zusammenhang gebracht. Differenzierungsmöglichkeiten werden aufgezeigt. Es wird aufgezeigt, welche Rolle die Interaktion spielt. Mögliche Stolpersteine werden erläutert. „Hausnummern Mit dem Titel „Hausnummern können sich Schüler und Lehrpersonen sofort identifizieren. Die Fragen, warum Häuser mit einer Zahl beschriftet werden und mit welcher Hausnummer das Zuhause der Schüler gekennzeichnet ist, bieten eine wunderbare Diskussionsgrundlage zur Einführung dieses Würfelspiels. Das Würfelspiel „Hausnummern wird auch Stellenwertspiel genannt. Es ist in verschiedenen Quellen zu finden, zum Beispiel Abbildung 1: Hausnummer im „Rechenspass mit dem Schulwürfel von Barbara Stähle (1997, S. 110) oder im „Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen von Radatz und Schipper (1983, S. 184). Übungsinhalt In allen Spielvarianten müssen im Stellenwertsystem nach bestimmten Kriterien Zahlen gebildet werden. Dabei werden die Bedeutung der Stellenwerte und das Vorstellungsvermögen des Zahlenraums vertieft. Spielmaterial Das Wichtigste für dieses Spiel sind die Schulwürfel, auf denen die Ziffern 0-9 stehen. Es ist vorteilhaft, unterschiedlich farbige Würfel zu verwenden. Zusätzlich befindet sich auf diesen Würfeln ein Symbol in Form einer Krone. Dieses kann als „Joker in Funktion treten, wobei eine Ziffer frei gewählt werden darf. Um die Gewinnpunkte irgendwo festzuhalten, kann es hilfreich sein, einen Stift und ein Notizpapier bereitzulegen. Unterstützend könnten zudem die Stellenwerttabelle, der Zahlenstrahl oder die Hunderterplatten, Zehnerstäbchen und Einerwürfel eingesetzt werden. Anzahl Spieler Dieses Würfelspiel eignet sich für zwei bis vier Spieler. Ziel des Lernspiels Das Ziel des Lernspiels „Hausnummern kann unterschiedlich aussehen; eine möglichst grosse, eine möglichst kleine Hausnummer oder eine eigens definierte Hausnummer. Die Spieler bilden mit dem Stellenwertwürfel Zahlen, die möglichst nahe an die Zielhausnummer herankommen. Allgemeine Spielregeln Im Lernspiel „Hausnummern wird jede erwürfelte Ziffer einem Stellenwert zugewiesen. Dabei sind bestimmte Regeln einzuhalten. Nachdem alle Spieler ihre Zahlen gebildet haben, werden diese schlussendlich miteinander verglichen und der Rundensieger wird ausgemacht. Es können beliebig viele Spielrunden gespielt werden. Der Spieler, der am Ende der Spielsequenz am meisten Spielrunden gewonnen hat, wird zum Gesamtsieger gekürt. Spielablauf Es kann auf unterschiedliche Art und Weise gewürfelt werden. Je nach dem welches Würfelvorgehen gewählt wird, kann es das Lernspiel beeinflussen. Dabei unterscheiden sich die drei Würfelvorgehen vor allem darin, dass die Ziffern zu einem unterschiedlichen Zeitpunkt dem Stellenwert zugeschrieben werden müssen. a) Die Würfel können gleichzeitig oder nacheinander geworfen werden. Die Zahl wird erst gebildet, wenn alle Würfel liegen. b) Die Würfel werden einzeln geworfen und müssen sogleich einem Stellenwert zugeschrieben werden. Beispiel: 1. Wurf: 3 2. Wurf: 8 3 8 3. Wurf: 1 3 8 1 3 c) Die Würfel werden miteinander geworfen. Es wird ein Würfel ausgewählt und einem Stellenwert zugeordnet. Die restlichen Würfel werden nochmals geschüttelt und geworfen. Wiederum wird ein Würfel herausgepickt usw. Ob die Würfel gleichzeitig oder nacheinander geworfen werden beeinflusst das Spiel nicht, wenn die Zahl erst am Schluss gebildet wird. Wenn jedoch jede erwürfelte Ziffer direkt einem Stellenwert zugeordnet werden muss, spielt der Glücksfaktor eine noch grössere Rolle als so schon. Risikofreudige Schüler würden einer möglichst hohen Zahl wahrscheinlich die Zehner- oder Einerstelle zuschreiben. Eher vorsichtige und zurückhaltende Schüler würden sich vielleicht mit der Ziffer an der Hunderterstelle zufrieden geben. Die Reaktionen hängen unter anderem von der Spielnatur der Schüler ab. Spielvarianten und -strategien In diesem Kapitel werden vier mögliche Spielvarianten erklärt, die sich in ihrer Zielsetzung voneinander unterscheiden. Zuerst werden jeweils die Regeln, gefolgt von einem Beispiel erklärt. Anschliessend folgen Überlegungen zu den Spielstrategien. Spielvariante 1: „Grosse Hausnummer Es wird eine möglichst grosse Hausnummer angestrebt. Die Zahl wird erst gebildet, wenn alle Würfel liegen. Beispiel: Spieler würfelt die Ziffern 4, 0, 9 und bildet die Zahl 940. Spieler würfelt die Ziffern 4, 2, 9 und bildet die Zahl 942. Spieler hat die grössere Zahl erzielt und somit gewonnen. Spielstrategie: Um die grösstmögliche Zahl zu erreichen, muss die grösste Ziffer dem grössten Stellenwert zugeschrieben werden. Die Ziffern werden vom grössten zum kleinsten Stellenwert immer kleiner. Spielvariante 2: „Kleine Hausnummer Es wird eine möglichst kleine Hausnummer angestrebt. Die Zahl wird gebildet, wenn alle Würfel liegen. Beispiel: Spieler würfelt die Ziffern 1, 3, 8 und bildet die Zahl 318. Spieler würfelt die Ziffern 0, 3, 7 und bildet die Zahl 307. Spieler hat die kleinere Zahl erzielt und somit gewonnen. Spielstrategie: Um die kleinstmögliche Zahl zu erreichen, wird die kleinste Ziffer dem Hunderter, die zweitkleinste dem Zehner und die grösste dem Einer zugeschrieben. Würfelt ein Spieler eine Null, kann er sie an die grösste Stelle setzen, damit ein Stellenwert wegfällt. Wenn durch die Ziffer 0 kein Stellenwert wegfallen darf, rutscht sie einen Stellenwert hinunter. Spielvariante 3: „Hausnummer Für diese Spielvariante wird im Voraus in der Spielgruppe oder von der Lehrperson eine beliebige Hausnummer bestimmt, die es zu erreichen gilt. Beispiel: In einer Spielgruppe soll die Hausnummer 500 erreicht werden. Spieler würfelt die Ziffern 4, 5, 3. Er bildet die Zahl 453, merkt aber, dass er mit den Ziffern auch eine grössere Zahl als 500 bilden könnte, nämlich 534. In diesem Fall entscheidet sich Spieler für die Zahl 534, weil diese näher bei 500 liegt als 453. Spielstrategie: Die Ziffern 0-9 bekommen eine andere Bedeutung als die, wenn eine möglichst kleine oder grosse Zahl erwürfelt werden soll. Es besteht die Möglichkeit sich von zwei Seiten der Zielzahl anzunähern (siehe Beispiel). Es wird Fälle geben, da ist auf einen Blick klar, welche der beiden Zahlen näher bei der Zielzahl liegt. In anderen Fällen wird man nicht darum herum kommen, die Zahlen genauer miteinander zu vergleichen, zum Beispiel indem man die Differenz ausrechnet. Das gleiche gilt, wenn die Zahlen aller Spieler miteinander verglichen werden, um den Rundensieger auszumachen. 421 500 578 Dieses Beispiel zeigt die Zahlen (421 und 578) von zwei Spielern. Es kann nicht mit blossem Schätzen bestimmt werden, welche der Zahlen näher bei der Zielzahl 500 liegt. Die Differenz muss also genau ausgerechnet werden. Dies kann mittels unterschiedlicher Rechenverfahren erreicht werden: 421 500 oder 500 – 421 500 578 oder 578 – 500 Auf die Rechenverfahren wird hier nicht genauer eingegangen. Sie sind im Lernspiel „Die magische Zahl zentral. Spielvarianten 4: (nur mit sechsflächigem Spielwürfel möglich) In diesem Hausnummernspiel darf oder muss einer der geworfenen Spielwürfel gedreht werden, so dass die gegenüber liegende Fläche zuoberst ist. Zwei sich gegenüberliegende Seiten ergänzen sich stets zu sieben. Es kann eine möglichst grosse oder kleine Zahl angestrebt werden. Beispiel: Spieler würfelt die Ziffern 1, 1, 2. Die grösstmögliche Hausnummer, die er bilden kann, ist 211. Mit dieser Zahl stehen die Chancen für einen Sieg schlecht. Er dreht daher die Ziffer 1 um und erreicht damit die Ziffer 6. Seine neue Zahl heisst nun 621. Spielstrategie: Da mit dem sechsflächigen Spielwürfeln gespielt wird, ist die kleinstmögliche Zahl, die erreicht werden kann 111 und die grösstmögliche 666. Das Wissen darüber, dass die Augenzahl von zwei sich gegenüberliegende Seiten immer sieben ergibt, ist Voraussetzung, damit diese Spielvariante überhaupt gespielt werden kann. Um eine möglichst grosse Hausnummer zu erzielen, wird also die kleinste Ziffer umgedreht, um eine möglichst kleine zu erreichen, die grösste. Mathematische Ziele und Inhalte In diesem Kapitel wird aufgezeigt, welche Lernziele des Zürcher Lehrplans (2000, S.261) mit dem Würfelspiel „Hausnummern verfolgt werden und welche allgemeinen mathematischen Ziele in Bezug auf Wittmann (Kapitel 7.2) aufgegriffen werden. Lehrplan Diese Inhalte werden aufgegriffen: 1) Mengen/Eigenschaften von Zahlen: Die Mengenbildung nach einem bis drei Merkmalen Ordnen von Objekten nach Beziehungseigenschaften: Gleich, grösser, kleiner, weniger, mehr, gleich viel Diese Inhalte müssen durchgearbeitet werden: 2) Zahlenschreibweise und –systeme: Stellenwerte benennen: Einer (E), Zehner (Z), Hunderter (H), Tausender (T) Zahlen lesen und dem Wert nach ordnen Wird in Spielvariante 3 bereits mit den Zahlen operiert, können weitere Lernziele ins Zentrum rücken: Handlungen, die zur Addition führen: Hinzufügen Handlungen, die zu Subtraktion führen: Wegnehmen Operationszeichen / (wenn die Rechnung aufgeschrieben wird) Kopfrechnen: Im Rahmen des eingeführten Zahlenbereichs additive Grundoperationen durchführen. Ein weiteres Lernziel, das aufgegriffen wird, bezieht sich auf visuelle Hilfsmittel: Veranschaulichungen für Zahlen: Zahlenbilder, Zahlentafel, Zahlenstrahl, strukturiertes Material Lernziele und Inhalte nach Wittmann Mit dem Würfelspiel „Hausnummern vertiefen die Schüler Grundwissen und Grundtechniken im Bereich Stellenwertsystem und Zahlenraum. Sie lernen bildliche Darstellungen wie die Stellenwerttafel einzusetzen und in der Fachsprache die Begriffe „Ziffern und „Zahlen korrekt anzuwenden. Das Ordnen von Ziffern und das Konstruieren von Zahlen sind wichtige Aspekte der Inhalte. Bezüglich der kognitiven Strategien nach Wittmann (2009, S. 53) lernen die Schüler zu argumentieren. Zentral ist das Einhalten von Regeln und Vereinbarungen. Die Lehrperson soll die Schüler dazu anhalten, ihre Entscheidungen zu begründen. Das Diskutieren und Interpretieren von Lösungen wird nicht implizit eingeübt, kann aber spontan Inhalt des Lernspiels werden. Mathematische Inhalte – Voraussetzungen Ganz wichtig zur Betrachtung von Stellenwerten ist die Unterscheidung von Zahlen und Ziffern. Es sind zehn Ziffern bekannt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Mit diesen Ziffern kann man alle Zahlen bilden. Für das Würfelspiel „Hausnummern wird vorausgesetzt, dass die Schüler die Ziffern 0 – 9 kennen, das Stellenwertprinzip verstehen und den Zahlenraum bereits erarbeitet haben. Zahlenraumerweiterung Im methodischen Vorgehen der Zahlbereichserweiterung nach Radatz und Schipper (1983, S. 91) werden drei Schritte vorgestellt. Im ersten geht es darum, an die Vorkenntnisse der Schüler anzuknüpfen. Die Schüler haben in einem bestimmten Zahlenraum Zahl- und Grössenvorstellungen gefestigt. Wird der Zahlenraum erweitert, müssen diese weiterentwickelt werden. Dann werden Ankerpunkte geschafft. Bei der Neuerkundung des Zahlenraums bis 100 sind die vollen Zehnerzahlen sinnvolle Ankerpunkte, beim Ausbau des Zahlenbereichs bis 1000 sind es die vollen Hunderter, usw. Anschliessend werden die Lücken zwischen den Ankerpunkten geschlossen. Vier Unterrichtsmassnahmen gelten in jedem der drei methodischen Schritte als wichtig: 1. Vermittlung von Zahl- und Grössenvorstellungen 2. Orientierung im Zahlenraum und Ordnung der Zahlen 3. Bündelung, Stellenwert und Schreibweise 4. Rechnen Im Lernspiel „Hausnummern greifen die zweite und dritte Unterrichtsmassnahme ineinander. Zahlen werden nach bestimmten Kriterien gebildet und anschliessend miteinander verglichen. Da das Lernspiel mehrheitlich auf einer abstrakten Ebene durchgeführt wird ist es, wie schon erwähnt, wichtig, dass verschiedene handelnde Übungen vorausgehen. Zahlen können mit verschiedenen Hilfsmitteln bildlich, beziehungsweise gegenständlich dargestellt werden. So kann ebenfalls ein Bezug zum bisherigen Zahlenraum geschafft werden. Sind zum Beispiel in einem Papierpack 100 Blätter, so braucht es zehn von diesen, um 1000 Blätter zu erhalten. Das Vorwissen der Schüler soll bei der Erarbeitung des neuen Zahlenraums unbedingt in den Unterricht eingebunden werden. Konkrete Alltagsbeispiele beziehen sich teils auf die Masseinheiten und eignen sich optimal für das Thema „Zahlenraum. Idealerweise zeigt man solche Beispiele direkt mit dem Messinstrument vor. Aktivierende Fragen, wie diese, animieren das Vorstellungsvermögen der Schüler: Was würdest du für tausend Franken kaufen? Wo hast du schon einmal tausend Menschen auf einem Haufen gesehen? Wie viele Schüler gehen in unserem Schulhaus ein und aus? usw. Es ist wichtig, nicht zu früh auf die abstrakte Ebene überzugehen, damit die Schüler ein gutes Vorstellungsvermögen des neuen Zahlenraums entwickeln können. Der Zahlenstrahl ist ein gutes Hilfsmittel, um Zahlen einzuordnen und zu vergleichen. Zahlen sollen in Beziehung zueinander gesetzt werden. Dabei können Begriffe wie grösser als, kleiner als oder gleich gross eingeführt, beziehungsweise wiederholt werden. Stellenwertsystem Damit man große Zahlen einfacher darstellen kann, hat man sogenannte Stellen eingeführt. Jede Stelle hat einen Wert. Eine Ziffernfolge drückt eine bestimmte Zahl aus. Dabei ist die hinterste Stelle, also die ganz rechts, immer der Einer, die zweithinterste der Zehner, die dritthinterste der Hunderter usw. Ganz wichtig für das Funktionieren des Stellenwertsystems ist die Ziffer 0. Hat man zum Beispiel 3 Tausender und 5 Zehner und schreibt nur diese Ziffern aneinander, ergibt sich die Zahl 35, die komplett falsch ist. Stellen die leer sind, müssen unbedingt mit einer Null vermerkt werden, so dass die richtige Zahl 3050 lautet. Im Mathematikunterricht wird gerade zu diesem Zweck oft die Stellenwerttafel eingesetzt. Stellenwerttafel Der Begriff „Stellenwerttafel wird im heilpädagogischen Kommentar des Zahlenbuchs 3 (2003, S. 52) folgendermassen definiert: „Tabelle für die Darstellung bzw. Notation der dezimalen Einheiten: Im Tabellenkopf sind die Einheiten entweder gezeichnet (Hunderterplatte, Zehnerstab, Einerwürfel), in Worten (Hunderter, Zehner, Einer) oder abgekürzt (H, Z, E) angegeben. Die Einheiten können mit Plättchen gelegt, mit Punkten gezeichnet oder mit Ziffern(karten) dargestellt werden. Einsatz: Übersetzen von der (Zehner-)Bündelung mit konkreten Materialien in die formale Schreibweise im Stellenwertsystem und umgekehrt, Ausführen und Darstellen von Rechenstrategien, Erkunden von Zahlenzusammenhängen und Zahlenmustern. 1 8 9 Der Stellenwert wird mit einer Ziffer von 0-9 gekennzeichnet. Anstelle von Ziffern werden Plättchen auf die entsprechenden Stellenwerte gelegt. Diese Art und Weise kann zur Unterstützung des Verständnisses des Zehnerübergangs beitragen. Bündel von zehn Plättchen können durch einen Batzen ersetzt werden, der in den höheren Stellenwert gelegt wird. Für ein besseres Vorstellungsvermögen kann der Einsatz von Hundertertafeln, Zehnerstäbchen und Einerwürfel unterstützend wirken. Die Schüler können entweder direkt das Material in die Stellenwerttabelle legen oder die Symbole hinein zeichnen. Bündelungsprinzip Krauthausen und Scherer (2007, S. 16f) bezeichnen die Darstellung von Zahlen in einem Stellenwertsystem für das dezimale Zahlensystem als grundlegend. Stellenwertsysteme sind durch das Prinzip der fortgesetzten Bündelung und nach dem Stellenwertprinzip gekennzeichnet: Bündeln bedeutet, die Elemente einer vorgegebenen Menge zu gleich grossen Gruppierungen zusammenzufassen. Wie gross diese Teilmengen sein sollen, schreibt die Basis der Bündelungsvorschrift vor. Das Bündelungsprinzip zur Zahldarstellung ist also nicht auf das Zehnersystem begrenzt, sondern gilt allgemein. Egal in welchem Stellenwert man sich befindet, eine Zahl ist immer auf die zehn existierenden Ziffern 0-9 beschränkt. Durch die Bündelungsergebnisse erhält man eine bestimmte Ziffernfolge. Dabei hat jede Ziffer neben ihrem Anzahlaspekt („Wie viele Bündel sind es?) auch noch einen Stellenwert: Die Position oder die Stelle einer Ziffer innerhalb einer Zahl gibt Aufschluss über den Wert dieser Ziffer. Differenzierungsmöglichkeiten Durch die verschiedenen Möglichkeiten, wie gewürfelt werden kann, wird bereits differenziert. Liegen alle Würfel offen auf dem Tisch, ist es einfacher zu entscheiden, welche Zahl sich daraus ergeben soll, als wenn mit jedem Wurf eine Ziffer liegen bleibt und der Stellenwert bereits entschieden werden muss Dann spielt nämlich der Glücksfaktor eine grössere Rolle. Dieser kann für mehr Spannung im Spiel sorgen. Während die Ziffer „0 in der Spielvariante „Grosse Hausnummer keine besondere Rolle spielt, kann sie in der Spielvariante „Kleine Hausnummer zu einer Erhöhung des Schwierigkeitsgrad führen, nämlich dann, wenn die Ziffer Null nicht den grössten Stellenwert einnehmen, also durch die Null kein Stellenwert wegfallen darf. Die Spielvariante 3 „Hausnummer (Zahl) ist am anspruchvollsten. Sie beinhaltet rechnerische Elemente und ist deshalb besonders für leistungsstarke Schüler geeignet, die sich im neuen Zahlenraum bereits gut auskennen und über gute rechnerische Fähigkeiten verfügen. In der vierten Spielvariante ist die Umdrehung eines Würfels zu einer anderen Ziffer neu. Ist das Prinzip aber erst einmal durchschaut, ist diese Variante gleich zu spielen wie die erste und zweite Spielvariante. Hilfsmittel, wie zum Beispiel der Zahlenstrahl, eignen sich für alle Spielvarianten. Die erwürfelten Zahlen können darauf mit Spielfiguren markiert werden und sind so für alle sichtbar. Den Schülern fällt es anschliessend leichter, die Zahlen miteinander zu vergleichen. Die Stellenwerttabelle ist ebenfalls sehr zu empfehlen. Wie im Kapitel 12.3.3 erklärt wird, kann sie unterschiedlich eingesetzt werden. Schüler, die noch etwas Mühe mit dem Zahlenvorstellungsvermögen haben, sollen die Zahlen mit Legematerial bilden. Die Schüler haben die Möglichkeit nach einigen Spielrunden die Spielvariante zu wechseln. Das neue Spielziel erfordert logisches Umdenken. Interaktion Die Interaktion, welche in den einzelnen Gruppen stattfindet, kann sehr unterschiedlich aussehen. Die Aufgabe der Lehrperson ist es, die Schüler füreinander zu aktivieren und sie immer wieder zum Austausch aufzufordern. Die Schüler sollen, das was sie denken, in Worte fassen. Wenn ein Schüler zum Beispiel nicht auf die grösstmögliche Zahl gekommen ist, sollen ihn die Gruppenmitglieder korrigieren und ihm erklären, wie er richtig vorgehen kann, um die gewünschte Zahl zu erreichen. Begriffe wie „grösser als oder „kleiner als sind zentral und sollen verwendet werden. In der Spielvariante 3 können die Gespräche ziemlich komplex werden. Zur Erkenntnis, dass man sich der Zielzahl mit zwei Zahlen annähern kann, kommen vielleicht nicht auf Anhieb alle. Der Austausch zwischen den Schülern kann sehr fruchtbar sein und bis hin zur Thematisierung der Rechenwege führen. In den Gruppen dürfen zudem Regelanpassungen vorgenommen werden, sofern alle mit diesen einverstanden sind. Die Gruppenkonstellation und die Erfahrungen mit Lernspielen können das Kommunikationsverhalten der Schüler stark beeinflussen. Mögliche Stolpersteine Wenn das Stellenwertprinzip einmal verstanden ist, können die Spielvarianten 1 und 2 für leistungsstarke Schüler jedoch schnell zu einfach werden. Schüler, die den Stellenwert nicht verstanden und vertieft haben, laufen Gefahr, dass sie die Stellenwerte Einer, Zehner, Hunderter, usw. auswendig lernen, sich dahinter aber keine Menge vorstellen können. Es kann dann passieren, dass anstelle von Zahlen nur die dem Stellenwert zugeordneten Ziffern erkannt werden. Der Einsatz von Hunderterplatten, Zehnerstäbchen und Einerwürfel könnte dem entgegenwirken. In diesem Fall ist es erforderlich, den Zahlenraum und das Stellenwertprinzip auf handelnder und visueller Ebene nochmals zu vertiefen. Der Austausch in den einzelnen Spielgruppen kann sehr fruchtbar, aber auch völlig blockierend sein. Die Grundstimmung, die Gruppenkonstellation, aber auch die bisherigen Erfahrungen in Gruppenarbeiten können das Würfelspiel stark beeinflussen. Zusammenfassung Durch das Lernspiel „Hausnummern werden Kenntnisse über die Beziehung zwischen den einzelnen Stellenwerten erweitert. Neben den mathematischen Inhalten werden auch nicht fachspezifische Fähigkeiten gefördert. Die Schüler treten in Interaktion zueinander. Sie kontrollieren sich gegenseitig und tauschen sich aus. Die Kriterien guter Lernspiele werden vollumfänglich erfüllt: Das Würfelspiel „Hausnummern ist schnell erklärt. Die Spielregeln sind überschaubar, Anschauungs-material wie die Stellenwerttafel und der Zahlenstrahl unterstützen das Verständnis. Im Lernspiel spielt das Würfelglück eine wichtige Rolle. Die spielerische Aktivität mit den Würfeln bereitet den Schülern Freude. Der Würfelablauf bietet individuelle Entscheidungsmöglichkeiten. Kleine Erfolgserlebnisse werden vermittelt, wenn die Schüler es geschafft haben, eine möglichst optimale Zahl zu bilden. Wenn diese Zahl im Vergleich zu den Zahlen der Mitspieler sogar noch am nächsten zur Zielhausnummer steht, dann ist das Erfolgserlebnis besonders gross. Das entscheidet aber schlussendlich das Würfelglück. Leistungsdruck fällt weg und kleine Erfolgserlebnisse werden für alle möglich. Aufgrund der unterschiedlichen Spielvarianten kann der Schwierigkeitsgrad des Lernspiels angepasst werden und somit Schüler mit unterschiedlichen Voraussetzungen gefördert werden. Die magische Zahl Im Würfelspiel „Die magische Zahl dreht sich alles um eine bestimmte Zahl, die es zu erreichen gilt. Stähle (2005) und Brucker (2005) erklären verschiedene Lernspiele in ähnlicher Form unter den Namen „15, „Top 10 oder „20 gewinnt. Abbildung 2: Zahlen Übungsinhalt Im Lernspiel „Die magische Zahl werden einfache Additionen und Subtraktionen mit Einer-, Zehneroder Hunderterzahlen geübt. Spielmaterial Es wird mit drei bis fünf Schulwürfeln gespielt. Üblicherweise werden in der 2. Klasse Zehnerwürfel, in der 3. Klasse Hunderterwürfel und in der 4. Klasse Tausenderwürfel verwendet. Das Lernspiel eignet sich auch für erste Klassen. Dann sollte jedoch mit dem sechsflächigen Spielwürfel gespielt werden, will man bewusst im Zahlenraum bis 20 üben. Man braucht Stift und Notizpapier. Anzahl Spieler Dieses Würfelspiel eignet sich für zwei bis vier Spieler. Ziel des Lernspiels In diesem mathematischen Lernspiel geht es darum, mittels Subtraktion und Addition möglichst nahe an die magische Zahl heranzukommen, beziehungsweise diese zu treffen. Die magische Zahl ist eine Zielzahl, die vorgegeben oder im Voraus von den Spielern definiert wird. Allgemeine Spielregeln Die Würfel können zusammen, nacheinander oder einzeln geworfen werden. Aus den Zahlen ergibt sich eine Kettenrechnung, in der addiert wird und mindestens einmal subtrahiert werden muss. Das Endergebnis soll, wenn möglich, nicht über der Zielzahl liegen. Es wird entweder laut vorgerechnet oder die Operationen werden aufgeschrieben. Spielvarianten und -strategien Es werden vier Spielvarianten vorgestellt, die das gleiche Spielziel verfolgen, nämlich die magische Zahl zu erreichen. Wird die magische Zahl von Null her angestrebt, muss automatisch mehr addiert als subtrahiert werden. Dem kann entgegen gewirkt werden, indem eine hohe Starzahl und eine tiefere Zielzahl gewählt wird. Dann muss nämlich zuerst mehrmals subtrahiert werden. Der Spielablauf ist bei keiner Spielvariante genau gleich wie bei der anderen. Spielvariante 1 und 2 haben aber gemeinsam, dass die Würfel erst kombiniert, beziehungsweise verrechnet werden, wenn die Würfel liegen. Dadurch können die Spieler selber entscheiden, welche Rechenweg sie einschlagen wollen. Der wesentliche Unterschied liegt darin, dass in der ersten Spielvariante alle mit den gleichen Würfelzahlen operieren und in der zweiten jeder Spieler neue Zahlen würfelt. In der zweiten Spielvariante kann der Glücksfaktor für den Sieg ausschlaggebend sein. In der ersten Spielvariante nimmt das Spielglück, nachdem die Würfel einmal gefallen sind, keinen Einfluss mehr auf den Spielverlauf. Dafür haben alle die Möglichkeit, zu siegen, indem sie den optimalen Rechenweg herausfinden. Diese Spielvariante kann interessant sein, will man, dass die Schüler ihre schriftlichen Rechenwege untereinander austauschen und diskutieren. Die Spielvarianten 3 und 4 haben gemeinsam, dass jede gewürfelte Zahl sofort addiert oder subtrahiert werden muss. Die Entscheidungsfreiheit liegt darin, dass der Spieler selber wählen kann, welche Operation er durchführen will. Die Schüler könnten in den Spielvarianten 1, 2 und 4 zusätzlich den Unterschied zwischen ihrer Zielzahl und der magischen Zahl ausrechnen und notieren. Wer die kleinste Differenz hat, siegt. Spielvariante 1 In dieser Spielvariante werden die Würfel für alle gemeinsam geworfen. Ob alle Würfel von einem oder mehreren Schülern geworfen werden, spielt keine Rolle und beeinflusst das Spiel nicht. Liegen die Würfel auf dem Tisch, versucht jeder einzelne Schüler möglichst nah an die Zielzahl zu gelangen, indem er die Zahlen neu kombiniert, addiert und mindestens einmal subtrahiert. Die Zielzahl kann durch die Lehrperson vorgegeben oder von den Schülern selbst gewählt werden. Haben alle ihre Rechnung aufgeschrieben, werden die Lösungswege miteinander verglichen und der oder die Sieger erhalten eine Belohnung zum Beispiel in Form eines Punktes oder eines Batzen. Beispiel: „Die magische Zahl 150 Es werden folgende Zahlen gewürfelt: 60, 80, 50 80 60 140 140 – 50 90 Spielstrategie: Um möglichst nahe an die Zielzahl heranzukommen, werden die zwei grössten Zahlen miteinander addiert. Die kleinste Zahl wird subtrahiert. Die Notation der Rechenwege hat den Vorteil, dass unterschiedliche Rechenwege ersichtlich werden. Diese können zum Austausch animieren. Weitere mögliche Lösungswege sind: (60 80) – 50 90 (80 – 50) 60 90 (60 – 50) 80 90 Die Schreibweise kann ebenfalls variieren. Der Lösungsweg kann als Kettenrechnung oder in zwei Rechnungsschritten erscheinen. Spielvariante 2 Jeder Schüler würfelt einzeln und rechnet anschliessend laut vor. Die Mitschüler rechnen mit und intervenieren, wenn sie mit einem Rechenschritt nicht einverstanden sind, beziehungsweise falsch gerechnet wurde. Das Endergebnis wird notiert, auf dem Zahlenstrahl markiert oder mit Legematerial dargestellt. Dann würfelt der nächste Schüler und sein Ergebnis wird ebenfalls festgehalten. Am Schluss werden die verschiedenen Endergebnisse miteinander verglichen. Wer am nächsten zur magischen Zahl steht, gewinnt. Beispiel „Die magische Zahl 150 Gewürfelt werden folgende Zahlen: 80, 90, 10 90 10 100 100 – 80 20 Spielstrategie: Bei diesem Beispiel dürfen nicht wie im Beispiel der Spielvariante 1 die zwei grössten Zahlen miteinander addiert werden. Da die Zahl in keinem Fall über der magischen Zahl liegen darf, muss die zweitkleinste Zahl subtrahiert werden. Spielvariante 3 Bei dieser Spielvariante spielt jeder Schüler mit einem eigenen Schulwürfel und schreibt seine Rechnungen auf. Gestartet wird bei 0. Wer die magische Zahl erreicht, ruft „stopp. Alle Spieler legen dann den Stift beiseite und überprüfen den Rechenweg des möglichen Siegers. Beispiel: „Die magische Zahl 150 70 40 110 110 80 190 190 – 60 130 130 30 160 160 – 10 150 Spielstrategie: Anfangs müssen die Zahlen addiert werden. Sobald jedoch über die Zielzahl gewürfelt wurde, muss subtrahiert werden. Die Anzahl der Rechnungen kann sehr variieren – das Glück spielt eine grosse Rolle. Es ist möglich, die Zielzahl in einer Rechnung zu erreichen. Dann müssten folgende Zahlen gewürfelt werden: 90 60 oder 70 80. Wird von einer höheren Startzahl eine tiefere Zielzahl angestrebt, darf die Zielzahl nie kleiner als 90 sein, sonst kann es passieren, dass unter Null gerechnet werden muss. Spielvariante 4 Es darf fünf- bis zehnmal gewürfelt werden, nicht weniger und nicht mehr. Der Spieler, der würfelt versucht die Zielzahl zu treffen oder ihr möglichst nahe zu kommen. Er rechnet jeweils laut vor und kommuniziert seine Entscheidungen vor dem nächsten Wurf. Die Zahl, die er schlussendlich erreicht, wird aufgeschrieben, auf dem Zahlenstrahl markiert oder mit Legematerial dargestellt. Wenn alle Spieler an der Reihe gewesen sind, werden die Ergebnisse miteinander verglichen und der Sieger wird ausgemacht. Beispiel: „Die magische Zahl 150 1. Wurf: 50 40 90 2. Wurf: 90 60 150 3. Wurf: 150 – 10 140 Es ist erst der dritte Wurf, deshalb gilt dieses Ergebnis nicht als Endzahl. 4. Wurf: 140 – 70 70 Weil die Endzahl am Schluss nicht über der magischen Zahl liegen darf, wird vorsichtshalber subtrahiert. 5. Wurf: 70 40 110 Das Ergebnis 110 könnte nun, muss aber nicht stehen gelassen werden. 6. Wurf: 110 20 130 Es wird entschieden, dass dieses Resultat die Endzahl sein soll, weil sie ziemlich nah an die magische Zahl 150 heran kommt. Was könnte weiter passieren? 7. Wurf: 130 90 220 Da die Endzahl nicht über der magischen Zahl liegen darf, muss nochmals gewürfelt werden. 8. Wurf: 220 – 40 180 180 liegt immer noch über 150 – es muss nochmals gewürfelt werden. 9. Wurf: 180 – 20 160 160 ist immer noch zu hoch – es muss nochmals gewürfelt werden. Es kann nur gehofft werden, dass die nächste Würfelzahl mindestens 10 ist, aber möglichst nicht darüber liegt. 10. Wurf 160 – 70 90 So ein Pech! oder 160 – 20 140 So ein Glück! Spielstrategie: Bei der Spielvariante 4 wird gleich vorgegangen wie bei der Spielvariante 3. Mathematische Ziele und Inhalte In diesem Kapitel wird aufgezeigt, welche Lernziele des Lehrplans (2000, S.261) mit dem Würfelspiel „Die magische Zahl verfolgt werden und welche allgemeinen mathematischen Ziele in Bezug auf Wittmann aufgegriffen werden. Lehrplan Im Lehrplan werden unter dem Thema „Operationen folgende Lernziele zur Addition und Subtraktion formuliert, die für das Lernspiel relevant sind: Addition und Subtraktion auf verschiedenen Abstraktionsebenen erfahren: verbal ausdrückend bildlich darstellend Dazu wird erklärt: Handlungen, die zur Addition führen: Hinzufügen, zusammenlegen, verlängern Handlungen, die zu Subtraktion führen: Wegnehmen, abtrennen, zudecken Mathematische Symbole , -) und ihre Bedeutung kennen und in Gleichungen oder Ungleichungen anwenden Operationen mit der deutschen Bezeichnung benennen: Zuzählen und wegzählen Lernziele und Inhalte nach Wittmann Im Würfelspiel „Die magische Zahl wenden die Schüler die Grundtechniken der Addition und Subtraktion im erweiterten Zahlenraum an. Sie verwenden mathematische Begriffe wie plus, minus und gleich. Der Bereich der kognitiven Strategien nach Wittmann kann in die Spielsituation einfliessen, muss aber nicht. Es hängt stark von den Erfahrungen der Schüler und äusseren Aktivierung der Lehrperson ab, wie in den Spielgruppen miteinander kommuniziert wird. Es kann ein konstruktiver Austausch entstehen, in dem die Schüler ihre Lösungswege nicht nur mitteilen, sondern zusätzlich begründen. Je nach Situation werden Vermutungen aufgestellt und Verallgemeinerungen erkannt. Mathematische Inhalte Voraussetzungen Bevor Schüler im erweiterten Zahlenraum rechnen, sollen sie eine Vorstellung der neuen Zahlen, bzw. Mengen entwickelt haben. Mengen können unterschiedlich dargestellt, miteinander verglichen und geordnet werden. Die Zahlenschreibweise muss gefestigt sein. Die Inhalte der Grundidee „Ganzheitliches Erschliessen des jeweiligen Zahlenraums gehen voraus. Eine Einführung ins Thema „Addition und Subtraktion hat stattgefunden. Beispiel Addition: 30 1. Summand 20 50 2. Summand Summe 30 20 Subtrahend Beispiel Subtraktion: 50 Minuend Differenz Der Grundbaustein für Additions- und Subtraktionsverfahren wird im ersten Schuljahr gelegt, nachdem ausgiebige Orientierungsübungen im Zahlenraum stattgefunden haben. Es wächst ein Operationsverständnis. Dazu gehört, dass die Schüler Operationszeichen (, -, ) kennen lernen. Umstellungen von Operationen gelingen dann, wenn ihre Regelhaftigkeit verstanden wurde. Halbschrlftliches Addieren und Subtrahieren und insbesondere das Kopfrechnen gehören laut Radatz, Schipper et al., (1999, S. 73f) aus folgenden Gründen zu den schwierigsten Kapiteln des Mathematikunterrichts: Fehlende Sicherheit beim Rechnen bis 100 Das Rechnen bis 100 ist Grundvoraussetzung für das Rechnen im erweiterten Zahlenraum. Radatz et al (1999, S. 73) sind der Meinung, dass sich manche Lehrpersonen, Schulbücher, vor allem aber auch die Eltern besonders auf das Auswendiglernen des kleinen Einmaleins konzentrieren und dabei die Grundoperationen Addition und Subtraktion häufig zu kurz kommen. Krauthausen und Scherer (2007, S. 25) vermerken, dass für den Zehnerübergang traditionell im Unterricht viel Zeit und Energie aufgewandt wird. Klar ist, dass das Teilschrittverfahren der Addition sehr anspruchsvoll ist und eine Vielzahl von Überlegungen erfordert. Floer (1996, S.55) hat das Verfahren in die einzelnen Überlegungsschritte aufgesplittert und zeigt damit, wie komplex es ist. Zur besseren Verständlichkeit ist es hier mit einem Beispiel ergänzt worden. Beispiel: 34 48 1) die Ergänzung zum nächsten Zehner als sinnvolle Strategie anerkennen; 34 6 40 2) den 2. Summanden dem gemäss richtig zerlegen; 48 – 6 42 3) die Ergänzung ausführen; 40 40 4) wissen, zu welchem Zehner man dann gelangt; 40 40 80 5) den Rest des zerlegten 2. Summanden richtig behalten haben; 42 – 40 2 6) diesen Rest richtig zum neu erzielten Zehner addieren; 80 2 82 Krauthausen und Scherer (2007, S. 25) verweisen darauf, dass ein vorgeschriebenes Verfahren anders sein kann, als das, welches der Schüler zunächst einmal spontan von sich aus benutzen würde. Die individuellen Lösungswege der Schüler sollten aufgegriffen und zum Ausgangspunkt gemeinsamer Überlegungen gemacht werden. Auf diese wird unter dem Punkt „Individuelle Verfahren noch näher eingegangen. Zu beobachten ist allgemein, dass den meisten Schülern die Addition leichter fällt als die Subtraktion. Oft wird deshalb die Subtraktion umgangen, indem die Operation umgestellt wird. Beispiel: 23 – 12 12 23 Die Umstellung dieser Subtraktion bewirkt, dass ergänzt werden kann, zuerst auf den nächsten Zehner, also 20 und dann auf das Endergebnis 23. Hohe Leistungsheterogenität Besonders im Kopfrechnen zeigen sich deutliche Leistungsunterschiede innerhalb einer Klasse. Für einige Schüler ist Kopfrechnen ein Graus, weil sie keine angemessenen Rechenverfahren oder Strategien entwickelt haben. Während einige Schüler Mühe haben, Zahlen sinnvoll zu bündeln oder zu spalten, rechnen andere Kinder bereits schnell und sicher mit gemischten Zahlen. Hohe Zahl an Merkprozessen Grosse Zahlen mit vielen verschiedenen Stellenwerten verlangen einen langen Merkprozess, in dem die Lösung in mehreren Zwischenschritten erlangt wird. Viele Schüler sind darauf angewiesen einzelne Rechenschritte oder Zwischenresultate aufzuschreiben, damit keine Fehler passieren. Individuelle Verfahren Zur Entwicklung der Fähigkeit, Aufgaben ohne Notation von Zwischenergebnissen zu lösen, sind manche individuelle Verfahren nicht geeignet. Das Verfahren „Stellenwerte extra führt beim Kopfrechnen in die Sackgasse. Beispiel: 24 27 20 20 40 4 7 11 40 11 51 Diese Rechnung ist sehr komplex und erfordert mehrere Schritte. Es müssen drei Zwischenergebnisse errechnet, gespeichert und anschliessend addiert werden. Beispiel: 34 – 16 30 – 10 20 4 – 6 ? Schüler, die im Additionsverfahren Einer plus Einer, Zehner plus Zehner, Hunderter plus Hunderter usw. rechnen, landen mit dieser Strategie beim Subtraktionsverfahren oft in einer Sackgasse, nämlich dann, wenn der Stellenwert des zweiten Summanden grösser ist als der des ersten. Fehler schleichen sich ein, wenn der Schüler dem Problem aus dem Weg gehen will, indem er kurzerhand die Summanden umstellt, beim oben genannten Beispiel 6 4 rechnet. Ablösung durch schriftliche Verfahren Das schriftliche Rechnen ist für viele Schüler eine grosse Stütze. Die Rechenverfahren sind eindeutig und lassen kleine, übersichtliche Kopfrechenschritte zu. Voraussetzung dafür ist ein sicheres Rechnen im Zahlenraum bis 20. Sachanalysen statt Prozessanalysen Die Zahl der notwendigen Teilrechnungen und die Anzahl der Stellenwertübergänge sind Merkmale, mit denen eine Aufgabe als einfach oder schwierig beschrieben wird. Vernachlässigt wird bei diesem sachanalytischen Vorgehen die Frage, mit welchem Verfahren die Aufgaben gelöst werden sollen. Die gleiche Aufgabe kann je nach Verfahren erheblich unterschiedliche Anforderungen an die notwendigen Merkprozesse stellen. Umgekehrt kann eine Aufgabe, die auf den ersten Blick schwieriger als eine andere erscheint, bei der Wahl eines geschickten Verfahrens gleich schwer oder gar leichter sein als diese. Beispiel: 397 453 400 450 Durch die Umstellung erscheint die Aufgabe plötzlich recht einfach. Bei der Strategie des Ergänzens ist es sinnvoll, bei jeder Rechnung neu zu entscheiden, welcher Stellenwert zuerst gerechnet werden soll. Das Lernspiel „Die magische Zahl ist auf einfache Operationen im neuen Zahlenraum beschränkt. Es eignet sich deshalb als erstes Rechnen im neuen Zahlenraum. Differenzierungsmöglichkeiten Das Würfelspiel „Die magische Zahl kann nach Spielvarianten, Gruppenbildung und Medien differenziert werden. Die Schüler rechnen in ihrem eigenen Tempo und haben je nach Spielvariante die Möglichkeit verschiedene Lösungswege einzuschlagen. In den Spielvarianten 1 und 2 werden die Rechenwege erst entschieden, wenn alle Würfel liegen. Die magische Zahl kann nach einigen Spielrunden durch eine andere ersetzt werden. Der Inhalt des Würfelspiels kann insofern differenziert werden, dass Start- und Zielzahl veränderbar sind und der Zahlenraum variabel ist. Leistungsstarke Schüler könnten zum Beispiel eine Spielgruppe bilden, in der mit grossen Zahlen gerechnet wird und mehr subtrahiert als addiert werden muss. Die Gruppenbildung kann jedoch auch zufällig oder nach den individuellen Lerninteressen getroffen werden. Medien, die individuell eingesetzt werden können, sind der Zahlenstrahl und Legematerial. Interaktion Wie bei allen hier vorgestellten Lernspielen, spielt die Interaktion eine zentrale Rolle für den Lernprozess. Je intensiver über die Inhalte ausgetauscht wird, desto mehr können die Schüler voneinander profitieren und werden zur intensiveren Auseinandersetzung mit den Inhalten animiert. Grundsätzlich müssen die Schüler zuerst einmal die Spielregeln befolgen werden, einander zuhören, kontrollieren und eventuell korrigieren. Funktioniert das alles wunderbar, kann der eigentliche Austausch beginnen: Warum hast du diese Zahl subtrahiert und nicht diese? Ich würde zuerst diese beiden Zahlen miteinander addieren, weil. Es ist doch viel einfacher, wenn man. Ich würde nochmals würfeln, weil. Das Risiko würde ich nicht eingehen, denn dir fehlen ja nur noch 10 bis zur magischen Zahl usw. Mögliche Stolpersteine Die Schüler, die während des Lernspiels nicht aktiv an der Reihe sind, nehmen eine wichtige Kontrollfunktion ein. Sie müssen mitrechnen und allenfalls intervenieren, wenn sie mit dem Ergebnis nicht einverstanden sind. Zudem haben sie auf die Einhaltung der Regeln zu achten. Üben schwache Rechner miteinander, kann es passieren, dass Fehler nicht bemerkt werden und sich so einschleifen. Niveaudurchmischte Gruppen wären in diesem Fall besser. Leistungsstarke Rechner sind eventuell inhaltlich schnell unterfordert. Möglichkeiten, dem entgegenzuwirken wären, dass sie mit höheren oder sogar gemischten Stellenwertwürfeln spielen. In der Spielvariante 1 ist die spielerische Aktivität im Gegensatz zur rechnerischen minimal. Sie soll nur dann eingesetzt werden, wenn der Austausch der schriftlichen Rechenwege für einmal im Zentrum stehen soll. Es ist zu empfehlen, dass die Lehrperson den Austausch initiiert und zumindest am Anfang begleitet. In der Spielvariante 3 passieren eigenständige Rechenprozesse, die nicht direkt ausgetauscht werden. Der Rechenweg des potentiellen Siegers wird überprüft. Die Motivation, die anderen Rechenwege ebenfalls nachzuprüfen könnte gering sein und deshalb ausgelassen werden. Wenn dem Zweit- und Drittplatzierten auch Punkte zugeschrieben werden, kann dem so entgegen gewirkt werden. Zusammenfassung Im Lernspiel „Die magische Zahl werden einfache Additionen und Subtraktionen im erweiterten Zahlenraum geübt. Der Schwierigkeitsgrad kann angepasst werden. Je nach Spielvariante ist die spielerische Aktivitätsform sehr hoch. Das Spielziel dürfte für alle Spieler erstrebenswert und erreichbar sein. Erfolgserlebnisse erhalten die Schüler durch ihre Rechenfähigkeit und das Würfelglück. Die Schüler bestimmen bei den Spielvarianten 1 und 2 selbstständig, welchen Lösungsweg sie einschlagen wollen. In Spielvariante 4 entscheiden sie selbst, ob sie nach dem fünften Wurf nochmals würfeln wollen und wie viel sie noch würfeln. Die Spielregeln sind überschaubar und schnell erklärt. Der Umgang mit den Würfeln bereitet den Schülern Freude. „Einmaleins‐Bingo Bingo ist ein mathematisches Lernspiel, das sich auf das klassische und beliebte Gesellschaftsspiel Lotto zurückführen lässt. Es handelt sich um ein reines Glücksspiel und dient der Unterhaltung. Lotto wird durch kleine Änderungen zum mathematischen Lernspiel Bingo. Anstatt dass bloss Zahlen gezogen werden, muss die Zielzahl errechnet werden. Barbara Stähle beschreibt Bingo in ihrem Buch „Rechenspass mit dem Schulwürfel (2005, S. 125f). Abbildung 3: Einmaleins-Bingo Übungsinhalt: Das kleine Einmaleins wird geübt. Spielmaterial: Für dieses Lernspiel werden zwei Schulwürfel benötigt. Weiter braucht es für jeden Schüler einen Spielplan, einen Stift und das Zahlenfeld, auf dem sich die Einmaleinszahlen befinden. Anzahl Spieler Dieses Würfelspiel eignet sich für zwei bis sechs Schüler. Ziel des Lernspiels Die Ergebnisse der gewürfelten Einmaleinsrechnungen werden auf dem Spielplan angekreuzt. Das Ziel ist es, drei Ergebniszahlen in unmittelbarer Nachbarschaft zu würfeln. Wer am schnellsten eine Dreierreihe diagonal, waagrecht oder senkrecht erreicht, gewinnt. Beispiele: 6 14 81 72 36 40 63 56 10 32 25 24 5 54 12 45 3 42 30 2 0 18 60 27 8 90 48 Allgemeine Spielregeln Es wird reihum mit zwei Schulwürfeln gewürfelt. Der Spieler, der gewürfelt hat, teilt den Mitspielern die Rechnung mit dem Ergebnis laut mit. Beispiel: Es werden die Zahlen 4 und 5 gewürfelt. Der Spieler rechnet also 45 oder 54 20. Spielablauf Jeder Spieler stellt sich seinen Spielplan selbst her. Dieser Plan besteht entweder aus neun oder sechzehn Feldern. Aus dem Zahlenfeld werden neun Zahlen ausgesucht und in den Spielplan geschrieben. Beispiel eines Neunerfelds: 35 42 21 72 25 80 16 28 49 Jeder Schüler würfelt mit zwei Schulwürfeln. Die beiden gewürfelten Zahlen werden multipliziert. Bei einem Joker wird eine Zahl von 0 bis 10 ausgesucht. Steht die Ergebniszahl auf dem Spielplan, wird sie angekreuzt. Beispiel: 15 Schüler würfelt zuerst, danach Spieler B, dann Spieler und so weiter. Wer eine Dreierreihe senkrecht, waagrecht oder diagonal angekreuzt hat, darf „Bingo rufen. Beispiel (3er-Reihe): 15 30 12 3 6 18 24 27 9 Bei zwei angekreuzten Reihen wird „Bingo-Bingo gerufen. Wer sein Feld vollständig angekreuzt hat, darf „Super-Bingo rufen. Es können so drei verschiedene Sieger gekürt werden. Spielvarianten und -strategien Das Lernspiel kann in verschiedenen Spielvarianten durchgeführt werden. Die zu übenden Inhalte können den Klassen oder dem Lernstand der einzelnen Schüler angepasst werden. In allen Spielvarianten werden Malrechnungen gewürfelt. Das Zufallsprinzip entscheidet, welche Rechnung die Schüler lösen müssen. Welche Zahlen gewürfelt werden, lässt sich nicht beeinflussen (Kapitel 6.3). Ob die Würfel miteinander oder nacheinander gewürfelt werden, hat keinen Einfluss auf den Spielverlauf. Wenn die Schüler die Spielpläne selber gestalten und die Ergebniszahlen selber bestimmen, können sie Einfluss auf den Spielverlauf nehmen. Allgemeingültige Spielstrategien Dabei muss überlegt werden, bei welchen Ergebnissen die Chance höher liegt, dass sie gewürfelt werden. Die Zielzahl 0 aufzuschreiben lohnt sich immer. Bei jedem Wurf einer Zahl in Kombination mit einer 0 ergibt das Resultat 0. Im Gegensatz dazu, ist die Wahrscheinlichkeit, dass 49 gewürfelt wird eher klein. Es gibt nur eine mögliche Kombination, nämlich 7·7. Die Schüler können nicht auf die Kenntnisse der Wahrscheinlichkeit zurückgreifen. Sie werden sich eher auf gemachte Erfahrungen verlassen. Beim Spielen werden sie die Häufigkeit der gewürfelten Zahlen genau beobachten und daraus ihre Schlüsse ziehen. Ob diese fundiert sind oder eher Gefühlssache sind spielt dabei keine Rolle. Wie oben erwähnt, hängt das Würfeln vom Zufall ab und ist somit reine Glückssache. Spielvariante 1: Vergrösserter Spielplan Der Spielplan wird grösser gestaltet. Es wird ein 16er-Feld, vier auf vier Felder, gezeichnet. So können mehr Einmaleinsaufgaben gelöst werden. Hier gilt es, die gleichen Strategien wie bei der Grundidee zu verfolgen. Spielvariante 2: Vorgegebene Spielpläne Die Ergebniszahlen in den Spielplänen werden von der Lehrperson vorgegeben. Da die Spielpläne bestimmt sind, können keine Strategien verfolgt werden, mit denen die Chancen auf den Spielsieg sich erhöhen würden. Spielvariante 3: Spielpläne ohne Vorgaben Das Ergebniszahlenfeld wird nicht bereitgestellt. Die Schüler bereiten ihren Spielplan ohne die Hilfe des Ergebniszahlenfelds vor. Es ist wichtig, dass die Schüler ihre Spielpläne vor dem Spielstart gegenseitig kontrollieren oder die Lehrperson diese Aufgabe wahrnimmt. Entweder schreiben die Schüler Zahlen aus den Reihen auf, die sie sicher beherrschen oder aber sie stellen den Übungseffekt über den Siegeswillen und sie schreiben die Einmaleinsrechnungen auf, die sie noch nicht gut können. Spielvariante 4: Austausch der Spielpläne Die von den Schülern ausgefüllten Spielpläne werden ausgetauscht. Die Schüler spielen mit einem fremden Spielplan. Die Vorteile, die sich bei der Spielvariante 3 ergeben könnten, werden aufgehoben. Schüler, die mit einigen Reihen noch Mühe haben, könnten als Hilfsmittel, eine Tabelle mit den Schlüsselaufgaben benützen. Diese Grundaufgaben können ihnen beim Rechnen helfen. Spielvariante 5: Auswahl der Reihen Es werden Reihen nach bestimmten Kriterien ausgewählt. Beispielsweise wird nur mit den Reihen sieben bis neun gespielt, da nur diese noch nicht automatisiert sind. Dabei kann die Lehrperson die Reihen bestimmen oder man lässt die Schüler eine Einschätzung ihrer Kenntnisse vornehmen und die Reihen selbstständig auswählen. Wird nur eine Reihe ausgewählt, wird nur mit einem Würfel gespielt. Spielvariante 6: Auswahl des Vervielfachers In dieser Spielvariante werden die Einmaleinszahlen nach dem Vervielfacher ausgewählt. Die Schüler nehmen zum Beispiel nur die Zahlen, die den Vervielfacher 1, 2, 5, und 10 enthalten. Bei diesen Vervielfachern handelt es sich gerade auch um die sogenannten Schlüsselaufgaben. Hier wird ein Würfel benötigt, der mit den Zahlen 1, 2, 5 und 10 beschriftet werden kann. Spielvariante 7: Auswahl von Malrechnungen Wenn im Mathematikunterricht das Thema Zeit behandelt wird, können mit diesem Lernspiel speziell die Malrechnungen mit 24er- und 60er-Reihe geübt werden. Eine Minute dauert 60 Sekunden, eine Stunde 60 Minuten und ein Tag 24 Stunden. Das Ziel ist, dass die Schüler die Zeitgrössen schneller umwandeln und sich somit auf andere Inhalte konzentrieren können, zum Beispiel auf das Rechnen mit den Grössen oder auf Textaufgaben. Rechnungen mit dem Vervielfacher 24 könnten auf einem Blatt ausgerechnet werden, da sie ziemlich komplex sind. Dabei werden nur Zwischenresultate oder aber die ganzen Rechnungen aufgeschrieben. Beispiel: 7 · 24 ? 7 · 20 140 7 · 4 28 140 28 168 Spielvariante 8: Erweitertes Einmaleins In dieser Spielvariante besteht das Zahlenfeld aus Zahlen des Zehner- oder Hunderter- Einmaleins. Es wird ein Schulwürfel mit Zehner- oder Hunderterzahlen verwendet. Beispiele: 280 7 · 40 oder 280 40 · 7 5400 6 · 900 oder 5400 900 · 6 Spielvariante 9 Die Schüler finden selber Spielvarianten mit eigenen Regeln. In dieser Spielvariante nimmt die Rolle der Lehrperson eine wichtige Stellung ein. Sie soll die Schüler beim Spielen genau beobachten um herauszufinden, nach welcher Strategie gespielt wird. Sie kann so Regeländerungen bekanntgeben, damit die Schüler nicht nur nach einem Schema spielen, sondern gezwungen sind, nach Regeln zu üben, die ihnen den grössten Übungseffekt bringen. Mathematische Ziele und Inhalte In diesem Kapitel wird zuerst wird auf den Lehrplan (2002, S. 265) und danach auf die allgemeinen Ziele von Wittmann eingegangen. Lehrplan Bei den Operationen wird das Kopfrechnen beschrieben. 1) „Im Rahmen des eingeführten Zahlenbereichs multiplikative Grundoperationen durchführen Einmaleinsfolgen (1 bis 10) Teilen durch einstellige Zahlen im Zahlenbereich bis 100 (ohne Rest) Zehnereinmaleins (Einer mal Zehner) Teilen durch reine Zehnerzahl (ohne Rest) In der 2. Klasse werden die Einmaleinsfolgen durchgearbeitet und in der 3. Klasse gefestigt. Das Zehnereinmaleins wird in der 3. Klasse aufgegriffen und in der 4. Klasse durchgearbeitet. (2002, S. 265 und 272). Lernziele und Inhalte nach Wittmann Mit dem „Einmalseins-Bingo werden im Mathematikunterricht verschiedene allgemeine Lernziele und Inhalte von Wittmann (2009, S. 54f) verfolgt. Hauptsächlich wird Grundwissen vertieft, indem Grundtechniken geübt werden. Die Schüler lernen die Grundoperation Vervielfachen, bekannt als das kleine Einmaleins. Gelingt es ihnen nicht auf Anhieb eine Einmaleinsrechnung zu lösen, müssen sie einen anderen Lösungsweg suchen. Die Einmaleinsrechnung kann zum Beispiel durch Addition oder über die Herleitung der Schlüsselaufgaben gelöst werden. Beim Ausrechnen der gewürfelten Malrechnung sind die Spieler auf die gegenseitige Kontrolle durch die anderen Mitspieler angewiesen. Dabei lernen sie zu argumentieren. Sie müssen begründen und beweisen, wenn zum Beispiel Unstimmigkeit über das Ergebnis herrscht. Mathematische Inhalte Voraussetzungen „Ein Lotto-Spiel mit Aufgaben des kleinen Einmaleins ist für ein Kind sicher dann kein Spiel, wenn es die Aufgaben noch nicht kann (Radatz Schipper, 1987, S. 165). Es ist also wichtig, dass es den Schülern möglich ist, die Aufgaben lösen zu können. Bevor aufgezeigt wird, welche Voraussetzungen die Schüler mitbringen müssen, um das EinmaleinsBingo spielen zu können, werden die für das Lernspiel wichtigen Begriffe erklärt. Radatz und Schipper (1983, S. 79) definieren die Multiplikation folgendermassen: „Multiplikation lässt sich einmal auffassen und definieren als fortgesetzte Addition gleicher Summanden 4 4 4 3 · 4. Im Begleitband zum Zahlenbuch 3 (1997, S. 64) wird der Begriff des kleinen Einmaleins beschrieben: „ Zahlen, die als Ergebnis einer Einmaleinsaufgabe vorkommen, nennt man Einmaleinszahlen: 63 ist zum Beispiel eine Einmaleinszahl (9 · 763). Insgesamt gibt es zwar 100 Einmaleinsaufgaben, aber nur 42 Einmaleinszahlen. Der Begriff „Kleines Einmaleins bedeutet das Vielfache einer Zahl des Zahlenraums 0 bis 10. Radatz und Schipper legen Wert darauf, dass man das Einmaleins nicht mit mechanischen Gedächtnisleistungen oder reinem Auswendiglernen gleichsetzt. Wichtig ist, dass die Schüler Einsichten in den Charakter und die Eigenschaften der Operationen, beziehungsweise der Multiplikation erwerben. Die Schüler bringen zum Einmalseins reiche Erfahrung aus ausserschulischen Bereichen mit, die in den Unterricht integriert werden können. Darauf aufbauend werden im Mathematikunterricht die zentralen Begriffe des Themas herausgearbeitet und geklärt. (1987, S. 78). Für die Bearbeitung von Sachsituationen aus der Umwelt der Kinder unterscheidet man zwischen drei Modellvorstellungen der Multiplikation: Zeitlich-sukzessiver Aspekt Ein Kind holt dreimal vier Flaschen Wasser aus dem Keller. Räumlich-simultaner Aspekt Auf dem Tisch stehen drei Teller mit Broten. Kombinatorischer Aspekt Drei Jungen und drei Mädchen bilden die Paare beim Tanzen. Für die Erarbeitung des Einmaleins bietet sich folgende methodische Grobgliederung an: Zuerst sammeln die Schüler Grunderfahrungen durch handelndes Lösen von Rechengeschichten. Sie wollen Orangensaft herstellen und kaufen darum drei Netze mit je vier Orangen. Darauf holen sie diese heraus und legen die entsprechende Anzahl mit Materialien, zum Beispiel mit Rechenplättchen. Sie lernen die Interpretationen von Darstellungen, zum Beispiel Eier in Kartonschachteln, erkennen. So werden für die Schüler die Beziehungen zwischen Umweltsituationen und Malrechnungen sichtbar. Auf allen diesen Ebenen lernen die Schüler Regelhaftigkeiten, Strukturen und Rechengesetze zu verstehen. In einem ganzheitlichen und aktiv-entdeckenden Vorgehen wachsen die Schüler gemäss ihrem individuellen Leistungsvermögen langsam in die Struktur des Einmaleins hinein. Die Schüler können zum Beispiel am 100er-Feld mit dem Punktmuster bereits bekannte Malaufgaben darstellen, nennen und berechnen. Sie können sich auch mit einzelnen Reihen und mit Zusammenhängen zwischen verwandten Reihen beschäftigen. Zum Beispiel; 3 · 6 18 und 2 · 9 18 Durch das Zusammenfassen von Punkten in Zeilen oder Spalten lernen die Schüler ein wichtiges Rechengesetz, das Kommutativgesetz: Tauschaufgaben ergeben das gleiche Ergebnis. Beispiel: OOOOOO OOOO OOOOOO OOOO OOOOOO OOOO OOOOOO OOOO 4·6 OOOO OOOO 6·4 Dabei handelt es sich um eine für das Lernspiel „Bingo relevante Einsicht. Mit den zwei Würfeln können immer zwei Multiplikationsaufgaben gerechnet werden; die Aufgabe und ihre Tauschaufgabe. Mit den Malaufgaben des „Einmaleins-Bingo wird diese wichtige Erkenntnis immer wieder in Erinnerung gerufen. Wenn nun diese Grundvorstellungen zur Multiplikation aufgebaut sind, kann mit der Automatisierung zur Verankerung im Gedächtnis begonnen werden. Die einzelnen Reihen können zum Beispiel in singender und hüpfender Form auswendig gelernt werden. Es gibt eine ganze Palette von Hilfsmitteln, die diesen Vorgang unterstützen. Mit dem Einmaleins-Bingo wird eine Übungsform in spielerischer Form geboten. Dieses Würfelspiel eignet sich zudem auch zur Überprüfung des Lernstands. Die Schüler können beim Spieler erkennen, welche Einmaleinsrechnungen sie noch nicht auswendig kennen und diese später dementsprechend üben. Nach einer ausreichenden Übungsphase der Multiplikation wird die Division eingeführt, da sie als Umkehroperation der Multiplikation verstanden wird. Differenzierungsmöglichkeiten Das Lernspiel „Einmaleins-Bingo lässt sich im Unterricht vielseitig einsetzen und bietet zahlreiche Differenzierungsmöglichkeiten. Es wird in Gruppen gespielt. Werden diese nach dem Zufallsprinzip gebildet, entstehen heterogene Gruppen. Wenn davon ausgegangen werden kann, dass alle Schüler das Einmaleins beherrschen, kann „Bingo in einer bunt zusammengewürfelten Gruppe gespielt werden. Zur Auffrischung können alle Schüler die gleichen Einmaleinsaufgaben lösen. Der Spielerfolg hängt in erster Linie vom Würfelglück ab und somit bieten sich allen Schülern die gleichen Chancen zu punkten. Da sich das Einmaleins-Bingo von den Spielregeln und vom Aufwand her einfach spielen lässt, eignet es sich sehr gut für den Einsatz im Wochenplan. Durch die verschiedenen Spielvarianten lassen sich die Inhalte so anpassen, dass verschiedene Ziele erreicht werden können. Werden Reihen oder Einmaleinsrechnungen aufgrund individueller Lernvoraussetzungen ausgewählt, sollten homogene Gruppen gebildet werden. Die verschiedenen Gruppen erhalten dann unterschiedliche Aufträge. Die eine Gruppe übt zum Beispiel die Schlüsselaufgaben, eine alle Reihen und eine weitere Gruppe übt das grosse Einmaleins. Jeder Schüler hat dann zudem die Möglichkeit die Rechnungen zu üben, die er noch nicht automatisiert hat. Das Lernspiel kann auch als individueller Einstieg in die schriftliche Multiplikation eingesetzt werden. Interaktion Die Kommunikation ist eine soziale Voraussetzung, um das Einmaleins-Bingo spielen zu können. Die Rechnungen und das Resultat werden laut vorgesagt. Es braucht eine Gesprächskultur mit verbindlichen Gesprächsregeln, an die sich alle halten müssen. Immerhin teilen sich die Kinder gegenseitig mit, ob das Resultat stimmt, das sie ausgerechnet haben oder nicht. Auch die Lehrperson muss hier ein Auge auf die Gruppe haben und darauf achten, wie die Schüler mit Fehlern umgehen. Die Schüler lernen durch das Spielen miteinander zu kommunizieren. Wenn ein Schüler eine Rechnung nicht mehr weiss, sie also nicht einfach auswendig abrufen kann, können die Mitspieler Hilfestellung leisten, indem sie ihm Tipps geben, aber das Resultat nicht verraten. Natürlich müssen die vorgeschlagenen Ideen miteinander verglichen und analysiert werden. Sie müssen auf einander eingehen und sich gegenseitig zuhören. Die Schüler sollen Spielregeln miteinander besprechen und gemeinsam festlegen. Auch wenn viele Voraussetzungen für das gemeinsame Spielen erfüllt sind, kann es zu Konflikten kommen. Die Schüler können durch das Spielen lernen, diese auszutragen und zusammen Lösungen zu suchen. Ein mögliches Thema in diesem Zusammenhang kann die Gerechtigkeit sein. Es wird gelernt, wie man damit umgeht, wenn ein Schüler das Spielergebnis zu seinen Gunsten verändert und so das Spiel gewinnt. Die Schüler lernen durch „Bingo Sozialkompetenz und werden in ihrer Kommunikationsfähigkeit weiter gefördert. Mögliche Stolpersteine Wenn die Schüler das Würfelspiel Einmaleins-Bingo selbstständig durchführen, kann es dazu kommen, dass auf dem Spielplan falsche Ergebnisse aufgeschrieben werden. Es ist deshalb wichtig, die Spielpläne gegenseitig zu kontrollieren. Zudem kann es vorkommen, dass falsche Zahlen auf dem Spielplan angekreuzt werden. Fallen solche Fehler niemandem auf, kann es dazu führen, dass die Schüler sich falsche Ergebnisse einprägen. Es kann gemogelt werden, indem Schüler absichtlich Ergebnisse ankreuzen, die gar nicht gerechnet wurden. Dies kann zu Streitereien führen. Vielleicht finden die Schüler aber gemeinsam einen Weg, wie sie unfaires Spielen verhindern können. Beim Spielen sind die Schüler darauf angewiesen, dass sie sich gegenseitig korrigieren. Herrscht in der Klasse keine angemessene Gesprächskultur, kann dies zu Unstimmigkeiten führen. Es besteht die Gefahr, dass Schüler, die ein falsches Ergebnis sagen, ausgelacht werden. Das Spiel kann sich als langweilig erweisen, denn da die Rechnungen durch den Zufall des Würfelns entstehen, können Wiederholungen auftreten. Es kann passieren, dass immer wieder die gleichen Rechnungen vorkommen und das Lernspiel über lange Zeit zu keinem Ende führt. Zudem kann es sein, dass so wiederholt einfache Rechnungen gelöst werden müssen, wie zum Beispiel 1 · 6 oder 0 · 5. In diesem Fall sind die Schüler aufgefordert, im Gespräch mit der Gruppe oder mit der Lehrperson eine Lösung zu finden. Zusammenfassung Mit dem Einmaleins-Bingo wird hauptsächlich das kleine Einmalseins geübt. Es bietet jedoch auch Spielvarianten, in denen mit grösseren Zahlen gerechnet wird. Je nach Rechenfertigkeiten der Schüler können bestimmte Spielvarianten ausgewählt werden. Der Spielablauf ist bei allen Spielvarianten der gleiche. Die Spielregeln sind