Arbeitsblatt: Platonische Körper

      Die  5  platonischen   Körper   Eine  Lernwerkstatt  zu  den   vollkommenen  Polyedern           Semesterarbeit  Mathematik   Sekundarstufe  I   Fachhochschule  Nordwestschweiz   Pädagogische  Hochschule         Perriard  Sabine                   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     INHALTSVERZEICHNIS   1.  Einleitung 3   2.  Die  5  platonischen  Körper . 4   2.1  Kurzer  geschichtlicher  Überblick . 4   2.2  Die  5  Körper. 6   2.2.1  Das  Tetraeder. 6   2.2.2  Das  Hexaeder 6   2.2.3  Das  Oktaeder 7   2.2.4  Das  Ikosaeder. 7   2.2.5  Das  Dodekaeder 7   3.  Informationen  zur  Werkstatt . 8   3.1  Einleitung 8   3.2  Niveau. 8   3.3  Umsetzung 8   3.4  Lehrervorbereitung 10   4.  Werkstatt.11   Schüleranleitung11   Lernüberprüfung.13   Posten  1:  Theorieeintrag .14   Posten  2:  Beweis18   Posten  3:  Abwicklungsmodelle .22   Posten  4:  Tabelle .28   Posten  5:  Symmetrien .31   Posten  6:  Platonische  Körper  aus  der  Natur .34   Posten  7:  Bastelecke1:  Flechten .38   Posten  8:  Bastelecke  2:  Bausteine48   Posten  9:  Fussball .49   Posten  10:  Quiz 51   5.  Reflexion55   Literatur-‐  und  Internetseitenverzeichnis 56     2   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Die  5  platonischen  Körper   1.  EINLEITUNG   Die  platonischen  Körper  sind  eine  Unterkategorie  der  Polyeder.  Ein  Polyeder  ist  ein  Körper   mit   vier   oder   mehr   ebenen   Seitenflächen.   Die   Besonderheit   eines   platonischen   Körpers   ist   diejenige,   dass   er   aus   regelmässigen   Seitenflächen   besteht,   die   deckungsgleich   sind.   Später   werde   ich   auf   die   einzelnen   platonischen   Körper   und   deren   Seitenflächen   eingehen.   Diese   regulären   Polyeder   werden   „platonische   Körper   genannt,   da   der   griechische   Philosoph   Platon   versuchte,   den   Aufbau   des   ganzen   Universums   damit   zu   erklären.   Platon   hat   aber   überhaupt   nichts  mit  deren  Entdeckung  zu  tun.     Polyeder,  und  damit  auch  die  fünf  platonischen   Körper,   gehören   zum   Bereich   der   Stereometrie.   Stereometrie   wird   oft   dem   Niveau   der   Sekundarstufe   II   zugeschrieben.   Trotzdem   erachte   ich   es   für   wichtig,   dass   das   räumliche   Denken   und   Sehen  bereits  in  der  Sekundarstufe  I  geschult  wird.   Deshalb  habe  ich  in  meiner  Arbeit  versucht,  dieses   komplexe   Thema   so   anzupassen,   dass   es   auch   in   der  ersten  Sekundarstufe  eingeführt  werden  kann.  Dazu  habe  ich  eine  Werkstatt  entwickelt,  in   der   die   Schüler   und   Schülerinnen   das   Thema   selbstständig   und   in   ihrem   eigenen   Tempo   erarbeiten  können.  Darin  sind  sowohl  spielerische  als  auch  geometrische  Übungen  enthalten.       3   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     2.  DIE  5  PLATONISCHEN  KÖRPER   2.1  Kurzer  geschichtlicher  Überblick   So  ziemlich  die  ältesten  regulären  (oder   halbregulären)   Körper   wurden   in   Schottland   gefunden.   Dort   fand   man   Steinkugeln,   die   graviert   sind   und   unzählige   Knoten   aufweisen.   Sie   sind   ungefähr   70mm   gross   und   sollen   über   4000   Jahre   alt  sein.   Dessen  Verwendung  und  Bedeutung  ist  jedoch  noch  ungeklärt.     Auch   bei   den   Ägyptern   tauchten   regelmässige   Körper   auf.   Ihre   Pyramiden   mit   der   quadratischen   Grundfläche   sind   im   Grunde   die   Hälfte  eins  Oktaeders.   Die  Römer  konstruierten  Dodekaeder,  wovon  in   der  Schweiz  92  gefunden  wurden.  Auch  bei  diesen  ist  man  sich  nicht  sicher,  wofür   sie   verwendet   wurden.   Vielleicht   waren   diese   Waffen,   Spielzeuge,   Kerzenhalter,   religiöse  Symbole  oder  irgendetwas  anders.       PLATON   (ca.   428   -‐   ca.   348   v.   Chr.),   schrieb   jedem   platonischen   Körper   ein   Element   zu.   Er   versuchte,   den   ganzen   Kosmos   damit   zu   erklären.   So   war   der   Würfel   das   Element   Erde,   das   Ikosaeder   war   das   Wasser,   das   Tetraeder   Feuer   und   das   Oktaeder   war   die   Luft.   Die   Oberflächen   der   Körper   waren   so   konstruiert,   dass   jede   Oberfläche   jeweils   aus   verschieden   grossen   und   vielen   Dreiecken   besteht.   So   konnten   diese   Elemente   miteinander   reagieren   durch   die   Umlagerung   von   Dreiecken.     Das   Dodekaeder   war   der   Himmelsäther   (quinta   essentia),   wobei   jede   Seitenfläche   ein   Sternbild   darstellte.     Die   platonischen   Körper   wurden   daher   nach   Platon   benannt.     Auch  EUKLID  (ca.  300  v.  Chr.)  beschäftigte  sich  mit  den  platonischen  Körpern.  So  behandelte   er  deren  Konstruktion  mit  Zirkel  und  Lineal.  Er  schrieb  die  Körper  in  Umkugeln  ein  und  zeigte,   dass   eine   Beziehung   zwischen   den   Umkugeln   und   den   Kantenlängen   besteht.   Ausserdem   begründete  er,  warum  es  höchstens  fünf  davon  geben  kann.   KEPLER   (1571   –   1630)   entwickelte   ein   Planetenmodell,   mit   dem   die   Radienverhältnisse   der   Planeten   dargestellt   werden   soll.   So   sind   die   fünf   Körper  mit  ihrer  jeweilige  In-‐  und  Umkugel  ineinander  geschachtelt.  Dabei  ist   eine  Umkugel  die  Inkugel  des  nächstgrösseren  Körpers.       4   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Noch  heute  sind  die  platonischen  Körper  ein  faszinierendes  Thema  für  viele  Mathematiker.   Wahrscheinlich  ist  deren  vollständige  Entdeckung  aus  verschiedenen  Sichten  noch  längst  nicht   abgeschlossen.     5   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   2.2  Die  5  Körper   Wie  bereits  erwähnt,  sind  die  fünf  platonischen  Körper  reguläre  Polyeder.  Die  Bezeichnung   Polyeder   stammt   aus   dem   Griechischen.   Der   zweite   Wortteil   -eder   bedeutet   „Fläche   und   poly   heisst   „viel.   Wörtlich   ist   ein   Polyeder   ein   „Vielflach,   das   heisst   ein   Körper,   der   von   ebenen   Flächen  begrenzt  wird.  Auch  die  Namen  für  die  platonischen  Körper  kommen  vom  Griechischen.   Dabei   wird   der   Name   aus   einer   Vorsilbe   und   dem   Wortteil   „-‐eder   zusammengesetzt.   Die   Vorsilbe   deutet   darauf   hin,   wie   viele   Seiten   ein   jeweiliger   Körper   besitzt.   Zum   Beispiel   das   Tetraeder  hat  4  Seitenflächen,  wobei  tetra  mit  vier  übersetzt  werden  kann.   Die  platonischen  Körper  sind  so  aufgebaut,  dass  sie  jeweils  eine   räumliche  Erweiterung  zu   den   regelmässigen   Vielecken   sind.   Alle   Oberflächen   eines   platonischen   Körpers   sind   regelmässige,   das   heisst   gleichseitige   und   gleichwinklige,   Vielecke,   die   kongruent   sind.   Das   heisst,  wenn  diese  Vielecke  aufeinander  gelegt  werden,  sind  die  Flächen  immer  deckungsgleich.   Ausserdem  kommen  an  jeder  Ecke  gleich  viele  Kanten  zusammen.   Häufig   werden   die   platonischen   Körper   als   vollkommen   regelmässig   (symmetrisch)   bezeichnet.   Es   gibt   nur   diese   fünf   vollkommen   symmetrischen   Polyeder.   Für   eine   Ecke   im   Raum   benötigt  es  mindestens  3  Flächen,  deren  Winkelsumme  kleiner  als  360  sein  muss.  Dies  trifft  nur   bei  den  fünf  platonischen  Körpern  zu.     Wie  die  regelmässigen  Vielecke  einen  In-‐  und  Umkreis  haben,  besitzen  auch  die  platonischen   Körper   jeweils   eine   Inkugel   und   Umkugel.   Die   Inkugel   wird   dem   Körper   einbeschrieben.   Sie   berührt   alle   Flächenmittelpunkte   des   Körpers.   Die   Umkugel   hingegen   berührt   alle   Ecken   und   umhüllt   den   Körper.   Zusätzlich   gibt   es   die   Kantenkugel,   die   alle   Kanten   genau   in   deren   Mitte   berührt.  Im  Gegensatz  zu  den  ersten  beiden  zerschneidet  diese  dritte  Kugel  den  Körper  jedoch.     2.2.1  Das  Tetraeder   Das   Tetraeder   besteht   aus   vier   (tetra)   regelmässigen   Dreiecken   als   Seitenflächen.   Es   hat   vier   Ecken   und   insgesamt  sechs  Kanten.  Die  Winkelsumme  einer  Ecke  des   Tetraeders   beträgt   180,   da   drei   gleichseitige   Dreiecke   zusammenkommen.   Das  heisst,  es  ist  vollkommen  symmetrisch.   2.2.2  Das  Hexaeder   Das   Hexaeder   ist   eher   bekannt   als   Würfel.   Der   Würfel   hat   sechs   (hexa)   Quadrate  als  Seitenflächen,  acht  Ecken  und  zwölf  Kanten.  In  einer  Ecke,  an  der   drei   Quadrate   zusammenstossen,   ist   die   Winkelsumme   270.   Würden   vier   oder   mehr     6   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Seitenflächen   zusammenstosse,   wäre   die   Winkelsumme   360   oder   grösser,   und   somit   nicht   mehr  vollkommen.     2.2.3  Das  Oktaeder   Das   Oktaeder   wird   aus   acht   (okta)   gleichseitigen   Dreiecken   als   Seitenflächen   zusammengesetzt.   Die   Eckenanzahl   beträgt   sechs   und   die   Kantenanzahl   ebenfalls   zwölf.   Die   Winkelsumme   einer   Ecke,   an   der   vier   regelmässige   Dreiecke   aufeinander   treffen,   beträgt   240,   also   noch   deutlich   unter   der   360-‐Grenze.   2.2.4  Das  Ikosaeder   Auch   das   Ikosaeder   besteht   aus   gleichseitigen   Dreiecken.   Es   hat     20   (ikosa)   Seitenflächen,   zwölf   Ecken   und   30   Kanten.   Auch   hier   liegt   die   Winkelsumme   noch   unter   360.     An   einer   Ecke   kommen   fünf   der   Seitenflächen   zusammen,   was   die   Summe   von   300   ausmacht.   Deshalb   ist   auch   das   Ikosaeder   vollkommen.   Es   existiert   kein   vollkommenes   Polyeder   mit   einer   Ecke,   die   aus   sechs   gleichseitigen   Dreiecken  zusammengesetzt  wird.     2.2.5  Das  Dodekaeder   Das   Dodekaeder   hat   zwölf   (dodeka)   regelmässige   Fünfecke   als   Seitenflächen.   Deshalb   wird   es   auch   als   Pentagon-‐Dodekaeder   bezeichnet.   Insgesamt   hat   es   20   Ecken   und   30   Kanten.   Auch   das   Dodekaeder   ist   vollkommen.   Die   Winkelsumme   einer   Ecke,   die   aus   3   Fünfecken   gebildet   wird,   ist   324   und   deshalb   ist   auch   das   Dodekaeder  vollkommen.     7   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     3.  INFORMATIONEN  ZUR  WERKSTATT   3.1  Einleitung   Die   platonischen   Körper   sind   ein   sehr   umfassendes   Thema.   Sie   kommen   nicht   nur   in   der   Mathematik  vor,  sondern  auch  in  der  Kunst,  in  Bastelbüchern  und  sogar  in  der  Kunst  und  Natur.   Deshalb  ist  es  auch  sehr  spannend,  diese  besonderen  Körper  einmal  genauer  in  Augenschein  zu   nehmen.   Die   Werkstatt   bietet   eine   Möglichkeit,   diese   Körper   in   der   Sekundarstufe   I   zu   behandeln.     3.2  Niveau   Die   platonischen   Körper   gehören   zur   Stereometrie.   Stereometrie   ist   die   Lehre  des  Raumes.   Dazu   braucht   es   ein   gutes   Vorstellungsvermögen,   da   auf   den   ersten   Blick   Körper   auf   Papier   zweidimensional  wirken.  Oft  wird  Stereometrie  erst  in  der  Sekundarstufe  II  behandelt.  Doch  je   eher   die   dritte   Dimension   geübt   wird,   umso   einfacher   wird   es   später.   Trotzdem   wird   bei   den   platonischen  Körpern  viel  Vorwissen  benötigt.  Zum  Beispiel  könnten  in  einem  weiteren  Schritt,   zusätzlich   zur   Werkstatt,   Seiten,   Winkel   und   Flächen   berechnet   werden.   Deshalb   ist   diese   Werkstatt  eher  für  das  Niveau  P1  geeignet.   3.3  Umsetzung   Die   Werkstatt   ist   so   aufgebaut,   dass   nicht   nur   Rechnungen,   sondern   auch   Theorie   und   spielerische  Umsetzung  enthalten  sind.  Diese  verschiedenen  Lernformen  sollen  dazu  beitragen,   die   Werkstatt   attraktiv,   interessant   und   vielseitig   zu   gestalten.   Natürlich   sind   einige   Posten   schwieriger   und   komplizierter   als   andere.     Der   erste   Posten   mit   dem   Theorieeintrag   könnte   eventuell  in  der  Klasse  erarbeitet  werden.  Für  einige  Posten  ist  es  nötig,  die  Theorie  bereits  zu   kennen.  Die  Schüler  und  Schülerinnen  sollen  die  Möglichkeit  erhalten,  dieses  Thema  selbständig   zu   entdecken.   Mit   einer   Werkstatt   erhalten   die   Schüler   auch   die   Gelegenheit,   in   ihrem   individuellen  Lerntempo  vorzugehen.  Dabei  wird  stark  an  die  Eigenverantwortung  der  Schüler   appelliert.  Die  Lehrperson  steht  eher  im  Hintergrund,  gibt  aber  Hilfestellung,  wenn  nötig.       Bei  einigen  Posten  ist  es  möglich,  dass  die  Lösungen  selbstständig  überprüft  werden  können.   Das   Lösungsblatt   zur   Selbstkontrolle   sollte   aber   stets   bei   der   Lehrperson   sein   und   nur                                                                                                                             1  Bezieht   sich   auf   die   Schulart   der   Oberstufe   im   Kanton   Basel-‐Land,   wobei   Niveau   P   der   progymnasialen  Stufe  entspricht.     8   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   abgegeben   werden,   wenn   die   Schüler   ihre   eigenen   Lösungen   vorweisen.   Oft   kommen   Schüler   und   Schülerinnen   in   die   Versuchung,   zuerst   die   Lösungen   durchzugehen,   bevor   sie   etwas   selbstständig   erarbeiten.   Dem   sollte   auf   diese   Weise   entgegengewirkt   werden.   9   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     3.4  Lehrervorbereitung   Natürlich  kann  sich  die  Lehrperson  nicht  einfach  zurücklehnen,  während  die  Klasse  an  der   Werkstatt   arbeitet.   Es   gibt   viel   zum   Vorbereiten   für   die   Lehrperson.   In   diesem   Unterkapitel   werden  die  Punkte  aufgezeigt,  die  vor  dem  Werkstattbeginn  gemacht  werden  müssen.   Allgemein:   Schüleranleitung  und  Lernüberprüfung  für  die  ganze  Klasse  farbig  kopieren   Alle  Postenblätter  ausdrucken  und  laminieren   Lösungsblätter  ausdrucken  und  laminieren   Körpermodelle  bereitstellen   Scheren,  Leimstifte,  Büroklammern  und  Papier  bereitlegen   Posten  1:   Theorieblätter  für  die  ganze  Klasse  kopieren   Farbstifte  bereitstellen   Posten  2:   Arbeitsblatt  für  die  ganze  Klasse  kopieren   Vielecke  laminieren,  ausschneiden  und  zum  Posten  legen   Posten  3:    Modellblätter  für  die  ganze  Klasse  kopieren  (für  jedes  Modell  eine  andere  Farbe)   Posten  4,  5,  6:   Arbeitsblatt  für  ganze  Klasse  kopieren   Posten  7:   Anleitungen  ausdrucken  und  laminieren   Würfel:  Farbige  Kopien  (6  rote,  6  blaue,  6  gelbe,  6  grüne)   Tetraeder:  Farbige  Kopien  (12  rote,  12  grüne)   Dodekaeder:   Farbige   Kopien   (4   hellblaue,   4   grüne,   4   blaue,   4   hellgrüne,   4   dunkelblaue,  4  türkis)   Oktaeder:  Farbige  Kopien  (6  rote,  6  blaue,  6  gelbe,  6  grüne)   Ikosaeder:  Farbige  Kopien  (8  grüne,  8  rote,  8  blaue)   Posten  8:   Bereitstellen  der  Bausteine,  wenn  vorhanden,  sonst  Posten  weglassen   Posten  9:   Bereitstellen  eines  älteren  Fussballs   Arbeitsblätter  für  die  ganze  Klasse  kopieren   Papier  und  Bausteine  bereitstellen   Posten  10:     10   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Arbeitsblatt  für  die  ganze  Klasse  kopieren   4.  WERKSTATT   Schüleranleitung   Du wirst nun in die Welt der platonischen Körper eintauchen. Dafür musst du eine Werkstatt durchlaufen und einzelne Posten bearbeiten. Du musst nicht nur Theorie betreiben, sondern wirst auch Basteln und Knobeln. Beachte dabei folgende Regeln: Das laminierte Postenblatt bleibt immer beim Posten und wird nicht mit nach Hause genommen. Wenn du es trotzdem brauchst, kopiere ich es für dich. Von den Aufgabenblättern, Anleitungen oder Schablonen darfst du jeweils eines behalten. Bevor du einfach mit dem Lösen beginnst, lies sorgfältig das Postenblatt durch. Wenn du Fragen hast, frage zuerst deine Mitschüler. Vielleicht können sie dir helfen. Wenn auch sie nicht weiter wissen, können wir der Frage in einer kleinen Gruppe oder in der ganzen Klasse nachgehen. Die obligatorischen Posten müssen gelöst werden. Wenn du zu wenig Zeit in der Stunde hast, beendest du die Aufgabe zu Hause. Nach dem Beenden eines Postens, kommst du zu mir und zeigst mir deine Lösungen. Dann gebe ich dir (wo nötig) ein Lösungsblatt und du kannst den fertigen Posten in der Lernüberprüfung abhaken. Die Lernziele sollen dir dabei helfen, was du nach der Werkstatt wissen solltest. Klebe als erstes den Theorieeintrag in dein Heft. Danach klebst du die Arbeitsblätter, sobald du sie gelöst hast, auch in dein Heft. Zeichenerklärung:   Ziele     Material                 Auftrag       Zeit       11   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Viel  Spass!!!     12   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Lernüberprüfung   P1 Was Theorie P2 Beweis P3 Abwicklung P4 Tabelle P5 Symmetrien P6 Umwelt P7 Flechten P8 Bausteine P9 Fussball P10 Quiz Lernziel Ich kenne die 5 platonischen Körper und kann deren Eigenschaften aufzählen. Ich weiss, dass es nur fünf vollkommene Körper gibt und kann dies begründen. Ich kenne die Abwicklungsmodelle und somit den Aufbau der Körper. Ich kenne genauere Eigenschaften der fünf Körper und weiss den Zusammenhang zwischen Ecken-, Kanten-, und Flächenzahl. Ich kenne einige Symmetrien in den Körpern und kann für jeden Körper 2 aufzählen. Ich weiss, dass die platonischen Körper nicht nur in der Mathematik vorkommen und kann vier Erscheinungen in der Umwelt aufzählen. Ich kann mindestens einen Körper aus Flechtstreifen machen. Ich kann mindestens einen Körper aus Steckteilen basteln. Ich weiss, dass der Fussball kein platonischer Körper ist, aber diesen sehr ähnlich. Repetition Legende EA Einzelarbeit AB Arbeitsblatt obligatorisch Arbeitsform EA Fertig EA PA PA EA EA EA PA PA EA EA PA PA EA PA Partner- oder Gruppenarbeit LB Lösungsblatt freiwillig   13   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Posten  1:  Theorieeintrag     Du lernst nun die einzelnen platonischen Körper und deren Eigenschaften kennen.   Kopie der Theorie Schreibzeug Farbstifte   Lies sorgfältig die Theorie durch! Male danach die sichtbaren Teile der Körper dünn an. Nimm dazu für jeden Körper eine andere Farbe. Ich werde den zusätzlichen Auftrag korrigieren.   15 Minuten     14   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Theorieeintrag:  Die  fünf  platonischen  Körper     Die fünf platonischen Körper gehören zu den Polyedern und sind regelmässig. Ein Polyeder ist genau dann regelmässig, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: Die Oberfläche ist aus lauter gleichen Vielecken zusammengesetzt. Diese Vielecke sind regelmässig! An jeder Ecke stossen genau gleich viele Seitenflächen und Kanten aufeinander. Alle Ecken liegen auf einer Kugeloberfläche. Oft werden die fünf platonischen Körper auch als vollkommen bezeichnet. Wie dem dritten Punkt entnommen werden kann, besitzen die platonischen Körper eine Umkugel. Sie haben aber auch eine Inkugel, die alle Mittelpunkte der Seitenflächen von innen berührt. Wie du bereits weisst, ist ein Vieleck genau dann regelmässig, wenn alle Seiten gleich lang (gleichseitig) und alle Winkel gleich gross (gleichwinklig) sind.     15   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Vorstellungsrunde Tetraeder: Das Tetraeder ist aus vier gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt. Oktaeder: Das Oktaeder ist aus acht gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt. Hexaeder Würfel: Der Würfel besteht aus 6 Quadraten, also regelmässigen Vierecken. Ikosaeder: Das Ikosaeder wird aus 20 regelmässigen Dreiecken zusammengesetzt. Das Dodekaeder: Das Dodekaeder besteht aus zwölf regelmässigen Fünfecken (Pentagone).   16   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Auftrag: Male nun die sichtbaren Flächen der Körper dünn an. Benutze für jeden Körper eine neue Farbe. Zusatzaufgabe: Fällt dir etwas an den Namen der Körper auf? Wie stehen sie im Zusammenhang mit der Anzahl der Seitenflächen? Notiere deine Erkenntnisse: Was denkst du, bedeutet der Wortteil „-eder?       17   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Posten  2:  Beweis     Hier erfährst du, warum es nur diese fünf vollkommenen Körper geben kann.   Arbeitsblatt Schreibzeug Laminierte Vielecke   Folge genau dem Arbeitsblatt und ergänze die fehlenden Lücken. Dabei führst du die Versuche aus. Bring mir danach dein Arbeitsblatt zur Korrektur.   15 Minuten   18   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     AB:  Beweisführung     Betrachte zu Beginn erst mal eine Zimmerecke. Der Winkel einer Zimmerecke (Wand-Boden) beträgt genau und es treffen Flächen aufeinander. Damit überhaupt eine Ecke entsteht, muss die Summe aller Winkel kleiner als sein. Wäre der Winkel nun gleich hätten wir eine . Wäre der Winkel sogar grösser, wäre die Ecke nach aussen „gebogen und somit keine Zimmerecke mehr. Bei den platonischen Körpern verhält es sich genau gleich. Wir möchten einen in sich geschlossenen Körper erhalten, deshalb darf keine Ecke grösser als 360 sein und es müssen mindestens 3 Flächen zusammenkommen. Wie du in der Theorie bereits erfahren hast, sind die platonischen Körper Polyeder. Das bedeutet, sie haben folgende Eigenschaften: Versuch mit Dreiecken: Nimm als erstes die regelmässigen Dreiecke als Seitenflächen. Wir setzen nun 3, 4, 5 und 6 Dreiecke aneinander, um zu sehen wie gross der Winkel ist. Überlege dir dabei, wie gross ein Winkel eines gleichseitigen Dreiecks ist! Berechne folgende Winkel: 3 Dreiecke: 4 Dreiecke: 5 Dreiecke:   19   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   6 Dreiecke: Daraus folgt, dass höchstens Dreiecke aufeinandertreffen dürfen, damit wir eine Ecke erhalten. Versuch mit Quadraten: Wie viele Quadrate benötigt es für eine Ecke? Lege 3 Quadrate aneinander. Der Winkel ist . Lege 4 Quadrate aneinander. Der Winkel ist und somit keine Ecke mehr, sondern eine. Versuch mit Fünfecken: Als nächstes legst du 3 und 4 Fünfecke aneinander. Rechne dann den Winkel aus: 3 Fünfecke 4 Fünfecke Also gibt es nur ein Polyeder mit Fünfecken als Seitenfläche und nicht mehr. Versuch mit Sechsecken oder mehr: Auch hier liegt die Winkelsumme mit 3 Sechsecken, Siebenecken oder mehr bereits bei 360 oder drüber. Deshalb können keine Ecken gebildet werden. Wenn keine Ecken gebildet werden können, erhalten wir auch keinen Körper.       20   Perriard  Sabine       Semesterarbeit  SLA  1   Vorlage:  Vielecke       21   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1       Posten  3:  Abwicklungsmodelle     Bei diesem Posten lernst du den Aufbau der platonischen Körper näher kennen.   Modelle der Körper Abwicklungsmodelle Schere Klebestift   Ordne die Abwicklungsmodelle dem richtigen Körper zu! Schneide zwei Modelle aus. Falte sie und klebe sie zusammen, wenn sie die Form des Körpers haben. Fett Schwarz Schneidelinien Grau Klebelaschen Die anderen machst du zu Hause.   20 Minuten   22   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Modell  1     23   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Modell  2     24   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Modell  3       25   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Modell  4     26   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Modell  5       27   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Posten  4:  Tabelle     Hier findest du selbstständig die wichtigsten Daten der platonischen Körper heraus.   Modelle der Körper Arbeitsblatt mit Tabelle Schreibzeug   Setze dich mit den fünf Körpern genauer auseinander und fülle die Tabelle aus! Die Lösungen zur Korrektur kannst du bei mir holen.   15 Minuten     28   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     AB:  Eckdaten  der  platonischen  Körper     Ecken   Kanten   Flächen         Bild   Tetraeder Oktaeder                         Würfel Ikosaeder Dodekaeder       Zusatzaufgabe: Erkennst du eine Regelmässigkeit in den Zahlen? Wenn ja, welche? LB:  Eckdaten  der  platonischen  Körper     Ecken Kanten Flächen Bild     29   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Tetraeder 4 6 4 Oktaeder 6 12 8 Würfel 8 12 6 Ikosaeder 12 30 20 Dodekaeder 20 30 12             Regelmässigkeit:   Anzahl  Ecken  –  Anzahl  Kanten    Anzahl  Flächen    2   30   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Posten  5:  Symmetrien     Hier lernst du die Schönheiten und Symmetrien der vollkommenen Körper.   Modelle der Körper Arbeitsblatt Schreibzeug   Schaue dir die fünf Körper genau an! Erkennst du irgendwelche Symmetriearten? Schreibe diese auf das Arbeitsblatt und korrigiere es anschliessend mit dem Lösungsblatt.   20 Minuten     31   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     AB:  Symmetrien     Symmetrien im Tetraeder: Symmetrien im Oktaeder: Symmetrien im Würfel: Symmetrien im Ikosaeder: Symmetrien im Dodekaeder:   32   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   LB:  Symmetrien     Symmetrien im Tetraeder: Drehsymmetrien: durch Ecke und Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche (Drittelsdrehungen) durch Mittelpunkte zweier gegenüberliegenden Kanten (halbe Drehungen, 180) Ebenensymmetrie: jeweils durch eine Kante und senkrecht durch die gegenüberliegende Ebene Symmetrien im Oktaeder: Drehsymmetrie: durch gegenüber liegende Ecken (Viertelsdrehung bzw. um 90) durch Mittelpunkte gegenüber liegender Flächen (Drittelsdrehung) durch Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten (halbe Drehung) Ebenensymmetrie: Ebene durch vier Ecken Ebene durch zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte Punktsymmetrie durch den Mittelpunkt des Oktaeders Symmetrien im Würfel: Drehsymmetrie: durch Mittelpunkte gegenüber liegender Seiten (Viertelsdrehung) durch gegenüber liegende Ecken (Drittelsdrehung) durch Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten (halbe Drehung) Ebenensymmetrie: Ebene durch vier Ecken Ebene durch vier Kantenmittelpunkte Punktsymmetrie durch Mittelpunkt des Würfels Symmetrien im Ikosaeder: Drehsymmetrie: durch gegenüberliegende Ecken (Füntelsdrehung) durch Mittelpunkte gegenüber liegender Flächen (Drittelsdrehung) durch Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten (halbe Drehung) Ebenensymmetrie: Ebene durch einander gegenüber liegende Kanten Punktsymmetrie durch den Mittelpunkt des Ikosaeders Symmetrien im Dodekaeder: Drehsymmetrie: durch gegenüber liegende Flächenmittelpunkte (Füntelsdrehung) durch gegenüber liegende Ecken (Drittelsdrehung) durch Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten (halbe Drehung) Ebenensymmterie: Ebene durch einander gegenüber liegende Kanten Punktspiegelung durch den Mittelpunkt des Dodekaeders   33   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Posten  6:  Platonische  Körper  aus  der  Natur     Bei diesem Posten wirst du lernen, dass die platonischen Körper nicht nur in der Mathematik vorkommen, sondern auch in der Umwelt, Architektur oder Kunst.   Arbeitsblatt Schreibzeug   Nimm ein Arbeitsblatt. Welchen Körper stellen die Bilder dar? Begründe kurz deine Wahl! Das Lösungsblatt zur Korrektur kannst du bei mir holen.   10 Minuten   34   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1       35   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     AB:  Platonische  Körper  aus  der  Umwelt   Kristalle: Virus: Algen: Gemälde: Bauten:   36   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     LB:    Platonische  Körper  aus  der  Umwelt   Kristalle: Dodekaeder Fünfecke Würfel Quadrate Virus: Algen: Ikosaeder Dreiecke wenn man genau hinschaut Dodekaeder wieder Fünfecke Gemälde: Dodekaeder Fenster sind Fünfecke Bauten: Ikosaeder viele Dreiecke (mit Unterteilung) Oktaeder Hälfte davon Ikosaeder 3 Reifen bilden ein Dreieck oder Dodekaeder Jeder Reifen ein „Fünfeck   37   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Posten  7:  Bastelecke1:  Flechten     Hier kannst du dein Geschick beweisen und Körper aus Flechtstreifen basteln ohne Leimstift zu gebrauchen.   Schere Flechtstreifen Büroklammern Geduld und Geschick   Wähle einen Körper aus. Lies sorgfältig die Anleitung durch. Nimm die dazugehörigen Flechtstreifen, schneide sie aus und versuche den Körper zu basteln. Schwarz Schneidelinien Rot Faltlinien Wenn du willst, kannst du die anderen zu Hause versuchen! Viel Spass!   45 Minuten     38   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Anleitung  Würfel   1. 2. Schneide je einen roten, blauen, grünen und gelben Streifen aus. Beschrifte jeden Streifen, wie auf dem abgedildeten Bild. Dabei ist die Winkelbezeichnung z2 nur auf dem roten und z1 nur auf dem grünen Streifen nötig. Danach faltest du jeden Streifen längs der Kanten k. Achte darauf, dass du alles in die gleiche Richtung (gleichsinnig) faltest. Lege nun die Streifen so auf den Tisch wie auf dem Bild. Befestige an jeder Ecke eine Büroklammer (siehe Pfeil auf Bild). Klappe an der Kante 1 des roten Streifens hoch. Ziehe den grünen Streifen links so vor den roten Streifen, dass der Winkel z1 des grünen den Winkel z2 des roten Streifens zudeckt. Setze eine Büroklammer in den Winkel z1. Löse die Klammer zwischen dem roten und blauen Streifen. Klappe an der Kante 1 des gelben Streifens hoch. Nimm den gelben Streifen bei und ziehe ihn zwischen dem blauen und dem grünen Streifen durch, so dass der Winkel des gelben den Winkel des grünen Streifens bedeckt. Setze eine Büroklammer in den Winkel x. Löse die Klammer zwischen dem roten und gelben Streifen. Klappe an der Kante 1 des grünen Streifens hoch. Nimm den grünen Streifen bei und ziehe ihn zwischen dem roten und dem blauen Streifen durch. Der Winkel des grünen bedeckt nun den Winkel des blauen Streifens. Setze eine Klammer in den Winkel x. Löse die Klammer zwischen den gelben und grünen Streifen. Nimm den blauen Streifen bei und ziehe ihn zwischen dem gelben und roten Streifen durch. Der Winkel des grünen bedeckt den Winkel des blauen Streifens. Setze eine Klammer in den Winkel x. Löse die ersten beiden Büroklammern. Ziehe den roten Streifen bei vor den gelben Streifen. Jetzt sollten der Boden und die vier Seitenwände fertig sein. Löse alle Klammern. Klappe das rote Dreieck (Z) nach innen Deckel Das gelbe Dreieck bei nach innen klappen, dann das grüne und das blaue. Das rote Dreieck mit nach innen klappen, das gelbe, das grüne. Dann das blaue Dreieck (E) über das grüne aber unter das rote Dreieck. FERTIG!!! 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.   39   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Anleitung  Dodekaeder   1. Schneide jeweils einen hellblauen, blauen, grünen, hellgrünen, dunkelblauen und türkisfarbenen Streifen aus. Falte alle Streifen an den Linien nach innen (gleichsinnig). Danach legst du die ersten fünf Streifen nacheinander aufeinander. Folge dabei den Bildern. Achte gut darauf, welcher Streifen unten und welcher oben liegt! 2. 3. 4. Fixiere jetzt mit Büroklammern die mit markierten Stellen. Nun musst du alle Streifen an den rot markierten Kanten hochklappen. Bringe jeweils die Punkte mit derselben Zahl übereinander. Das kürzere Streifenende muss dabei aussen liegen (also unter dem längeren). Fixiere diese Punkte. An jede rot markierte Kante grenzt nun ein halbfertiges Fünfeck. Es ist noch nicht komplett, da es nur 4 statt 5 Farben hat. Deshalb braucht es jetzt den 6. Streifen. Flechte ihn ringsherum so ein, dass eine Innenraute (i) von einer Aussenraute (ohne Bezeichnung) des 6. Streifens abgedeckt wird. Du kannst dabei die fixierten Punkte (F) lösen. Jetzt kannst du auch die nummerierten Punkte auch lösen. Verflechte nun die fünf Papierstreifen ineinander. Am Schluss bilden die Streifenenden das Dach für das Dodekaeder. 5. 6. 7. 8. 9. 10.     40   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Anleitung  Ikosaeder   1. 2. Schneide je einen grünen, blauen und roten Streifen aus. Falte alle Streifen gleichsinnig (in die gleiche Richtung) längs den Faltlinien. Folge nun der Flechtanleitung. a1, a2, a3 stehen für die Aussenvierecke. Das heisst, diese sind immer aussen am Körper. i1, i2, i3, bedeutet Innenviereck und sind stets innen im Körper. Das bedeuten die Pfeile: beide Pfeile zeigen nach oben: Lege die Streifen in gleicher Orientierung aufeinander. Die Pfeile zeigen in entgegengesetzter Richtung: Lege die Streifen auch in entgegengesetzter Orientierung aufeinander. 3. Flechtanleitung: i3a6, i6a9 i9a2, i2a5 i10a3, i7a10 i5a8, i4a7 i8a1 und i1a4   41   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Anleitung  Oktaeder     1. 2. 3. Schneide je einen grünen, gelben, roten und blauen Streifen aus. Falte die Streifen alle nach innen. Versuche nun die Streifen nacheinander so ineinander zu flechten, dass du ein Oktaeder erhältst. Vielleicht hilft dir diese Abbildung dabei:       Anleitung  Tetraeder     1.     2. Schneide je einen roten und grünen Streifen aus. Falte die zwei Streifen nach innen (sichtbare Faltlinien müssen nach innen zeigen). Versuche nun die Streifen so aufeinanderzulegen und ineinander zu flechten, dass es ein Tetraeder ergibt. Diese Abbildung soll dir helfen: 3.   42   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Vorlage:  Würfel       43   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Vorlage:  Tetraeder       44   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Vorlage:  Oktaeder       45   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Vorlage:  Ikosaeder       46   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Vorlage:  Dodekaeder       47   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Posten  8:  Bastelecke  2:  Bausteine   Auch hier darfst du dein Geschick beweisen, jedoch nicht mit Papier. Aus verschiedenen Teilen, können die platonischen Körper wie Lego zusammengesteckt werden. Das soll dir nochmal zeigen, wie die Körper aufgebaut sind.   Steckteile Geduld und Geschick Entscheide dich für einen Körper (wenn möglich einen anderen als bei Posten 8). Nimm die dazugehörigen Steckteile und versuche den Körper zu machen. 15 – 20 Minuten     48   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   Posten  9:  Fussball     Hier geht es mehr darum, sich mit einem alltäglichen Körper auseinander zu setzen, der ähnlich einem platonischen Körper ist.   Fussball Arbeitsblatt   Steckteile   Sieh dir den Fussball genau an. Was ist der Fussball für ein Körper? Ein platonischer oder ein anderer? Schreibe deine Erkenntnisse auf das Arbeitsblatt. Versuche nun einen Fussball zu basteln.   30 Minuten     49   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     AB:  Fussball   Woraus bestehen die Oberflächen des Fussballs? Wie viele gibt es wovon? Ist der Fussball ein platonischer Körper? Begründe deine Entscheidung! Versuche nun einen Fussball zu basteln. Du hast folgende Möglichkeiten zur Auswahl: Zeichne auf dickeres Papier ein Abwicklungsmodell (mit Klebemöglichkeiten) und schneide es aus. Danach falte es so, dass es den Fussball ergibt. Natürlich kannst du es vor dem schneiden noch ausmalen. Füge die Steckteile so zusammen, dass sie die Form eines Fussballs ergeben. Viel Spass beim Basteln eines Fussballs!!   50   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Posten  10:  Quiz     Beim letzten Posten repetierst du noch einmal das Wichtigste zu den platonischen Körpern.   Arbeitsblatt: Quiz Schreibzeug   Versuche das Kreuzworträtsel so weit als möglich ohne Hilfe auszufüllen. Wenn du nicht mehr weiter weisst, nimm die Unterlagen zu Hilfe. Die Lösungen dazu kannst du bei mir holen.   15 Minuten   51   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1   AB:  Quiz                                                                                         52   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     Waagrecht: 1 Alle Ecken eines platonischen Körpers liegen auf einer 3 Wenn alle Seiten gleich gross sind wird dies genannt. 6 Das Dodekaeder hat als Seitenflächen. 7 Es braucht mindestens Flächen, damit eine Ecke gebildet werden kann. 11 Wie werden die platonischen Körper oft auch bezeichnet? 12 So wird der Würfel in der mathematischen Sprache genannt. 14 Die platonischen Körper gehören zu den 15 Die eines platonischen Körper ist aus lauter gleichen Vielecken zusammengesetzt. 16 Ich habe 6 Ecken. Senkrecht: 2 Wenn alle Winkel gleich gross sind, wird dies genannt. 4 Ich habe 4 Dreiecke als Seitenflächen. 5 Der Name eines platonischen Körpers steht im Zusammenhang mit der Anzahl der 8 Das Dodekaeder und das Ikosaeder haben dreissig 9 Ich bestehe aus zwanzig Dreiecken als Seitenflächen. 10 Was bedeutet der Wortteil „-eder? 13 Das Dodekaeder hat Ecken.               53   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     LB:  Quiz       54   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     5.  REFLEXION     Ich   habe   noch   nie   vorher   Unterrichtsmaterial   in   dieser   Menge   erarbeitet.   Wie   sich   herausstellte,   ist   dies   sehr   zeitaufwendig   und   braucht   einiges   an   Geduld.   Das   Ganze   für   die   Sekundarstufe   I   angemessen   zu   gestalten,   ist   eine   weitere   Schwierigkeit.   Für   mich   ist   vieles   klar   und  sofort  ersichtlich.  Aber  man  muss  immer  bedenken,  dass  eine  Klasse  in  der  Oberstufe  noch   viel  weniger  weiss  und  mehr  Mühe  hat,  die  Dinge  zu  verstehen.   Trotzdem  hat  es  mir  sehr  viel  Spass  bereitet,  verschiedene  Arten  von  Posten  zu  erfinden.  Am   Anfang  harzte  es  noch  ziemlich.  Doch  nach  und  nach  kamen  mir  immer  mehr  Ideen,  so  dass  ich   mich  selber  bremsen  musste.  Das  liegt  auch  daran,  dass  das  Thema  der  platonischen  Körper  sehr   vielfältig   und   fesselnd   ist.   Ich   hatte   ziemlich   Mühe,   die   fünf   Körper   zu   basteln   und   dann   auch   noch   eine   Anleitung   zu   entwerfen,   die   dem   Niveau   der   Sekundarstufe   I   angepasst   ist.   Deshalb   habe  ich  mich  einen  Tag  hingesetzt  und  an  jedem  Körper  so  lange  herumgebastelt,  bis  alle  fünf   fertig  waren.  Dies  raubte  mir  einiges  an  Geduld  und  Nerven.   Mein   Ziel   ist   es,   diese   Werkstatt   später   einmal   in   meinem   Unterricht   umzusetzen.   Dabei   interessieren  mich  vor  allem  auch  die  Reaktionen  und  Rückmeldungen  der  Klasse.     55   Perriard  Sabine     Semesterarbeit  SLA  1     LITERATUR-‐  UND  INTERNETSEITENVERZEICHNIS   Formeln  und  Tafeln     DMK/DPK,  Orell  Füssli  Verlag  AG,  Zürich  1977,  10.Auflage  2003     Platonische  Körper,  Verwandtschaften,  Metamorphosen,  Umstülpungen     Renatus  Ziegler,  Kooperative  Dürnau,  1998     Platonische  Körper,  Skript  von  H.Walser,  aus  der  Vorlesung  Mathematik  auf  der     Sekundarstufe  I,  Uni  Basel  2009     Time  Life  –  Lebendiges  Wissen.  Mathematik     Time-‐Life  Books  B.Vv,  Amsterdam  2000,  2.  Auflage         Letzer  Zugriff  am:  28.  Dezember  2009       Letzter  Zugriff  am:  20.  Dezember  2009       Letzter  Zugriff  am:  26.  Dezember  2009       Letzer  Zugriff  am:  28.  Dezember  2009         Letzter  Zugriff  am:  29.  Dezember  2009       Letzter  Zugriff  am:  26.  Dezember  2009       Letzter  Zugriff  am  28.  Dezember  2009         56