Arbeitsblatt: Geometrie

praktikum fachunterricht MATHEMATIK planungsunterlagen Cornelia Pulver Fachpraktikum II Mathematik Sekundarstufe 1 Wichtrach Februar/März 2005 1 Inhaltliche Analyse Aussermathematisch Die Geometrie im Allgemeinen, trifft man in vielen Alltagssituationen an. Geometrie ist die Lehre Alltagsphänomene zu beschreiben; Die verschiedenen Symmetrieachsen einer Blume Vergrössern/verkleinern von Objekten im Zusammenhang mit den Strahlensätzen Lichtquellen geben mit ihren Strahlen die Anwendungen der Strahlensätze wieder Vermessungen der Landschaften greifen auf geometrische Erkenntnisse zurück Weiter spielt sie im Bereich der Architektur, dann auch bei der Ähnlichkeit von Figuren, Gebäuden, eine Rolle. Auch die genaue Betrachtung eines Gegenstandes aus dem Alltag könnte in diesen Bereich gehören (Berechnung von Längen m.H.d. Pythagoras). Nun konkret auf die geometrischen Sätze bezogen, könnten die Begründer (Pythagoras, Euklid) als Menschen interessant sein. Der Mathematiker und Philosoph Pythagoras interessierte sich auch für die Musik, Kunst und Natur und wird heute auch im Zusammenhang mit diesen Bereichen genannt. Mathematisch Im Bereich der Mathematik sind die geometrischen Sätze unentbehrlich. Es geht um Ähnlichkeit, um die Beziehung von Strecken und Flächen in rechtwinkligen Dreiecken. Wichtig sind auch die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Sätzen (Höhen- und Kathetensatz, Pythagoras) und deren Anwendung. Wichtig für das Verständnis der Satzgruppe des Pythagoras sind auch deren Beweise oder Herleitungen. Der Pythagoras ist auch in Bezug auf Strecken-, Flächen- und Volumenberechnungen von Körpern ein sehr wichtiger Satz, der oft zur Anwendung kommt. 2 Voraussetzungen Vorausgesetzt für die geplante Unterrichtseinheit werden Kenntnisse in Bezug auf das Dreieck (Grundbegriffe, Konstruktion), die Ähnlichkeit (Eigenschaften) und Flächenberechnungen. Der Satz des Thales sollte bekannt sein und der Satz von Pythagoras sollte auch nicht gerade neu sein. Fortsetzung Eine Fortsetzung des Themas sehe ich in der erweiterten Anwendung der Sätze bei komplexeren Aufgaben. Andere Fächer Der Bezug zu anderen Fächern erachte ich im Zusammenhang mit den Bereichen Kunst, Natur und Musik als vielfältig. Die Informatik als Instrument zur Informationsbeschaffung zu den verschiedenen Sätzen und deren Begründer. Ev. Zeichnen, Gestalten (Berechnen von Grössen)? Inhaltliche Schwerpunkte der geplanten Sequenz • Repetition des Satzes von Pythagoras (a2 b2 c2) • Beweis und Anwendung des Satzes • Höhensatz h2 p · q) und Kathetensatz (a2 c · q, b2 c · p): Herleitung und Zusammenhang • Zusammenhang zwischen Kathetensatz und Pythagoras • Pythagoras als Mensch 3 2 Zielanalyse Rahmenbedingungen Das Thema des Praktikums sind die geometrischen Sätze (siehe inhaltliche Analyse). Bei der Klasse handelt es sich um eine 9. Klasse mit gymnasialem Unterricht. Die SchülerInnen sind schon ziemlich selbständig, machen sich z.B. während dem Unterricht selbständig Notizen. Die Klasse arbeitet mit Educanet (Bereitstellung von Materialien, Hausaufgaben,). a) Bezug zu den Grobzielen im Lehrplanentwurf für den gymnasialen Unterricht im 9. Schuljahr (2004) Grobziele Inhalte Satzgruppe des Pythagoras Einen der bekanntesten Sätze der Mathematik kennen lernen; Den Sinn von Beweisen einsehen; Die Bedeutung griechischer Mathematiker wie Thales, Pythagoras, Euklid, Archimedes etc. für die Mathematik würdigen. Satzgruppe des Pythagoras Die SchülerInnen kennen: den Satz des Pythagoras, den Kathetensatz (Satz des Euklid), den Höhensatz und Beweise dieser Sätze. die Begriffe Kathete und Hypotenuse die Formeln für die Diagonale im Quadrat, die Höhe im gleichseitigen Dreieck und die Raumdiagonale in einem Quader. Verallgemeinerungen des Satzes von Pythagoras und das Problem der Quadratur von Flächen (Quadratur des Kreises,). Verwandtes Thema bzw. Voraussetzung: Terme und Formeln Situationen mit Worten, mit Bildern, mit Termen oder mit Formeln beschreiben und zwischen den verschiedenen Beschreibungen wechseln; Texte in Terme oder Formeln übersetzen; Formeln nutzen um Erkenntnisse zu überprüfen oder Gesetzmässigkeiten zusammenzufassen; Einsicht in die Bedeutung von Termumformungen gewinnen. Die können: den Satz des Pythagoras und die verwandten Sätze bei geometrischen Problemen in der Ebene und im Raum anwenden. Terme und Formeln Die SchülerInnen kennen: die Regeln für das Umformen algebraischer Terme, welche Brüche, Quadratwurzeln oder Potenzen mit natürlichen Exponenten enthalten. Sie können: Gesetzmässigkeiten in Worten und mit Variablen ausdrücken. Terme umformen, vereinfachen, in Faktoren zerlegen. Gleichwertigkeit von Termen mittels Termumformungen begründen. 4 b) Bezug zu den Richtzielen: Angestrebte Kompetenzen Richtziel Vorstellungsvermögen • • • • Kenntnisse und Fertigkeiten • • • • • Mathematisierfähigkeit • • Problemlöseverhalten • • • Angestrebte Kompetenzen Sich das rechtwinklige Dreieck und die Verhältnisse der verschiedenen Flächen vorstellen Unterschied zwischen Strecke, Fläche und Körper verstehen Figuren/Körper zeichnen Sich Raumdiagonalen im Körper vorstellen Begriffe kennen und gebrauchen Die Satzgruppe des Pythagoras kennen und anwenden Einen Beweis für den Satz des Pythagoras kennen und verstehen Kennen der Formeln für die Diagonale im Quadrat, die Höhe im gleichseitigen Dreieck und die Raumdiagonale in einem Quader Im Kopf und mit dem TR rechnen Lernkontrolle V1 Formeln/Terme aus Sachzusammenhängen gewinnen Die Satzgruppe des Pythagoras bei geometrischen Problemen in der Ebene und im Raum anwenden M1 Experimentieren, variieren Protokollieren, dokumentieren Lösungswege planen, beurteilen P1 P2 P3 V2 V3 V4 K1 K2 K3 K4 K5 M2 Lernziele in den Bereichen Selbst- und Sozialkompetenz • • • • • Selbständiges Arbeiten: Anwenden von Gelerntem, selbständig eine Gesetzmässigkeit herausfinden Arbeiten im Team: zusammen experimentieren und auswerten, zusammen Informationen suchen und präsentieren Sich produktiv mit dem Ergebnis der Lernkontrolle auseinandersetzen, einen Misserfolg analysieren sorgfältiges Arbeiten Zeiteinteilung: selbständige Arbeiten sinnvoll einteilen Lehrmittel • • Geometrie 2, 8. Schuljahr (Fitze/Jundt/Nohl) Geometrie 3, 9. Schuljahr (Fitze/Jundt) 5 • • Aufgabensammlung zur Übung und Wiederholung: Mathematik (Helmut Postel) Geometrie Band 3 (Cornel Niederberger) 6 Lernziele Mathematik GU Thema: Die Satzgruppe des Pythagoras Satz des Pythagoras – Höhensatz – Kathetensatz – Herleitungen über die Ähnlichkeit – Anwendungen Voraussetzungen Grundkonstruktionen – Ähnlichkeit – algebraische Umformungen Satz des Pythagoras Du kennst den Satz des Pythagoras und kannst den Satz in Worten fassen. Du kennst die Herleitung des Satzes von Pythagoras über den Kathetensatz. Kernaufgabe: 211 Du kennst die Formeln für die Diagonale im Quadrat, die Höhe im gleichseitigen Dreieck, die Raumdiagonale im Würfel und im Quader. Kernaufgabe: Aufgabenblatt: Formeln mit Hilfe des Satzes von Pythagoras entwickeln Höhensatz Du kennst die Herleitung des Höhensatzes über die Ähnlichkeit. Kernaufgabe: 201 Du kennst den Höhensatz und kannst ihn in Worten fassen. Du kannst den Höhensatz für Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck, Flächenverwandlungen (Quadrat Ù Rechteck) und die Konstruktion von Wurzeln anwenden. Kernaufgaben: Berechnungen 206, Flächenverwandlungen 202, 204, 205, Konstruktion von Wurzeln 207 Kathetensatz Du kennst die Herleitung des Kathetensatzes über die Ähnlichkeit. Kernaufgabe: 208 Du kennst den Kathetensatz (für beide Katheten) und kannst ihn in Worten fassen. Du kannst den Kathetensatz für Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck, Flächenverwandlungen (Quadrat Ù Rechteck) und die Konstruktion von Wurzeln anwenden. Kernaufgaben: Berechnungen 209, Flächenverwandlung 229b, Konstruktion von Wurzeln: Aufgabe Konstruktion von 8 Anwendungen Du erkennst bei komplexeren Aufgaben wo welcher geometrische Satz zur Anwendung kommt. Kernaufgaben: (obligatorische) Übungsaufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras Æ Aufgaben 1 bis 5 Freitag 4.3.05 Lernkontrolle: Die Satzgruppe des Pythagoras Punkte: 1. a) Beschrifte das untenstehende rechtwinklige Dreieck. b) Wie lautet der Kathetensatz? Notiere den Satz in einer Formel und in Worten. c) Leite aus dem Kathetensatz den Satz des Pythagoras her 2. Der Inkreisradius eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks misst 5 cm. 1P 1P 1P 3P Beschrifte die notwendigen Strecken/Punkte und berechne x. 3. Gegeben ist ein Rechteck mit der Länge 7cm und der Breite 3cm. Verwandle das Rechteck in ein flächengleiches Quadrat a) mit dem Höhensatz b) mit dem Kathetensatz 4. Gegeben sei die Strecke e. Konstruiere eine Strecke der Länge 15 e. I 2P 2P 2P 5. Verwandle ein Quadrat mit dem Umfang 12 cm in ein 2.5 cm breites 2P flächengleiches Rechteck. 14 ACHTUNG: Zu den Konstruktionsaufgaben 3, 4, 5 gehört ein kurzer Konstruktionsbericht! Stichworte genügen. Note 4.0 ist ab 12 Punkten erreicht Freitag 4.3.05 6. Das Leuchtfeuer eines Leuchtturms hat die Höhe 100 über der 2P Wasseroberfläche. Aus welcher Entfernung kann ein Beobachter auf einem Schiff auf dem Meer – unter Berücksichtigung der Erdkrümmung – das Leuchtfeuer gerade noch sehen? Erdradius 6368 km 7. Berechne in Abhängigkeit von r. 2P Bemerkung: Der Berührugnspunkt zweier Kreise liegt auf der Verbingungsgeraden der Kreismittelpunkte. Zur Lösung solcher Probleme spielen diese Verbindungsgeraden immer eine Hauptrolle! 8. Berechne die Körperhöhe eines regelmässigen Tetraeders der Kantenlänge s. 2P Bemerkung: Ein regelmässiges Tetraeder besteht aus 4 gleichseitigen Dreiecken! 9. Berechne in Abhängigkeit von r. 2P Siehe Bemerkung zur Aufgabe 7 8P Total 22 Kurztest – Zeit: 7 Min. 1) Notiere die Formeln für a) Raumdiagonale im Quader b) Raumdiagonale im Würfel c) Diagonale im Quadrat d) Höhe im gleichseitigen Dreieck 2) Skizziere ein rechtwinkliges Dreieck und beschrifte es a) Wie lautet der Höhensatz? b) Wie lautet der Kathetensatz? NAME nicht vergessen! Aufgabe Gruppe 2 Karina, Beni, Beatrice 6 Sarah, Claudia, Pascal 8 Lisa, Jan, Marc, Laura 9 Simon, Kathrin, Deborah, Christian 7 Christa, Jonas, Livia Beurteilungsanlass: Erarbeitung eines Beweises des Satzes von Pythagoras Für den Satz des Pythagoras sind über 300 verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Ziel: In Dreier- und Vierer-Gruppen sollt ihr nun einen Beweis des Satzes auswählen, kennen lernen, auf einem Plakat darstellen und dem Rest der Klasse präsentieren. Vorgehen 1) Gruppenbildung 2) Internet-Recherche zu den Beweisen für den Satz des Pythatoras (Google: „beweise des satzes von pythagoras, Seiten auf Deutsch) 3) Einen Beweis auswählen 4) Studieren und Verstehen des ausgewählten Beweises 5) Darstellung des Beweises auf einem Plakat 6) Präsentation des erarbeiteten Beweises Zeit-Vorschlag Di 15.2: 5Min. Di: ca.20-30Min. Di: 5Min. Di/Do 16.2: 20Min Do: ca.30Min. Mo 28.2: 5-7Min. Zeitbudget: Di 15.2. und Do 17.2. (Computerraum steht zur Verfügung) Mo 28.2. (nach den Ferien): Vorbereitung der Präsentation, Beginn der Präsentationen Kriterien für die Bewertung: Plakat • Sachliche Korrektheit • Der Beweis des Satzes ist nachvollziehbar • Saubere Darstellung • Kreativität Kurz-Präsentation • Klare Gliederung • Einhaltung des Termins • Beweis wird für die ZuhörerInnen nachvollziehbar Effiziente Arbeitsorganisation Total 8 Punkte 4 Punkte 2 Punkte 14 Punkte 9 Bemerkungen: In der produktorientierten Arbeit lassen sich vielfältige Kompetenzen der SchülerInnen gleichzeitig fördern. Es sind einerseits die fachspezifischen Kompetenzen, in diesem Fall die Erarbeitung eines spezifischen Beweises des Satzes von Pythagoras, und andererseits die Sozialkompetenzen, die gefördert werden. Die SchülerInnen arbeiten in einer Gruppe an der Sache. Sie beschäftigen sich mit einem mathematischen Inhalt und müssen gleichzeitig in der Gruppe zurechtkommen. Sie müssen planen, Arbeiten aufteilen, Ergebnisse zusammentragen, eine Präsentation vorbereiten. Die Beurteilung des Endprodukts, also hier des Plakats, ist transparent, da die SchülerInnen die Beurteilungskriterien kennen und sich während der Arbeit nach ihnen richten können. Die Präsentation der Plakate dient dazu, der Klasse zu zeigen was man gemacht hat und den MitschülerInnen den ausgewählten Beweis zu erklären. Mit dieser Gruppenarbeit verfolge ich das Ziel, dass die SchülerInnen einen Beweis des Satzes von Pythagoras wirklich kennen und ihn verstehen und dadurch auch den Satz des Pythagoras möglichst lange „in Erinnerung haben werden. Fachpraktikum II Mathematik: Geometrische Sätze Freitag, 11.02.05 Aufgabenblatt: Zusammenhang von Höhen- und Kathetensatz 1. Beschrifte die untenstehende Abbildung 2. Versuche nun den Zusammenhang der beiden geometrischen Sätzen (ausgehend vom Höhen- oder vom Kathetensatz) herauszufinden. Notizen: Fachpraktikum II Mathematik: Geometrische Sätze Freitag, 11.02.05 Zusammenhang von Höhen- und Kathetensatz: b2 h2 p2 p·q p·q p2 p · · Kathetensatz b2 pc Höhensatz b2 p2 pq h2 p2 p2 pq Pythagoras b2 h2 p2 h2 pq Fachpraktikum II Mathematik: Geometrische Sätze Montag, 07.02.05 Aufgabenblatt: Formeln mit Hilfe des Satzes von Pythagoras entwickeln Versuche mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die allgemeinen Formeln für folgende Längen zu entwickeln: 1. Die Diagonale im Quadrat 2. Die Höhe im gleichseitigen Dreieck 3. Die Raumdiagonale im Quader a Fachpraktikum II Mathematik: Geometrische Sätze Montag, 07.02.05 Aufgabenblatt: Formeln mit Hilfe des Satzes von Pythagoras entwickeln Versuche mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die allgemeinen Formeln für folgende Längen zu entwickeln: 1. Die Diagonale im Quadrat 2 · s 2. Die Höhe im gleichseitigen Dreieck 3 · a/2 3. Die Raumdiagonale im Quader a (a2 b2 c2) Anwendungsaufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras 1) Gegeben ist ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 16. Konstruiere mit Hilfe des Höhensatzes ein flächengleiches Rechteck mit der Breite 2 2) Verwandle ein Rechteck mit den Seitenlängen 5cm und 2cm in ein flächengleiches Quadrat a) nach dem Höhensatz b) nach dem Kathetensatz c) Wie lang ist die Seite des Quadrates? 3) Konstruiere die folgenden Strecken a) 18 cm b) 48 cm c) 8,4 cm Fachpraktikum II Mathematik: Geometrische Sätze Aufgabe: Anwendung Kathetensatz Gegeben sei die Strecke e. Konstruiere mit Hilfe des Kathetensatzes eine Strecke der Länge 8 e. Tipp: Fertige zuerst eine Skizze an! I Fachpraktikum II Mathematik: Geometrische Sätze Aufgabe: Anwendung Höhensatz Gegeben ist ein Quadrat mit Flächeninhalt 9. Konstruiere ein flächengleiches Rechteck (Länge l, Breite b), von wechem der Umfang bekannt ist. Wende den Höhensatz an. Tipp: Fertige zuerst eine Skizze an und beschrifte sie mit allen Informationen die du kennst!