Arbeitsblatt: Ebene Figuren 3

Geometrie Ebene Figuren Rhombus Raute Der Rhombus ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. Daher muss für den Flächeninhalt des Rhombus auch die Formel gelten. Der Rhombus ist aber auch ein Spezialfall des Drachenvierecks: Der Rhombus ist nämlich ein Drachenviereck mit vier gleich langen Seiten! Es muss daher auch für den Rhombus die Flächenformel (e f) 2 gelten. ARhombus g sowie: ARhombus (e f) 2 e f/2 Quadrat Auch im Quadrat stehen die beiden Diagonalen aufeinander senkrecht. Es gilt daher neben der bekannten Flächenformel a2 auch die Formel der Drachenvierecke (e f) 2. Da im Quadrat die Diagonalen gleich lang sind, kann man auch schreiben (d d) 2 d2 2. AQuadrat g a2 sowie: AQuadrat (e f) 2 d2 2 Aufgabe 22: Berechne Umfang und Flächeninhalt der abgebildeten Figuren. a) b) Aufgabe 23: Bestimme die Seitenlänge und die Länge der Diagonalen eines Quadrates mit dem Flächeninhalt 400 cm2. Trapez Nimm die ein leeres Blatt Papier, falte es etwa in der Mitte und zeichne darauf ein beliebiges Trapez. Beim Ausschneiden aus dem gefalteten Papier erhältst du zwei kongruente (deckungsgleiche) Trapeze. Lege nun die beiden Trapeze so nebeneinander, dass eine bereits bekannte Figur entsteht. 1 Geometrie Ebene Figuren Es entsteht ein Rhomboid (Parallelogramm), der doppel so gross ist wie jedes der beiden Trapeze. Die Flächeninhaltsformel des Parallelogramms kennst du ja schon. Wir folgern: AParallelogramm g (a c) ATrapez AParallelogramm 2 (a c) : 2 (a c) 2 Mit anderen Worten: Anstelle der Grundlinie bei Parallelogrammen steht in der Flächenformel des Trapez (a c) 2, was dem arithmetischen Mittel ( Durchschnitt) von Grund- und Deckseite entspricht. Wir bezeichnen nun (a c) 2 als Mittellinie m. Einige Beispiele: (a c) 2 Die Mittellinie im Trapez hat eine wichtige Bedeutung für die Konstruktion und die Berechnung. Für Konstruktionen wichtig ist die Eigenschaft, dass die Mittellinie Mittelparallele der Grund- und Deckseite ist, für die Berechnung ist sie wichtig, da über die Mittellinie die Trapezfläche bestimmt werden kann. ATrapez m (a c) 2 Umformung der Formel (a c) 2 Auflösen der Formel nach der Seite 2 (a c) 2 2m a c –c 2m – Auflösen der Formel nach der Seite 2 (a c) 2 2m a c –a 2m – Umformung der Formel (a c) 2 Auflösen der Formel nach der Höhe A (a c) 2 2 2A (a c) h 2A (a c) (a c) Auflösen der Formel nach der Seite A (a c) 2 :h : (a c) 2 2 2A h a c –a 2A h – 2 Geometrie Ebene Figuren Aufgabe 24: Verwandle das folgende Trapez in ein Rechteck doppelter Fläche. Aufgabe 25: Berechne Umfang und Flächeninhalt der abgebildeten Trapeze. a) b) Aufgabe 26: Bestimme die Mittellinie und den Flächeninhalt der Trapeze. a) b) c) d) Seite 6 cm 14.2 dm 0.5 2.5 Seite 4 cm 82 cm 0.4 15 dm 8 cm 130 cm 24 cm 12 dm Mittellinie Höhe Flächeninhalt Aufgabe 27: Bestimme die fehlenden Werte der folgenden Trapeze. a) b) Seite 8 cm Seite 6 cm c) 3 cm 2 dm Mittellinie Höhe Flächeninhalt 21 cm2 70 cm 0.5 42 dm2 250 cm2 3 Geometrie Ebene Figuren Dreieck Um die Formel für die Fläche des Dreiecks ABC zu bestimmen, kann man es zum Parallelogramm ABEC ergänzen. Das Dreieck ABC hat einen halb so grossen Flächeninhalt wie das Parallelogramm ABEC. Die zur Seite AB des Parallelogramms gehörige Höhe entspricht im Dreieck ABC der Höhe c. Für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC ergibt sich: ADreieck (c hc) 2 Die Fläche des Dreiecks ABC kann aber auch mit jeder anderen Seite und der zugehörigen Höhe berechnet werden. Dier Figur rechts zeigt die Überlegung für und hb. Wir können also auch die Flächenformel des Dreiecks verallgemeinern: ADreieck (g h) 2 Wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck zu einem Rhomboid ergänzen, so erhalten wir ein Rechteck mit dem Flächeninhalt Arechtw. Dreieck (a b) 2. Das heisst, dass wir beim Spezialfall des rechtwinkligen Dreiecks die Fläche berechnen können, wenn wir die beiden Seiten kennen, welche den rechten Winkel bilden. Beim allgemeinen Dreieck müssen wir dazu jeweils eine Seite und ihre zugehörige Höhe kennen. Schaut man sich die Sache genauer an, erkennt man aber, dass auch hinter der Flächenformel für das rechtwinklige Dreieck die „normale Dreiecksflächenformel steckt. Im rechtwinkligen Dreieck gilt nämlich: hb und ha Also ist beim rechtwinkligen Dreieck: Arechtw. Dreieck (g h) 2 (a ha) 2 (a b) 2 Arechtw. Dreieck (g h) 2 (b hb) 2 (b a) 2 aber auch: Arechtw. Dreieck (g h) 2 (c hc) 2 Aufgabe 28: Berechne Umfang und Flächeninhalt der abgebildeten Dreiecke. a) b) 4 Geometrie Ebene Figuren Aufgabe 29: Bestimme den Flächeninhalt der Dreiecke. a) b) c) d) Grundseite 6 cm 4.2 dm 0.5 2.5 Höhe 8 cm 13 cm 24 cm 12 dm Flächeninhalt Aufgabe 30: Bestimme die fehlenden Werte der folgenden Dreiecke. a) Grundseite b) 8 cm Höhe Flächeninhalt c) 24 cm2 70 cm 0.5 42 dm2 240 cm2 Allgemeines Vieleck Die Fläche von allgemeinen Vielecken lässt sich berechnen, indem man sie in Dreiecke und spezielle Vierecke (Trapeze, Rechtecke, Deltoide, Rhomboide) zerlegt und den Flächeninhalt dieser Teilfiguren berechnet. Die Summe dieser Flächeninhalte ergibt den gesamten Flächeninhalt. Aufgabe 31: Berechne den Inhalt der rot eingefärbten Fläche. 5