Arbeitsblatt: Ebene Figuren 1

Geometrie Ebene Figuren Ebene Figuren: Dreiecke Vierecke Arbeitsauftrag: Dieses Thema wirst du selbstständig im IWO und, falls nötig, als Hausaufgabe erarbeiten. Das Dossier enthält Theorie, die du aufmerksam studieren musst, und Aufgaben, die du lösen sollst. Die Lösungen findest du wie immer an der linken Wandtafel, dieses Mal in Lösungsmäppchen. Wende dich bei Fragen in den IWOLektionen an deine Lehrperson. Gute Arbeit! Figuren sind in der Geometrie Objekte der Ebene mit 2 Dimensionen (Länge und Breite). Sie werden aus geraden oder gebogenen Linien gebildet. Wir setzen uns in diesem Kapitel mit Dreiecken und Vierecken auseinander. Vielecke mit fünf und mehr Ecken werden wir im Kapitel Pythagoras anschauen und Kreise werden gegen Ende der 2. Sek Thema sein. A) Dreiecke: Definitionen Eigenschaften Ecken Jedes Dreieck hat drei Ecken, die meist mit Grossbuchstaben (A, B, C) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet werden. Seiten Die drei Seiten und werden meist mit Kleinbuchstaben (a, b, c) beschriftet. Die Seite liegt gegenüber Eckpunkt A, die Seite gegenüber Eckpunkt und die Seite gegenüber der Ecke C. Winkel In jedem Dreieck gibt es drei Innenwinkel, die meist mit griechischen Buchstaben bezeichnet werden: Winkel beim Eckpunkt A, Winkel beim Eckpunkt und Winkel beim Eckpunkt C. In jedem Dreieck gilt: 180 Einteilung der Dreiecke 1 Geometrie Ebene Figuren Symmetrie Normalerweise sind Dreiecke weder punkt- noch achsensymmetrisch. Ausnahmen sind die gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecke. Aufgabe 1: Beschrifte in den folgenden Dreiecken die Ecken und zeichne alle Symmetrieachsen ein. Gleichschenkliges Dreieck Anzahl Symmetrieachsen: Aufgabe 2: Gleichseitiges Dreieck Anzahl Symmetrieachsen: Entscheide bei jeder Aufgabe, ob die Aussagen „wahr oder „falsch sind. Aussage wahr falsch Gleichschenklige Dreiecke haben immer einen rechten Winkel. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60. Jedes gleichschenklige Dreieck hat zwei gleichgrosse Winkel. In einem gleichschenkligen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Es gibt stumpfwinklige Dreiecke mit einem rechten Winkel. Gleichseitige Dreiecke haben drei Symmetrieachsen. Es gibt gleichschenklig rechtwinklige Dreiecke. Die Innenwinkelsumme beträgt beim Dreieck immer 108. B) Vierecke: Definitionen Eigenschaften Ein Viereck ist eine von 4 Seiten begrenzte ebene Figur. Allgemeines Viereck Das allgemeine Viereck ist ein Viereck ohne spezielle Eigenschaften. Anhand des allgemeinen Vierecks führe ich Begriffe und Eigenschaften auf, die für alle Vierecke gelten. Ecken Beschriftung mit Grossbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A, B, C, D. Seiten Beschriftung mit Kleinbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: a, b, c, d. 2 Geometrie Ebene Figuren Winkel Beschriftung mit den griechischen Kleinbuchstaben , , und (Delta) passend zum Eckpunkt. In jedem Viereck gilt: 360 Diagonalen Beschriftung mit den Kleinbuchstaben und f: Die Diagonale verbindet die Eckpunkte und C. Die Diagonale verbindet die Eckpunkte und D. Die Diagonalen schneiden einander im Mittelpunkt M. Symmetrie Das allgemeine Viereck ist weder punkt- noch achsensymmetrisch. Aufgabe 3: Benenne die abgebildeten Vierecke. Zeichne in jedes Viereck alle Symmetrieachsen ein. Beschreibe die Symmetrieachsen und notiere, wie viele es sind. Vieleck Beispiel Symmetrieachsen . . . Anzahl: . . . . Anzahl: . . . . Anzahl: . . . . Anzahl: . 3 Geometrie Ebene Figuren . . . Anzahl: . 4 Geometrie Ebene Figuren Quadrat Ein Quadrat ist ein Viereck mit 4 gleich langen Seiten und 4 rechten Winkeln. Da alle Seiten gleich lang sind, wird jede Seite mit beschriftet. Die Diagonalen: werden mit beschriftet. sind gleich lang. halbieren einander. stehen aufeinander normal (senkrecht). schneiden einander im Mittelpunkt M. Das Quadrat ist achsensymmetrisch (4 Symmetrieachsen) und auch punktsymmetrisch (Symmetriezentrum M). Rechteck Ein Rechteck ist ein Viereck mit 4 rechten Winkeln, bei dem gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang, daher wird die längere Seite als Länge und die kürzere Seite als Breite bezeichnet. Die Diagonalen: werden mit beschriftet. sind gleich lang. halbieren einander. schneiden einander im Mittelpunkt M. Das Rechteck ist achsensymmetrisch (2 Symmetrieachsen) und auch punktsymmetrisch (Symmetriezentrum M). Parallelogramm Rhomboid Parallelenviereck Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind. In einem Rhomboid (Parallelogramm): sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang: c, sind die gegenüberliegenden Winkel gleich gross: , ergänzen sich benachbarte Winkel auf 180: 180, 180, 180, 180 Die Diagonalen: werden mit und beschriftet. halbieren einander. schneiden einander im Mittelpunkt M. 5 Geometrie Ebene Figuren Der Rhomboid ist punktsymmetrisch (Symmetriezentrum M).Rhombus Raute Eine Raute (ein Rhombus) ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten. In einer Raute (Rhombus): sind alle Seiten gleich lang. abcd sind die gegenüberliegenden Winkel gleich gross. , ergänzen sich benachbarte Winkel auf 180: 180, 180, 180, 180 Die Diagonalen: werden mit und beschriftet. halbieren einander. stehen aufeinander normal (senkrecht). schneiden einander im Mittelpunkt M. Der Rhombus ist achsensymmetrisch (2 Symmetrieachsen) und auch punktsymmetrisch (Symmetriezentrum M). Trapez Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel zueinander liegen. In einem Trapez werden die parallelen Seiten (a und c) als Parallelseiten bezeichnet. werden die beiden nicht parallelen Seiten (b und d) als Schenkel bezeichnet. ist der Normalabstand der Parallelseiten die Höhe h. ergänzen sich beide am Schenkel anliegenden Winkel auf 180: 180, 180 Die Diagonalen: werden mit und beschriftet schneiden einander im Mittelpunkt Das allgemeine Trapez ist nicht symmetrisch, d.h. weder punkt- noch achsensymmetrisch. Spezialfall gleichschenkliges Trapez: Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez mit gleich langen Schenkeln (b d). Die Winkel an jeder der beiden parallelen Seiten sind gleich gross: , Die Diagonalen und sind gleich lang. Das gleichschenklige Trapez ist achsensymmetrisch (1 Symmetrieachse). 6 Geometrie Ebene Figuren Drachenviereck Deltoid Ein Deltoid ist ein Viereck, bei dem zwei Paar Nachbarseiten gleich lang sind. In jedem Drachenviereck gilt (siehe Abbildung): d, und Die Diagonalen: werden mit und beschriftet halbieren einander. stehen aufeinander normal (senkrecht). schneiden einander im Mittelpunkt M, und: Die Diagonale halbiert die Diagonale f! Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch (1 Symmetrieachse). Aufgabe 4: Kreuze an. Welche Eigenschaften gelten für a) ein Parallelogramm? b) ein gleichschenkliges Dreieck? die Diagonalen sind gleich lang. gegenüberliegende Seiten sind gleich lang gegenüberliegende Seiten sind parallel hat genau eine Symmetrieachse alle Winkel sind gleich gross ein Winkel ist 90 Aufgabe 5: Vervollständige zu einem a) Quadrat b) Parallelogramm c) gleichschenkligen Trapez Aufgabe 6: Kreuze alle Eigenschaften an, die für die angegebenen Vierecke immer gültig sind: Alle Seiten sind gleich lang Benach barte Seiten stehen senkrec ht zueinan der Gegenü berliege nde Seiten sind parallel zueinan der Gegenü berliege nde Winkel sind gleich gross Alle Winkel sind gleich gross Punktsy mmetrie Die Diagona len halbiere sich Die Diagona len stehen senkrec ht zueinan der Quadrat Rhombus Rechteck Parallelogramm Trapez Deltoid 7 Geometrie Ebene Figuren C) Haus der Vierecke Im Haus der Vierecke sind die wichtigsten Viereckformen aufgrund ihrer Eigenschaften verbunden. Besondere Eigenschaften werden in der Regel „weitervererbt, d. h. man kann das nachfolgende Viereck immer als Sonderfall der vorangehenden Vierecke auffassen. Es gilt also z.B.: • Jedes Parallelogramm ist ein Trapez. • Jedes Rechteck ist ein gleichschenkliges Trapez. • Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm. • Jede Raute ist ein Parallelogramm. • Jedes Quadrat ist sowohl ein Rechteck als auch eine Raute Haus der Vierecke: Aufgabe 7: Gib die Namen der Vierecke im obigen Diagramm an! 1.5. 2.6. 3.7. 4.8. Aufgabe 8: Zeichne alle Symmetrieachsen grün und Symmetriezentren rot ein (siehe Beispiel). 8 Geometrie Aufgabe 9: Ebene Figuren Entscheide bei jeder Aufgabe, ob die Aussagen „wahr oder „falsch sind. Aussage wahr falsch Jedes Quadrat ist ein Parallelogramm. Alle Rechtecke sind Rhomben. Jedes Trapez ist ein Parallelogramm. Es gibt Quadrate, die keine Rechtecke sind. Es gibt Trapeze, die einen rechten Winkel haben. Alle Parallelogramme sind Rhomben. Alle Rhomben sind Drachenvierecke. Rechtecke, Quadrate und Parallelogramme sind Trapeze. Rechtecke, Quadrate, Parallelogramme und Rhomben sind Trapeze. Jedes Viereck setzt sich aus zwei Dreiecken zusammen. Im Viereck ist die Innenwinkelsumme doppelt so gross wie im Dreieck. Aufgabe 10: Ordne den genannten Eigenschaften die entsprechenden Figuren zu. Es können mehrere Lösungen richtig sein. Finde möglichst viele. Eigenschaften Figur(en) Alle Seiten sind gleich lang. Es gibt ein Paar paralleler Seiten. Alle Winkel sind rechte Winkel. Die Figur hat vier Seiten und die gegenüberliegenden Winkel sind gleich gross. Es gibt genau zwei Paar paralleler Gegenseiten. Die Figur hat genau eine Symmetrieachse. Die Figur hat vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten. Die Figur hat vier Seiten, wovon zwei parallel sind und sie besitzt eine Symmetrieachse. Die Figur hat vier Seiten und genau zwei Symmetrieachsen. Die Figur besitzt genau zwei gleich lange Diagonalen. Die Figur hat zwei Diagonalen, welche gleichzeitig Symmetrieachsen sind. Die Figur hat genau drei Symmetrieachsen und alle Seiten sind gleich lang. 9 Geometrie Ebene Figuren D) Flächenberechnungen Der Flächeninhalt (kurz: Fläche) einer Figur wird mit (vom lateinischen area Platz, Fläche) bezeichnet. Die Einheit ist der Quadratmeter (m). Rechteck Herleitung der Flächeninhaltsformel: 1) Wir konstruieren ein Rechteck mit der Länge 7cm und der Breite 3cm. 2) Nun schneiden wir mehrere 1cm-Kästchen aus blauem Papier aus und legen diese in unser Rechteck. Da die Länge 7cm ist, gehen sich in einer Reihe 7 Kästchen aus. Der Flächeninhalt einer Reihe beträgt also 7 1cm2 7cm2 3) Nachdem die Breite des Rechtecks 3 cm beträgt, gehen sich 3 solche Reihen aus. Der Flächeninhalt von 3 Reihen beträgt also 3 7cm2 21cm2 4) Also: Flächeninhalt Flächeninhalt einer Reihe Anzahl der Reihen Daher kommen wir zu folgendem Schluss: Flächeninhalt Länge Breite lb Umformung der Flächeninhaltsformel: Das wohl wichtigste Algebra-Handwerk, das wir in der Geometrie (und dann auch in der Physik) brauchen, ist das Umformen von Formeln. Dabei gehen wir genauso vor wie wir es beim Umformen von Gleichungen gelernt haben. Schauen wir uns dies am Beispiel der Rechtecks-Flächenformel an: Auflösen der Formel nach der Länge Al :b A:b A:l l A:b b A:l Umformung der Umfangsformel: Umfang 2l 2b Auflösen der Formel nach der Länge u 2l 2b – 2b – 2b Auflösen der Formel nach der Breite A lb :l 2l – 2b (u – 2b) 2 2l Auflösen der Formel nach der Breite u 2l 2b – 2l – 2l :2 2b 2b u – 2l :2 (u – 2l) 2 10 Geometrie Ebene Figuren Aufgabe 11: Repetition Umwandlung von Längen- und Flächenmassen. So kann ich mir die Umwandlungen merken: von klein nach gross: dividieren von gross nach klein: multiplizieren A. Rechne in die nächstgrössere Einheit um. 400 mm2 3200 cm2 78 m2 42.5 dm2 36 mm2 5 m2 40 dm2 6300 m2 B. Rechne in die nächstkleinere Einheit um. 2.5 cm2 0.765 km2 0.003 km2 3.25 dm2 4 m2 5 cm2 87 dm2 94 cm2 0.63 m2 C. Rechne in die angegebene Einheit um. a) 4 m2 70 dm2 97 cm2 cm2 b) 3 km2 600 m2 42 dm2 m2 c) 6 dm2 3 cm2 2 mm2 mm2 D. a) Rechne in die angegebene Einheit um: 8.5 .cm 12.4 m2 . dm2 17 mm cm b) Rechne in die nächstgrössere Einheit um: 6200 . 2400 dm2 . 92 cm . c) Rechne in die nächstkleinere Einheit um: 5.7 km . 0.4 cm2 . 6.8 m2 . d) Schreibe mit Dezimalpunkt (als „Kommazahl): 8 cm 2 mm . 7 km 95 72 cm2 40 mm2 11 Geometrie Ebene Figuren Aufgabe 12: Erste Rechtecks-Berechnungen. A. Berechne die fehlenden Grössen der folgenden Rechtecke: a) b) 7.2 cm 3.5 cm c) d) 4.6 cm e) 25 mm 17.5 dm 255 31.2 cm 810 140 dm2 2400 mm2 B. a) Welchen Umfang hat ein Rechteck, das 40 lang ist und einen Flächeninhalt von 8000 m2 hat? b) Welchen Flächeninhalt hat ein Rechteck, das 35 lang ist und einen Umfang von 190 hat? C. Berechne jeweils die Gesamtfläche der folgenden Figuren. Gehe auf zwei verschiedene Arten vor. a) Zerlegen, dann Teilflächen addieren b) Ergänzen, dann Teilflächen subtrahieren A1 . A1 . A2 . A2 . A1 A2 A1 – A2 12