Arbeitsblatt: Geometrie allgemein

Thomas Pleiner 2D-Geometrie Mit Zirkel und Dreieck Geometrische Grundlagen in 80 Schritten D1 1 90 C1 A1 R1r M1 r1 A1 r1–A 90 r1–A 1 2 3 5 4 R2 M1 1 A2 M2 r2 B1 R2r R1 2 Ein kostenloses e-book – herausgegeben von D 3 4 5 r2 M2 KARTONMODELL Est 20 05 FORUM Thema Abb 001 Abb 002 Abb 003 Abb 004 Abb 005 Abb 006 Abb 007 Abb 008 Abb 009 Abb 010 Abb 011 Abb 012 Abb 013 Grundlagen Errichten einer Senkrechten Mittelsenkreche mit 2 Dreiecken Mittelsenkrechte mit Zirkel Senkrechte fällen Senkrechte errichten in einem bestimmten Punkt Lösung a) Senkrechte errichten in einem bestimmten Punkt Lösung b) Senkrechte errichten in einem bestimmten Punkt Lösung c) Parallele mit Zirkel Parallele mit Dreiecken Winkelhalbierende Rechten Winkel in 3 Teile Teilen Mittelpunkt eines Kreises suchen Strecke in beliebig viele gleiche Teile teilen Abb 041 Abb 042 Abb 043 Abb 044 Abb 045 Abb 046 Abb 047 Abb 048 Abb 049 Abb 050 Abb 051 Abb 052 Abb 053 Kreisanschluss Gerade innerhalb des Kreises Kreisanschluss ineinanderliegende Kreise Kreisanschluss Zwei Strahlen Spirale 1 (angenähert aus Quadrat) Spirale 2 (Archimedes) Spirale 3 (Evolvente) Berührungspunkt Tangente/Kurve Normale an Kurve Grosse Radien 01 Grosse Radien 02 Berechnung Radius aus Sehnenlänge und Bogenhöhe Berechnung Bogenlänge Berechnung Kreisumfang Abb 014 Abb 015 Abb 016 Abb 017 Abb 018 Abb 019 Abb 020 Abb 021 Abb 022 Abb 023 Abb 024 Einfache Flächen Dreieck Einfache ebene Flächen Übersicht Formen des Dreiecks Zeichne ein gleichseitiges Dreieck Zeichne ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck Höhen im Dreieck Seitenhalbierende (Mittellinien) im Dreieck Mittelsenkrechte im Dreieck Umkreis Winkelhalbierende im Dreieck Inkreis Winkelhalbierende Aussenwinkel Dreieck Berührungskreise Pythagoras 1 Pythagoras 2 Abb 054 Abb 055 Abb 056 Abb 057 Abb 058 Abb 059 Abb 060 Abb 061 Oval und Ellipse Korbbogen aus 3 Mittelpunkten Korbbogen aus 5 Mittelpunkten Ellipse aus 2 Achsen 01 Ellipse aus 2 Achsen 02 Ellipse aus 2 Achsen 03 Ellipse aus 2 Achsen 04 Ellipse Bestimmung Mittelpunkt und Hauptachsen Ellipse Definition und Zeichnen allgemein Abb 025 Abb 026 Abb 027 Einfache Konstruktionen Harmonische Streckenteilung Goldener Schnitt 1 Goldener Schnitt 2 Abb 062 Abb 063 Abb 064 Abb 065 Abb 066 Abb 067 Parabel und Hyperbel Parabel aus Leitlinien und Brennpunkt Definition Parabel nach Punkten Parabel nach Tangenten Hyperbel aus Brennpunkten und Gerade Definition Hyperbel nach Punkten Hyperbel nach Sekanten Abb 068 Abb 069 Abb 070 Abb 071 Abb 072 Abb 073 Abb 074 Abb 075 Mehrecke Mehrecke Definition und allg. Konstruktion 5-Eck 5-Eck 10-Eck 6-Eck im Umkreis 6-Eck im Inkreis 7-Eck 8-Eck (mit Viereck) Prinzipkonstruktion eines n-Ecks Abb 076 Abb 077 Abb 078 Abb 079 Abb 080 . ein bisschen Praxis Zeichenpraxis Verschieben Zeichenpraxis Rotation Drehen um 90 Zeichenpraxis Rotation Drehen beliebiger Winkel Zeichenpraxis Spiegelung Spiegeln an Achse Zeichenpraxis Spiegelung Spiegeln ohne Achse Inhalt Abb. Abb 028 Abb 029 Abb 030 Abb 031 Abb 032 Abb 033 Abb 034 Abb 035 Abb 036 Abb 037 Abb 038 Abb 039 Abb 040 Kreis, Linie und Bogen Kreis Punkte, Linien Schnitte Übersicht Tangenten, beliebig Tangenten, ungekreuzt Tangenten, gekreuzt Kreisanschluss rechter Winkel Viertelkreis Kreisanschluss spitzer Winkel Kreisanschluss stumpfer Winkel Kreisanschluss Auskehlung (Kreisbogen an 2 Punkte) Kreisanschluss Gerade mit gegebenem Radius Kreisanschluss Gerade zu rechtwinkliger Ecke Kreisanschluss Zwei benachbarte Kreise Kreisanschluss Punkt mit Bogen an Kreis Kreisanschluss Kreis-Gerade ausserhalb des Kreises 2D-Geometrie Basiswissen Einleitung Mehr als ein kleiner Leitfaden zu einigen grundsätzlichen Vorgehensweisen beim Zeichnen soll dies hier nicht sein. Eine Dokumentation wie diese erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Für interessierte Hobby-Konstrukteure geben die hier vorgelegten 80 Basisübungen eine Übersicht über die Grundlagen des Zeichnens in 2 Dimensionen. Dies jedoch ganz ohne moderne Computertechnik. So, wie »früher« gezeichnet wurde. Wer heute in CAD »einsteigt«, sollte sich dennoch damit auseinandersetzen – um zu wissen, was man tut. Viele der hier gezeigten Verfahren sind in digitalen Anwendungen auf »Mausklick« abrufbar. Schaden kann es aber nicht, zu wissen, was da hinter den Kulissen passiert. Und für den ambitionierten Kartonmodellbauer ist einfache 2D-Geometrie ein unverzichtbares Rüstzeug. Um die Übungen aus dieser Dokumentation nachzuvollziehen, benötigt man: • • • • • 1 oder 2 Zirkel 1 Lineal (oder Zeichen-Schiene) 1 Satz Zeichendreiecke (30 u. 2 45) Kurvenlineale Zeichenstift(e) Das wär schon. Und nun viel Spass und erfolgreiches Zeichnen. Thomas Pleiner im Februar 2006 Design: 2005 mtp-studio • Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet. 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-001 Im Punkt einer Geraden die Senkrechte errichten Lösung 1a) Von aus nach beiden Seiten gleiche Stücke, AB, AC, abtragen. Um und beliebige, aber gleiche Kreisbogen (Kreuzbogen) schlagen und deren Schnittpunkt mit verbinden. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Errichten einer Senkrechten Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-002 Im Punkt einer Geraden die Senkrechte errichten Lösung 1b) Mit dem 45- oder 30-Dreieck in und gleiche Winkel antragen und den Kreuzungspunkt mit verbinden. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Mittelsenkrechten mit 2 Dreiecken Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-003 Auf einer Strecke AB die Mittelsenkrechte errichten und damit diese Strecke halbieren. Um und Kreuzbogen schlagen und deren Schnittpunkte verbinden. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Mittelsenkrechte mit Zirkel Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-004 Von einem Punkt auf eine Gerade die Senkrechte fällen. Ein beliebiger Kreisbogen um schneidet die Gerade in und C. Kreuzbogen um und ergeben den Schnittpunkt D. mit verbinden. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Senkrechte fällen Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-005 Im Punkte einer Geraden die Senkrechte errichten Lösung a) Um einen beliebigen Kreisbogen schlagen, der in schneidet, dann mit der gleichen Zirkelöffnung Kreuzbogen um B, und D. AE steht senkrecht auf g. Senkrechte errichten in einem bestimmten Punkt Lösung a) Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-006 Im Punkte einer Geraden die Senkrechte errichten Lösung b) Einen beliebigen Kreisbogen schlagen, der durch den Punkt geht und die Gerade in schneidet, und Durchmesser BMC ziehen. Dann steht AC senkrecht auf g. B Senkrechte errichten in einem bestimmten Punkt Lösung b) Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-007 Im Punkte einer Geraden die Senkrechte errichten g Senkrechte errichten in einem bestimmten Punkt Lösung c) Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Lösung c) Den kurzen Schenkel eines Zeichendreiecks an legen, das Dreieck auf der Schiene oder einem zweiten Dreieck verschieben, bis der zweite kurze Schenkel den Endpunkt erreicht, und die Senkrechte ziehen. Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-008 Durch einen Punkt zu einer Geraden die Parallele ziehen Lösung a) Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Parallele mit Zirkel Um einen beliebigen Punkt der Geraden g, z.B. A, einen Kreisbogen mit dem Radius AC schlagen. Schnittpubkt B. Dann Bogen mit demselben Radius um (Schnittpunkt C) und schlagen. Schnittpunkt D. mit verbinden. Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-009 Durch einen Punkt zu einer Geraden die Parallele ziehen Lösung b) Den kurzen Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks an legen und das Dreieck entlang der Schiene oder einem zweiten Dreieck bis zum Punkt verschieben. Die Linie durch ist die Parallele. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Parallele mit Dreiecken Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-010 Einen beliebigen Winkel halbieren Lösung Einen beliebigen Kreisbogen um den Scheitelpunkt schneidet die Schenkel in und C. Kreuzbogen um und ergeben den Punkt D. AD ist die Winkelhalbierende. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Winkelhalbierende Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-011 Einen rechten Winkel in drei Teile teilen Lösung Ein beliebiger Kreisbogen um schneidet die Schenkel in und C. Kreisbogen mit der gleichen Zirkelöffnung um und ergeben auf ihm die Schnittpunkte für die Dreiteilung. 30 30 30 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Rechten Winkel in 3 Teile teilen Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-012 Mittelpunkt eines Kreises suchen Lösung Zwei nicht-parallele Sehnen durch den Kreis ziehen. Auf diesen die Mittelsenkrechten errichten. Ihr Schnittpunkt ist der Kreismittelpunkt M. A1 B1 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Mittelpunkt eines Kreises suchen Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-013 Eine gegebene Strecke AB in beliebig viele gleiche Teile teilen. Lösung: Durch Punkt einen beliebigen Winkel legen und die Hilfsstrecke AC entsprechend der Anzahl der gewünschten Teile gleichmässig unterteilen (Mit Zirkel oder Lineal abtragen). mit verbinden und durch die Teilpunkte auf AC Parallelen zu CB ziehen. Diese unterteilen die Strecke AB in der gewünschten Weise. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Strecke in beliebig viele gleiche Teile teilen Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Quadrat Abb.: A-014 Rechteck Trapez Parallelogramm Raute Einfache ebene Flächen Einige wenige grundsätzliche Zeichentechníken wurden erläutert. Um für weitere Zeichenaufgaben gerüstet zu sein, erscheint es angeraten, sich mit einigen einfachen ebenen Flächen zu befassen. Dreieck Kreis Dreieck Kreis Vierecke Quadrat Rechteck Trapez Parallelogramm Raute Vor allem Dreieck und Kreis sind wichtige Geometrien, die sich beim Zeichnen und Konstruieren von Modellbogen wie ein roter Faden durch die Arbeit ziehen. Besonders das Dreieck hat es in sich. Aus Dreiecken lassen sich Vierecke und Mehrecke bilden; sie bilden auch die Grundlage für die Technik des Abwickelns von räumlichen Flächen schlussendlich bilden sie die Grundlage von PolygonNetzen, ohne die z.B hyper-realistische Bilder aus 3D-Programmen nicht möglich wären. Mehrecke und Kreis werden in einem späteren Themenkreis behandelt. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Einfache ebene Flächen Übersicht 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-015 90 c Spitzwinkliges Dreieck Formen des Dreiecks Rechtwinkliges Dreieck Stumpfwinkliges Dreieck Diese Abbildung illustriert die unterschiedlichen Formen von Dreiecken: Spitzwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck (1 Winkel 90) Stumpwinkliges Dreieck (1 Winkel 90) Gleichschenkliges Dreieck (2 Seiten sind gleich lang) Gleiseitiges Dreieck (alle 3 Seiten sind gleich lang) Vertiefung: (muss man nicht lesen) Definition und Eigenschaften allgemeiner Dreiecke Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf eine Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Das Dreieck unterteilt die Ebene in zwei Bereiche, das Äußere und das Innere des Dreiecks. Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks. Gleichschenkliges Dreieck (a b) Gleichseitiges Dreieck (a b c) In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, und bezeichnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog a, bzw. genannt. Damit liegt z.B. die Seite dem Eckpunkt gegenüber, verbindet also die Punkte und C. Häufig wird mit a,b,c auch stattdessen die Länge der jeweiligen Seite BC,CA,AB bezeichnet. Die Winkel werden alpha, beta und gamma genannt; alpha ist der Winkel am Eckpunkt A, usw. Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180. Die Summe der Außenwinkel beträgt entsprechend 360. Dabei wird für jeden Eckpunkt nur ein Außenwinkel in die Summe aufgenommen. Da es sich bei den beiden Außenwinkeln eines Eckpunktes um Scheitelwinkel handelt, sind diese immer identisch groß. Die Summe aller Außenwinkel beträgt demnach genau genommen 2 · 360 720. Die Summe zweier Seiten eines Dreieck ist immer größer als die dritte Seite. Diese Beziehungen lassen sich in den sogenannten Dreiecksungleichungen ausdrücken. Diese intuitiv einsichtigen Eigenschaften ebener Dreiecke folgen aus den Axiomen der Euklidischen Geometrie. (Quelle: wikipedia und eigene Aufzeichnungen) Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Formen des Dreiecks 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-016 Zeichne ein gleichseitiges Dreieck Lösung: Mit der Strecke AB als Radius schlage Kreuzbogen um die Punke und B. Verbinde Schnittpunkt mit und Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Zeichne ein gleichseitiges Dreieck Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-017 C1 C2 Zeichne ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck 90 C3 Lösung: Mit der Strecke AB als Durchmesser schlage einen Halbkreis um die Punke und B. Verbinde einen beliebig gewählten Punkt mit und Merke: Der Halbkreis über der Strecke AB als Durchmesser ist der geometrische Ort für die Scheitel aller rechten Winkel deren Schenkel mit AB als Hypothenuse ein Dreieck bilden. (Halbkreis des Thales) Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Zeichne ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-018 Vier merkwürdige Punkte des Dreiecks 1) Schnittpunkt der Höhen hc hb Zeichne die Höhen (ha, hb, hc): Abstand einer Ecke (A, B, C) von ihrer Gegenseite (a, b, c) H ha c Lösung: Von den Punkten A, B, das Lot auf die Gegenseiten a, b, fällen. Die Höhen ha, hb, hc schneiden sich im Punkt H. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Höhen im Dreieck Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-019 Vier merkwürdige Punkte des Dreiecks 2) Schnittpunkt der Seitenhalbierenden Ma Sc Die drei Seitenhalbierenden, auch Mittellinen genannt. Mb Sie schneiden sich im Punkt S, auch Schwerpunkt genannt. Er teilt die Mittellinien im Verhältnis 2:1, jeweils von der betreffenden Ecke aus gerechnet. Sb Sa A Mc Zeichne die Seitenhalbierenden (Mittellnien) eines beliebigen Dreieicksi Lösung: Verbinde den Mittelpunkt einer Seite (Ma, Mb, Mc) mit den gegenüberliegenden Eckpunkten A, B, C. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Seitenhalbierende im Dreieck Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-020 Vier merkwürdige Punkte des Dreiecks 3) Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Ma Zeichne die Mittelsenkrechten der Seiten a, b,c und den Umkreis eines beliebigen Dreiecks Mb B A Mc Lösung: Errichte auf den Seiten a, b,c die Mittelsenkrechten. Diese schneiden sich im Punkt U. ist der der Mittelpunkt des Kreises mit Radius r, auf dessen Peripherie (Umfangslinie) die drei Ecken A, B, liegen. Dieser Kreis wird Umkreis des Dreiecks genannt. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Mittelsenkrechten im Dreieck/Umkreis Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-021 Vier merkwürdige Punkte des Dreiecks 4) Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Inkreis Zeichne die Winkelhalbierenden und den Inkreis eines beliebigen Dreiecks Lösung: W Zeichne die Winkelhalbierenden aller Innenwinkel. Ihr Schnittpunkt ist Mittelpunkt eines Kreise, für den alle Dreiecksseiten Tangenten sind. (Punkte Dieser Kreis wird Inkreis des Dreiecks genannt. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Winkelhalbierende im Dreieck/Inkreis Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-022 M2 M1 Zeichne die äusseren Berührungskreise eines beliebigen Dreiecks Lösung: Zeichne die Winkelhalbierenden aller Aussenwinkel. Ihre Schnittpunkte M1, M2, M3 sind die Mittelpunkte der drei äusseren Berührungskreise, deren Tangente eine Dreiecksseite ist. (Punkte Diese Kreise werden ebenfalls zu den Inkreisen des Dreiecks gezählt. M3 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Äussere Berührungskreise Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-023 Das rechtwinklige Dreieck Der Lehrsatz des Pythagoras 1) Im rechtwinkligen Dreieck nennt man die am rechten Winkel anliegenden Seiten Katheten (a,b), die Gegenseite Hypotenuse (c). Diese ist stets die grösste Seite im rechtwinkligen Dreieck. 2 a 1 2 A B cq cp c2 2 2) Der Lehrsatz des Pythagoras stellt folgende Beziehung zwischen der Hypotenuse und den Katheten fest: Das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe der beiden 2 2 2 Quadrate über den Katheten: Beweis: Man zieht von die zur Hypotenuse gehörende Höhe h, die in die Abschnitte und teilt und deren Verlängerung das Hypotenusenquadrat in zwei Rechtecke mit den Seiten c,p und c,q zerlegt. Jedes dieser Rechtecke ist dem angrenzenden Kathetenquadrat 2 2 flächengleich: cp b cq a denn durch die Höhe ist das rechtwinklige Dreieck in 2 Dreiecke zerlegt, die untereinander und mit dem ursprünglichen Dreieck winkelgleich ( 90, 1 90, also 1; 1 90, 1 2 90, also 2) und daher ähnlich sind. Sie haben demnach auch die gleichen Seitenverhältnisse: 2 : : q; also cq a und : : p; also cp b2, c2 ist aber gleich cq cp, also ist c2 a2 b2 Für den Satz sind mehr als 300 verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-024 Das rechtwinklige Dreieck Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe gleich dem Rechteck aus den Hypthenusenabschnitten. b2 a 1 2 2 – cp – p(c – p) p q 2 B Beweis: Im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt nach den Sätzen von Pythagoras und Euklid: A Höhensatz nach Pythagoras und Euklid 2 2 2 Berechnung der dritten Seite Sind zwei Seiten im rechtwinkligen Dreieck bekannt, so kann die dritte Seite mit nachstehender Formel berechnet werden. c 2 2 b; b 2 –a; 2 a 2 –b 2 Wichtig: cq cp c2 Die Möglichkeit der Berechnung der dritten Seite bei zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks findet z.B. in der Landvermessung und in der Konstruktion Anwendung. Ist daher eine der Standardberechnung auch beim Konstruieren von Kartonmodellen. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Rechtwinkliges Dreieck Höhensatz Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-025 Harmonische Streckenteilung 5 4 3 2 2 A 1 1 C 1 2 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Harmonische Streckenteilung Aufgabe: Teile eine gegebene Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis, hier im Verhältnis 2 5 Die Konstruktion ähnlicher Dreiecke ermöglicht, eine gegebene Strecke in einem bestimmten Verhältnis zu teilen. In diesem Beispiel gilt: CA 2 DA 2 – CB 5 DB 5 Lösung: Durch die Endpunkte und der gegebenen Strecke werden zwei Parallelen gezogen; auf der einen wird von aus fünfmal die beliebige Strecke abgetragen, auf der anderen Seite von aus nach beiden Seiten je zweimal dieselbe Strecke s. Verbindet man wie in der Zeichnung gezeigt, so teilen die Punkte und die Strecke AB innen und aussen im Verhältnis 2 5. Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-026 Der »Goldene Schnitt« Unter dem »Goldenen Schnitt« versteht man eine solche Teilung einer Strecke c, dass sich die kleinere Teilstrecke zur grösseren so verhält wie die grössere Teilstrecke zur ganzen Strecke c, d.h. entsprechend der Proportion a:bb:c Die grössere Teilstrecke ist die mittlere Proportionale (oder das »geometrische Mittel«) von und c. Dies nennt man auch stetige Teilung. Eine einfache Möglichkeit zur Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt zeigt die nebenstehende Abbildung. Die gebene Strecke AB ist Tangente an einen Kreis, dessen Durchmesser gleich AB ist. Von ist eine Sekante durch den Kreismittelpunkt gezogen, die den Kreis in und schneidet. Dann ist nach dem Tangentensatz: 2 AD • AE AB oder AB AE AD AB Nach Konstruktion gilt nun: AD AC und AB DE; nach dem Satz der korrespondierenden Subtraktion gilt also: AB (AE – DE) AC (AB – AC) oder AB AC AC CB, d.h. aber: Punkt teilt die Strecke AB im Goldenen Schnitt. Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Goldener Schnitt 1 Es gibt weitere zahlreiche zeichnerische und rechnerische Lösungen zum Goldenen Schnitt bei Interesse diese bitte in der Fachliteratur nachschlagen. 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-027 Der »Goldene Schnitt« 36 108 Die Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt ist ein berühmtes Problem der Geometrie und spielt besonders in der Kunst eine grosse Rolle. Sie wurde auch das »Göttliche Verhältnis« (divina proportio) genannt, da sie auf das Auge ein wohltuende Wirkung ausübt, so daß man sie als Spiegelung der göttlichen Ordnung empfand. Man beschäftigte sich im Altertum mit ihr u.a im Zusammenhang mit dem regelmässigen Fünfstern, auch »Pentagramm« genannt, der durch Querverbindung der Ecken des regelmässigen Fünfecks entsteht und dem man magische Kräfte zuschrieb. Auch und besonders die Architektur des klassischen Altertums bediente sich des goldenen Schnittes. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Goldener Schnitt 2 Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-028 Kreis Punkte, Linien und Schnitte Der Kreis ist der geometrische Ort für alle Punkte, die von einem festen Punkt (M) den gleichen Abstand (r) haben. Alle Kreise sind einander ähnlich. Krei Tang en slinie te 90 Norm le Kreissektor Sekante Sehn r A Kreisabschnitt Radius (Halbmesser) Kreis-Mittelpunkt Kreispunkt Durchmesser Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Kreis Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-029 Tangentenkonstruktion Zeichne zwei Tangenten vom Punkt an einen gegebenen Kreis 90 Lösung: Zeichne die Hilfsstrecke AM, schlage darüber einen Halbkreis um Mittelpunkt M1.(r M1M) und sind die Berührungspunkte der verlangten Tangenten mit dem Kreis. und mit verbinden. 90 M1 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet beliebige Tangenten Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-030 r2 Tangentenkonstruktion M2 Zeichne zwei ungekreuzte Tangenten an zwei gegebene Kreise Lösung: r1 r1 90 (Tangentenkonstruktion gem. Abb. A-029 wird als geläufig vorausgesetzt.) Berechne Differenz aus r2 – r1 Ergebnis ist der Radius des Hilfskreises um M2. Von M1 an diesen Kreis die Tangente M1A legen. Die Strecken M2AB sowie M1C parallel AB ziehen. und sind die Berührungspunkte einer der beiden spiegelgleichen Tangenten. (Spiegelachse Strecke M1M2) M1 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet ungekreuzte Tangenten Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-031 Tangentenkonstruktion 90 M1 Zeichne zwei gekreuzte Tangenten an zwei gegebene Kreise r1 Lösung: r2 r2 (Tangentenkonstruktion gem. Abb. A-029 wird als geläufig vorausgesetzt.) Berechne die Summe der Radien r1 r2. Mit dem Ergebnis einen Hilfskreis um M1 schlagen. Von M2 an Kreis r1 r2 die Tangente M2A legen. BC parallel M2A ist eine der beiden spiegelgleichen Tangenten. (Spiegelachse gedachte Strecke M1M2) M2 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet gekreuzte Tangenten Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-032 Kreisanschluss in einem rechten Winkel (-Kreis-Abrundung) A1 Verbinde die Schenkel eines rechten Winkels durch einen Kreisbogen mit gegebenem Radius ( Kreis). 90 Lösung: 90 Innerhalb des Winkels Parallelen zu seinen Schenkeln im Abstand des gegebenen Radius ziehen. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreisbogens. Die Lote von (Normale) auf die Schenkel ergeben die Anschlusspunkte. A2 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Kreisanschluss Rechter Winkel Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-033 Kreisanschluss in einem spitzen Winkel A1 Verbinde die Schenkel eines spitzen Winkels durch einen Kreisbogen mit gegebenem Radius 90 r 90 Lösung: Innerhalb des Winkels Parallelen zu seinen Schenkeln im Abstand des gegebenen Radius ziehen. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreisbogens. Die Lote von (Normale) auf die Schenkel ergeben die Anschlusspunkte. A2 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Kreisanschluss Spitzer Winkel Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-034 Kreisanschluss in einem stumpfen Winkel Verbinde die Schenkel eines stumpfen Winkels durch einen Kreisbogen mit gegebenem Radius Lösung: r 90 Innerhalb des Winkels Parallelen zu seinen Schenkeln im Abstand des gegebenen Radius ziehen. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreisbogens. Die Lote von (Normale) auf die Schenkel ergeben die Anschlusspunkte. A2 90 A1 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Kreisanschluss Stumpfer Winkel Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-035 A1 Zwei Punkte mit Kreisbogen verbinden Zwei beliebige Punkte durch einen Kreisbogen mit gegebenem Radius verbinden. (Auskehlung) Lösung: A2 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Kreisanschluss Zwei Punkte Um die beiden Punkte Kreuzbogen mit dem gegebenem Radius schlagen. Ihr Schnittpunkt ist der gesuchte Mittelpunkt des Kreisbogens. Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-036 Kreisbogen an Gerade und Punkt M Eine Gerade und einen Punkte ausserhalb durch einen Kreisbogen mit gegebenem Radius verbinden. Lösung: 90 Zur Geraden eine Parallele im Abstand des gegebenen Radius ziehen. Um den Punkt einen Kreisbogen mit dem demselben Radius schlagen, der die Parallele im gesuchten Mittelpunkt schneidet. Die Normale von Punkt ergibt den Anschlusspunkt B. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Kreisbogen an Gerade und Punkt Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-037 Viertelkreis-Übergang von einer Geraden Konstruiere den Übergang einer Geraden zu einer rechtwinkligen Ecke Lösung: Die Winkelhalbierende des Winkels BDC schneidet die Verlängerung des Eckenschenkels in M, dem Mittelpunkt der gesuchten Rundung. Die Senkrechte von auf die Gerade ergibt den Anschlusspunkt 90 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Viertelkreis Übergang von einer Geraden Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-038 Verbindung zweier Kreise durch Kreisbogen R2r R1r A1 A2 Lösung: M2 R2 M1 Verbinde zwei benachbarte, gegebene Kreise mit den Radien R1 und R2 mit einem Kreisbogen mit dem Radius Um M1 einen Kreisbogen mit dem Radius R1 r ziehen. Um M2 einen Kreisbogen mit dem Radius R2 r ziehen. Diese schneiden sich in dem gesuchten Rundungsmittelpunkt M. Die Verbindungen mit den Kreismittelpunkten M1 und M2 ergeben die Anschlusspunkte A1 und A2. R1 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Zwei Kreise durch Kreisbogen verbinden Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-039 Kreisbogen mit einem gegebenen Radius verbinden. P Rr r Verbinde einen Punkt ausserhalb eines gegebenen Kreisbogens mittels eines Kreisbogens mit einem gegebenen Radius Lösung: Um M1 einen Kreisbogen mit dem Radius ziehen. Um einen Kreisbogen mit dem Radius ziehen. Diese schneiden sich in dem gesuchten Rundungsmittelpunkt M. Die Verbindung mit dem Kreismittelpunkt M1 ergibt den Anschlusspunkt A. M1 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Kreisbogen-Anschluss Punkt und Kreis Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-040 Kreisbogen von Kreis zu Gerade. 90 Mit gegebenem Radius den Kreisübergang von einem Kreis zu einer Geraden ausserhalb des Kreises zeichnen. M2 Lösung: A Rr M1 Um M1 einen Kreisbogen mit dem Radius ziehen. Zur gegebenen Geraden eine Parallele mit Abstand ziehen. Der Schnittpunkt ist der Mittelpunkt M2 der gesuchten Rundung. Die Verbindung von M1 und M2 ergibt den Anschlusspunkt A. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Kreisanschluss von Kreis auf Gerade Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-041 Kreisbogen von Kreis zu innenliegender Gerade. A Eine Gerade innerhalb eines gegebenen Kreises durch eine Rundung mit gegebenem Radius verbinden. 90 Lösung: M2 R–r Um M1 einen Kreisbogen mit dem Radius – ziehen. Zur gegebenen Geraden eine Parallele mit Abstand ziehen. Der Schnittpunkt ist der Mittelpunkt M2 der gesuchten Rundung. Die verlängerte Verbindung von M1 und M2 ergibt den Anschlusspunkt A. M1 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Kreisanschluss von Kreis auf Gerade innerhalb d. Kreises Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-042 A2 Kreisbogen an in einanderliegenden Kreisen. R1 M1 R2 Verbinde zwei ineinanderliegende Kreise mit einem Kreisbogen. Lösung: M2 r Die Mittelpunkte der beiden Kreise, M1 und M2, verbinden. Die Verlängerungen dieser Verbindungslinie schneiden die beiden Kreise und bilden die Anschlusspunkte A1 und A2. Der Halbierungspunkt der Strecke A1 und A2 bildet den Mittelpunkt der gesuchten Rundung. A1 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Kreisbogen an ineinanderliegenden Kreisen Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-043 Berührungskreis an Kreis und zwei Strahlen A2 90 Den Kreis zeichnen, der einen gegebenen Kreis und zugleich zwei von dessen Mittelpunkt ausgehende Strahlen berührt. Lösung: M1 90 A1 Durch den Schnittpunkt des Kreises mit der Halbierenden des Strahlenwinkels die Tangente legen. Die Halbierenden der entstehenden Winkel ergeben den Mittelpunkt M1 des gesuchten Berührungskreises. Die Normalen ergeben die Anschlusspunkte A1 und A2 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Berührungskreis an Kreis 2 Strahlen Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-044 Angenäherte Spirale. Eine angenäherte Spirale mit gegebenem Quadrat zeichnen. (»Fibonacci«-Spirale) Lösung: An einer Qudratecke beginnend, der Reihe nach um jede der vier Ecken Anschluss-Viertelkreisbogen schlagen. Vertiefung: Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Spirale aus Quadrat Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-045 Steigung/16 Strahlen Anzahl der Hilfsradien 4 5 3 Archimedische Spirale. 6 2 Eine archimedische Spirale mit gebener Steigung zeichnen. 1 Lösung: 7 0 8 9 15 Ein regelmässiges Strahlenkreuz zeichnen, die gegebene Steigung durch die gewählte Zahl der Strahlen teilen und das Ergebnis mit der laufenden Strahl-Ordnungszahl malnehmen. 0 mal Steigung/Strahlenzahl Mittelpunkt 1 mal Steigung/Strahlenzahl Radius des ersten Hilfskreises 2 mal Steigung/Strahlenzahl Radius des zweiten Hilfskreises, usw. Die Schnittpunkte der Hilfskreise mit den zugehörigen Strahlen zunächst freihändig, dann mit dem Kurvenlineal verbinden. Vertiefung: 10 14 11 13 12 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Archimedische Spirale Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-046 4 5 3 2 1 Kreis-Evolvente Rollkurve (Fadenlinie) 6 12 7 Eine Evolvente (von evolare abwickeln) oder Fadenlinie beschreibt den Punkt einer Geraden, die an einem Kreise auf- oder abrollt. Dieser Kurve folgt die Hand, die einen gespannten Faden von einer Garnrolle abwickelt. ab ge tr ge ne Lösung: Kr iss tü ck tragen bg ü Kreisst cke et a ene Kr i stüc ke 9 11 abg 10 8 Einen Kreis in eine beliebige Anzahl gleicher Teile unterteilen, an die entstandenen Kreispunkte die Tangenten legen und auf diesen von den Berührungspunkten aus die Längen der jeweils abgwickelten Kreisstücke abtragen. Evolventen (Rollkurven) werden vor allem für die Konstruktion der Flanken von Zahnrädern gebraucht. Vertiefung: Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Evolvente Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-047 Berührungspunkt Kurve/Tangente Finde den Berührungspunkt einer Tangente an einer gegebenen beliebigen Kurve. Lösung: Vom Punkt der Tangente aus eine beliebige Reihe Sekanten zeichnen und die Mitten ihrer Sehnenstücke bestimmen. Die Verbindungskurve dieser Mitten schneidet die gegebene Kurve im gesuchten Berührungspunkt B. (Die Konstruktion der Mitten ist in Abb. 002 und 003 beschrieben) Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Berührungspunkt einer Tangente Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-048 Normale an eine Kurve legen Von einem Punkt an eine gegebene Kurve die Normale legen. Lösung: Um den gegebenen Punkt eine beliebige Reihe von Kreisen schlagen, die die Kurve zweimal schneiden. Die Kurvensehnen zeichnen und deren Mitten durch eine zweite Kurve verbinden, die die gegebene Kurve im gesuchten Normal-Endpunkt schneidet. (Die Konstruktion der Mitten ist in Abb. 002 und 003 beschrieben) Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Normale an Kurve Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-049 90 II 90 III 90 A1 3 2 1 II II III III 1 2 3 A2 Zeichnen beliebig grosser Radien ohne Zirkel Zeichne einen Kreisbogen mit gegebener Sehnenlänge und gegebener Höhe des Kreisbogens Lösung: Durch einen beliebigen Punkt eine Gerade legen. Links und rechts vom Punkt jeweils die Hälfte der Sehnenlänge abtragen, – A1, – A2 Im Punkt darauf eine Senkrechte errichten und darauf die Bogenhöhe – abtragen. Durch Punkt eine Parallele zu A1 – A2 legen. Die Sehnenhälften in jeweils gleiche Teile teilen. In den Punkten A1 und A2 jeweils eine Senkrechte errichten und die erhaltenen Strecken A1 – und A2 – in dieselbe Anzahl Teile teilen. Die PunkteA1, A2, I, II, III mit verbinden. Auf den Strecken III – Senkrechte errichten, die die Strecke A1 – A2 in den Punkten 3 schneiden. Auf den Strecken II – Senkrechte errichten, die die Strecke A1 – A2 in den Punkten 2 schneiden. Auf den Strecken – Senkrechte errichten, die die Strecke A1 – A2 in den Punkten 1 schneiden. Die Schnittpunkte auf den Strecken I, II, III – bilden Punkte des Kreisbogens. Die Schnittpunkte zunächst freihändig, dann mit dem Kurvenlineal verbinden. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Zeichnen grosser Radien 1 Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-050 E 2 2 1 1 m1 1 1 2 2 Zeichnen beliebig grosser Radien Zeichne einen Kreisbogen mit gegebener Sehnenlänge und gegebener Höhe des Kreisbogens Lösung: Durch den Punkt eine Gerade legen. Links und rechts vom Punkt jeweils die Hälfte der Sehnenlänge abtragen: – A, – Im Punkt eine Senkrechte errichten und darauf die Bogenhöhe – abtragen. Die Verbindungen – und – zeichnen. n1 Um und zwei beliebige Kreisbogen mit gleichen Radien schlagen. Diese Kreisbogen schneiden in m, n, m1 und n1 die Linien – B, – O, – und – C. Die Bogenlängen – n, und m1 – n1 in gleiche Anzahl gleichlanger Abschnitte teilen. Die Kreisbogen über und m1 hinaus verlängern und dieselben Abschnitte darauf abtragen. Von und aus durch die Abschnittspunkte Strahlen legen. Die Schnittpunkte der korrespondierenden Strahlen ergeben weitere Punkte des Kreisbogens: D, E, F, und G. Die Schnittpunkte zunächst freihändig, dann mit dem Kurvenlineal verbinden. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Zeichnen grosser Radien 2 Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-051 Berechnung von Radius aus Sehnenlänge und Bogenhöhe Gegeben sind Sehnenlänge und Bogenhöhe h; berechne daraus Radius des Kreisbogens. Lösung: Die Berechnung erfolgt nach der Formel: r 2 2 h 2 2h Aus der vermassten Zeichnung werden die Werte für und eingesetzt: 30,96 mm 2 2 2.736,34 h2 958,52 2h 61,92 59,67 r 104,62 mm 2.736,34 958,52 61,92 r 3.694,86 61,92 59,67 123 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Berechnung Radius aus Bogenhöhe und Sehne Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-052 Berechnung der Länge eines Kreisbogens Berechne Länge des Kreisbogens AB ( b) Gegeben sind Radius und Begrenzungswinkel des Kreisbogens. 128,096843 Lösung: b2r• 360 • 180 Aus der vermassten Zeichnung werden die Werte für und eingesetzt: 59,67 59,67 123 59,67 • 180 59,67 • 2,146754 128,096843 123 3,141592 • 123 AB b 128,096843 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Berechnung Kreisbogen Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-053 344,917 Berechnung des Kreisumfangs 59,67 Berechne den Umfang des Kreises. Gegeben ist Radius r. Lösung: U2r d Aus der vermassten Zeichnung wird der Wert für eingesetzt: 2 • 59,67 119,34 3,141592 • 119,34 344,917 344,917 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Berechnung Kreisumfang Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-054 Korbbogen aus 3 Mittelpunkten Konstruiere einen Korbbogen aus 3 Mittelpunkten Gegeben sind die Spannweite AB und die Bogenhöhe CD 90 Lösung: a M1 M2 Um einen Viertelkreis mit Radius DC zeichnen, der die Gerade AB in schneidet. Verbinde und und trage auf dieser Hilfsstrecke von aus die Länge ( AE) ab. Dadurch ergibt sich Punkt auf der Strecke AC. Die Mittelsenkrechte auf AF schneidet die Verlängerung von CD in und AD in M1. M1 nach rechts gespiegelt ergibt M2. M, M1 und M2 sind die Kreisbogen, die an den Verlängerungen vom – M1 bzw. – M2 ineinander übergehen. Korbbogenkonstruktionen können auch als Oval-Konstruktionen Anwendung finden. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Korbbogen aus 3 Mittelpunkten Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-055 Konstruiere einen Korbbogen aus 5 Mittelpunkten Gegeben sind die Spannweite AB und die Bogenhöhe CD Korbbogen aus 5 Mittelpunkten M3 M4 M1 M2 0 M5 Lösung: Um einen Viertelkreis mit Radius CD schlagen, der die Gerade AB in schneidet. Von aus nach unten beidseitig Hilfslinien im Winkel 45 zeichen, darauf, von aus, beidseitig die Strecke AE (a) abtragen. Durch die Schnittpunkte M1 und M2 Hilfslinien beidseitig im Winkel von 45 nach oben zeichnen. Die Hilfslinien schneiden die Gerade AB in M3 bzw. M4. Ihre Verlängerungen schneiden sich in 0. Um 0 schlage einen Halbkreis mit dem Radius D0, der die Verlängerung CD in M5 schneidet. Von M5 aus Linien durch M3 und M4 zeichnen. Die Punkte M1 – M5 sind die Mittelpunkte für die Bogen Aa, ab, bc, cd und bB, Korbbogenkonstruktionen können auch als Oval-Konstruktionen Anwendung finden. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Korbbogen aus 3 Mittelpunkten Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-056 Ellipse Oval 1 B1 Konstruiere eine Ellipse, gegeben sind grosse Achse A1 – A2 und kleine Achse B1 – B2 A1 B2 A2 Lösung: Grosse und kleine Achse zeichnen, Punkte A1 – A2 und B1 – B2 Um Punkt mit den Radien A1 – und B1 – Kreise zeichnen. Durch Punkt um 30 versetzte Strahlen zeichnen. Durch die Schnittpunkte der Strahlen mit den Kreisen Parallelen zu den Achsen zeichnen. Die Schnittpunkte von zusammengehörigen Parallelen sind Punkte der Ellipse. (Die Genauigkeit kann durch weitere Strahlen und Parallelen erhöht werden.) Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Ellipse/Oval aus gegebenen Achsen Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-057 B1 Ellipse Oval 2 rb rc A1 F1 ra F2 A2 Lösung: Grosse und kleine Achse zeichnen, Punkte A1 – A2 und B1 – B2 Um Punkt B1 mit Radius A1–O Kreisbogen zeichnen; die Schnittpunkte auf der grossen Achse sind die Brennpunkte F1 und F2. Auf der grossen Achse den Punkt beliebig festlegen. Mit Radius A1–X um Punkt F1 und mit Radius A2–X um F2 Kreisbogen zeichnen. Ihr Schnittpunkt ist ein Punkt der Ellipse. Weitere Punkte werden in der gleichen Weise konstruiert. B2 rb A1–X Konstruiere eine Ellipse, gegeben sind grosse Achse A1 – A2 und kleine Achse B1 – B2 rc A2–X Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Ellipse/Oval aus gegebenen Achsen 2 Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-058 M4 Ellipse Oval 3 Konstruiere eine Ellipse aus Kreisbogen, gegeben sind grosse Achse – und kleine Achse – r S M1 M3 Lösung: Grosse und kleine Achse zeichnen, Punkte – und – . Zeichne Verbindungslinie – Um Punkt mit Radius – einen Kreisbogen zeichnen; dieser schneidet die Linie – im Punkt E. Um Punkt mit Radius – einen Kreisbogen zeichnen; dieser schneidet die Linie – im Punkt F. Um Punkt einen Kreisbogen mit – zeichnen, dieser schneidet die grosse Achse in M1. Um M1 einen Kreisbogen mit Radius – zeichnen; die beiden Kreisbogen schneiden sich im Punkt H. Die Verlängerung der Linie – M1 ergibt in der Verlängerung der kleinen Achse – den Mittelpunkt M2. Um M2 einen Kreisbogen mit M2 – von nach zeichnen. Die Übertragung der Mittelpunkte M1 und M2 nach oben bzw. nach rechts ergibt die Mittelpunkte M3 und M4. M2 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Ellipse/Oval aus gegebenen Achsen 3 Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-059 Ellipse Oval 4 Konstruiere eine Ellipse aus Kreisbogen, gegeben ist die Achse – M2 1/3 1/3 1/3 M1 Lösung: Grosse Achse – zeichnen. Errichte Mittelsenkrechte in Punkt S. Achse – in drei gleich grosse Teile teilen. Errichte auf den Teilstrecken – und – die Mittelsenkrechten. Um Punkt einen Kreisbogen mit – zeichnen. Um Punkt einen Kreisbogen mit – zeichnen. Die Schnittpunkte dieser Kreisbogen mit den Mittelsenkrechten auf – und – bilden die Anschlusspunkte E, F, und H. Um Punkt einen Kreisbogen mit – von Punkt nach Punkt zeichnen. Um Punkt einen Kreisbogen mit – von Punkt nach Punkt zeichnen. Um die Punkte und Kreisbogen mit den Radien – bzw. – zeichnen. Diese Kreisbogen schneiden die kleine Mittelachse in M1. Um die Punkte und Kreisbogen mit den Radien – bzw. – zeichnen. Diese Kreisbogen schneiden die kleine Mittelachse in M2. Die Punkte M1 und M2 sind die Mittelpunkte für die grossen Kreisbogen der Ellipse. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Ellipse/Oval aus gegebenen Achsen 4 Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-060 Ellipse Oval 5 Finde Mittelpunkt und die Hauptachsen einer gegebenen Ellipse G M H Lösung: Zeichne zwei beliebige parallele Sehnen (A – B, – D) und verbinde deren Halbierungspunkte und F. Verlängere diese Verbindungsgerade bis zur Ellipsenlinie (Schnittpunkte und H). Der Halbierungspunkt dieser so entstandenen Hauptsehne – ist der Mittelpunkt der Ellipse Um den Mittelpunkt einen Kreis zeichnen, der die Ellipse viermal schneidet. Die Schnittpunkte zu einem Rechteck verbinden. Die beiden Mittellinien des Rechtecks sind die Hauptachsen. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Mittelpunkt und Hauptachsen einer Ellipse finden Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-061 Ellipse Oval 6 Ellipsen-Definition und Zeichnen von Ellipsen Definition: Die Ellipse ist eine ebene Kurve, die durch die Brennpunkte und die Länge der grossen Achse bestimmt ist. Die Ellipse besteht aus allen Punkten, bei denen die Summe ihrer Entfernungen von den Brennpunkten gleich 2a ist. P1 F1 F2 A, B, C, A – 2a – 2b F1 und F2 P1 und P2 Scheitelpunkte grosse Achse kleine Achse Brennpunkte Mittelpunkt Punkte auf der Ellipsenlinie Zum Zeichnen von Ellipsen: P2 Die vorangestellten Konstruktionsmethoden sind im täglichen Zeichenbetrieb teilweise umständlich und zeitraubend. Mit passenden Schablonen oder einem Ellipsen-Zirkel lassen sich Ellipsen rationell zeichnen. a Ellipsenzirkel »Ellipsograph« von rotring ca. 1985 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Ellipsen zeichnen allgemein 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-062 Parabel 1 Parabel-Definition und Konstruktion Definition P1 L1 Definition: Konstruktion (1) Die Parabel ist eine ebene Kurve, bei der jeder Punkt vom Brennpunkt und der Leitlinie den gleichen Abstand hat. P1 Scheitelpunkt Brennpunkt Leitlinine P1 und P2 Punkte auf der Parabellinie L3 Konstruiere eine Parabel, gegeben sind Leitlinie und Brennpunkt Lösung: a P2 L2 P2 Leitlinie zeichnen und zusätzlich durch Punkt eine Senkrechte zeichnen. Brennpunkt festlegen. Um Punkt mit beliebigem Radius einen Kreisbogen zeichnen. Zur Leitlinie mit Abstand Parallele zeichnen; die Schnittpunkte P1 und P2 der Parallele mit dem Kreisbogen sind sind Punkte der Parabel. Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte von – L. Dementsprechend Parabel mit Kurvenlineal ausziehen. Vertiefung siehe: Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Parabel Definition und Zeichnen aus Leitlinie Brennpunkt Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-063 P1 P2 4 4 Parabel 2 Parabel nach Punkten 3 3 Konstruiere eine Parabel, gegeben sind die Punkte P1, P2 und Scheitelpunkt Lösung: 2 2 1 1 Strecken – und – in gleiche Anzahl Teile teilen und von aus laufend numerieren. Strecken – P1 und – P2 in die gleiche Anzahl Teile wie die Strecke – teilen und von und aus laufend numerieren. Von aus auf die Teilpunkte von – P1 und – P2 Strahlen zeichnen und in den Teilpunkten auf – und – die Senkrechten errichten. Die Schnittpunkte von gleichzahligen Strahlen und Senkrechten sind Punkte der Parabel. Dementsprechend Parabel mit Kurvenlineal ausziehen. 4 3 2 1 1 2 3 4 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Parabel aus Punkten Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-064 11 10 Parabel 3 9 Tangentenkonstruktion 8 Konstruiere eine Parabel, gegeben sind die Tangenten – und – 7 Lösung: 6 5 4 1 2 Tangenten – und – in gleiche Anzahl Teile teilen und von und aus laufend numerieren. Gleichzahlige Teilpunkte auf – und – miteinander verbinden. Jede dieser Verbindungslinien ist Tangente der Parabel, berührt diese also in einem Punkt. Dementsprechend Parabel mit Kurvenlineal ausziehen. 3 3 4 5 6 2 7 8 1 9 10 11 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Parabel aus Tangenten Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Hyperbel 1 Die Hyperbel ist eine Kurve in der Ebene die durch die Gerade 2a und die beiden Brennpunkte F1 und F2 bestimmt ist. Die Hyperbel aus zwei getrennten, sich ins Unendliche erstreckenden Teilkurven. Die durch den Punkt 0 gehenden Asymptoten g1 und g2 sind zwei gerade Linien, die der Hyperbel immer näher kommen, ohne sie jemals zu berühren. Für jeden Punkt der Hyperbel ist die Differenz der Enfernungen von den beiden Punkten gleich 2a. g1 g2 P1F1 – P1F2 P2F2 – P2F1 2a P4 F1 und F2 A1 und A2 F1F2 g1 und P1 Brennpunkte Scheitelpunkte Hauptachse Asymptoten 2 0 F1 A2 A1 P3 F2 Konstruiere eine Hyperbel, gegeben sind die Gerade 2a und die Brennpunkte F1 und F2 P2 Hyperbelkonstruktion Vertiefung: Abb.: A-065 Lösung: In A1 und A2 die Senkrechten errichten und um Punkt 0 mit Radius F10 Kreis schlagen. Die Verbindung der schräg gegenüberliegenden Schnittpunkte ergeben die Asymptoten g1 und g2. Punkt beliebig festlegen. Nacheinander mit Radius A1X und A2X um F1 und F2 Kreisbögen schlagen. Die Schnittpunkte der Kreisbögen P1, P2, P3 und P4 sind Punkte der Hyperbel. Die Punkte A1 und A2 sind durch die Strecke 2a bestimmt. Dementsprechend Hyperbel mit Kurvenlineal ausziehen. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Hyperbel Hyperbelkonstruktion Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-066 Hyperbel 2 Hyperbelkonstruktion Punktkonstruktion g1 Konstruiere eine Teil-Hyperbel, gegeben sind die Asymptoten g1 und g2 und der Punkt Lösung: Durch den Punkt zu g1 und g2 Parallelen zeichnen. Vom Punkt 0 aus beliebig viele Strahlen zeichnen, die beide Parallelen schneiden. (Die Genauigkeit der Hyperbel erhöht sich mit der Anzahl der Strahlen.) Durch die Schnittepunkte der Strahlen mit den Parallelen erneut Parallelen zeichnen zu g1 und g2 zeichnen. Der Schnittpunkt der senkrechten und waagrechten Parallele eines Strahls ist ein Punkt der Hyberbel. Dementsprechend Hyperbel mit Kurvenlineal ausziehen. 0 g2 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Hyperbelkonstruktion Punktkonstruktion Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-067 Hyperbel 3 C1 P3 Hyperbelkonstruktion Sekantenkonstruktion A Konstruiere eine Teil-Hyperbel, gegeben sind die Asymptoten g1 und g2 und der Punkt g1 Lösung: 2 3 1 0 P2 P1 B1 A1 g2 Die Sekanten-Konstruktion nutzt den Umstand, das die Sekantenabschnitte zwischen der hyperbolischen Kurve und den Asmyptoten stets gleich sin: PA P1A1; PB P2B1; P1C P3C1 usw. Durch Punkt einen beliebigen Strahl legen, der die Asymptoten in und A1 schneidet. Von A1 aus auf Strahl 1 den Sekantenabschnitt PA abtragen; Punkt P1 ist ein Punkt der Hyperbel. Die Punkte P2 und P3 in der gleichen Weise ermiteln. (Die Genauigkeit der Hyperbel erhöht sich mit der Anzahl der Sekanten.) Dementsprechend Hyperbel mit Kurvenlineal ausziehen. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Hyperbelkonstruktion Sekantenkonstruktion Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-068 Regelmässige Vielecke 1 Allgemeine Vielecks-Konstruktion in einem gegebenen Kreis c3 r 3 Konstruiere ein regelmässiges Vieleck, gegeben sind der Umkreis mit Durchmesser AB Lösung: 1 Den Durchmesser AB gleichmässig in soviele Teile teilen wie das Vieleck Ecken haben soll (in diesem Beispiel 9) Die Durchmesser links und oben um je eine aus dieser gewonnen Teilung ermittelten Teilsrecke nach und verlängern. Verbinde mit b. Die Strecke ab schneidet den Umkreis in c. Verbinde immer mit dem 3. Teilpunkt des Durchmessers AB. 2 3 4 5 6 Die gefundene Strecke c3 ( r) ist (in diesem Falle) eine Neuneckseite. Diese Strecke auf dem Kreisumfang neunmal abtragen. 7 8 9 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Regelmässige Vielecke Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-069 Regelmässige Vielecke 2 5-Eck Konstruiere ein regelmässiges 5-Eck, gegeben sind der Umkreis mit Durchmesser ab Lösung: a Den Radius des Kreises halbieren und um die Mitte mit Radius AB einen Kreisbogen schlagen, der den waagrechten Durchmesser in schneidet. Die Strecke BC ist die Länge einer 5-Eckseite. Diese Strecke auf dem Kreisumfang 5 mal abtragen. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Regelmässige Vielecke 5-Eck Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-070 Regelmässige Vielecke 3 5-Eck und 10-Eck Konstruiere ein regelmässiges 5-Eck, daraus ein regelmässiges 10-Eck, gegeben sind der Umkreis mit Durchmesser ab Lösung: Den Radius des Kreises halbieren und um die Mitte mit Radius AB einen Kreisbogen schlagen, der den waagrechten Durchmesser in schneidet. Die Strecke BC ist die Länge einer 5-Eckseite. Diese Strecke auf dem Kreisumfang 5 mal abtragen. Halbiere die Seiten des 5-Ecks, errichte darauf die Senkrechten, dann ergeben die Schnittpunkte mit dem Kreis die Endpunkte des 10-Ecks. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Regelmässige Vielecke 5-Eck 10-Eck Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-071 Regelmässige Vielecke 4 6-Eck (im Umkreis) BM Konstruiere ein regelmässiges 6-Eck, gegeben sind der Umkreis mit Durchmesser AB Lösung: r AM Den Durchmesser AB des Kreises halbieren und um die Punkte und mit den Radien AM und BM Kreisbogen schlagen, die den Kreis schneiden. Die Schnittpunkte der Kreisbogen mit dem Kreis sind die Eckpunkte des 6-ecks. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Regelmässige Vielecke 6-Eck Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-072 Regelmässige Vielecke 5 6-Eck (um Inkreis umschriebenes 6-Eck) Konstruiere ein regelmässiges 6-Eck, gegeben sind der Inkreis mit Durchmesser AB A Lösung: Am zweckmässigsten mit Zeichenschiene und 30-Zeichendreieck die Tangenten durch die vorher bestimmten Berührungspunkte ziehen. 60 Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Regelmässige Vielecke 6-Eck um Inkreis Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-073 Regelmässige Vielecke 6 7-Eck (im Umkreis) Konstruiere ein regelmässiges 7-Eck, gegeben ist der Umkreis mit Durchmesser AB A r1CM D r2DO Lösung: Um Punkt einen Kreisbogen mit r1CM zeichnen. Dieser schneidet den Kreis in und E. Die Verbindungslinie von und schneidet den vertikalen Durchmesser im Punkt O. Um Punkt einen Kreisbogen mit r2DO zeichnen. Dieser schneidet den Kreis in F. Die Strecke DF ist eine Siebeneck-Seite. Diese siebenmal auf dem Kreisumfang abtragen. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Regelmässige Vielecke 7-Eck im Umkreis Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-074 Regelmässige Vielecke 7 8-Eck und 4-Eck (im Umkreis) Konstruiere ein regelmässiges 8-Eck, gegeben ist der Umkreis mit den Durchmessern AB und CD Lösung: Die Schnittpunkte A, B, und der Durchmesser mit dem Kreisumfang mit Linien verbinden. Auf den so entstandenen Seiten des 4-Ecks die Mittelsenkrechten errichten. Die Schnittpunkte dieser Mittelsenkrechten mit dem Kreisumfang und die Punkte A, B, und sind die Eckpunkte des 8-Ecks. Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Regelmässige Vielecke 8-Eck und 4-Eck im Umkreis Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-075 n-Eck Prinzipkonstruktion 8 (Strahlenmethode) B n-Eck (im Umkreis) 1 nt Ko oll r ei 3 Konstruiere nach der Strahlenmethode am Beispiel eines 9-Ecks ein regelmässiges n-Eck, gegeben ist der Umkreis mit Durchmesser AB. (Siehe auch Abb. A-068) 4 Lösung: 2 5 7 8 ei 6 AB oll t Ko Die Strecke AB in 9 gleiche Abschnitte teilen. Dazu zeichne durch Punkt eine Gerade in beliebigem Winkel und trage darauf 9 gleichlange Abschnitte ab. Verbinde Punkt auf dieser Geraden mit Punkt B. Zu dieser Verbindungslinie ziehe Parallelen durch jeden Teilungspunkt auf der Strecke AS. Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit der Strecke AB ergeben die gesuchten Teilungspunkte. Mit Radius AB um Punkte und jeweils einen Kontrollkreis schlagen, diese schneiden sich in den Punkten und D. Von und aus durch die Teilungspunkte 1 3 5 7 auf der Strecke AB Strahlen zeichnen. Die Schnittpunkte der Strahlen mit dem Umkreis ergeben die Eckpunkte des gesuchten n-Ecks (9-Ecks) Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Strahlenkonstruktion eines n-Ecks Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-076 A1 A-A1 B1 Zeichenpraxis – Verschieben E1 Verschiebe ein unregelmässiges 5-Eck in eine beliebige Richtung mit dem Abstand A-A1. C1 D1 Durch Punkt eine Gerade in der gewünschten Verschieberichtung legen. Durch die Punkte B, C, D, und Parallelen zu dieser Geraden zeichnen. Von jedem der Punkte des 5-Ecks einen Kreisbogen mit dem Verschiebe-Abstand – A1 schlagen. Die Schnittpunkte mit den jeweiligen Geraden bilden die Eckpunkte A1 – E1 des verschobenen 5-Ecks. B Lösung: Design: 2005 mtp-studio Vervielfältigung und Verbreitung ausschliesslich zu privaten Zwecken gestattet Geometrie verschieben Legende: gegeben Hilfslinien gefundene Lösung 2D-Geometrie Basiswissen Abb.: A-077 C1 B1 Zeichenpraxis – Geometrie drehen 1 Drehen um 90 Drehe ein gegebenes unregelmässiges 5-Eck um den gegebenen Drehpunkt um 90. 90 A1 Lösung: D1 E1 Um den Drehpunkt Kreisbogen durch die Eckpunkte A, B, C